變質(zhì)率呈兩參數(shù)Weibull分布的肉類商品庫存管理
——考慮庫存水平臨界點

張 源

（1.上海外國語大學賢達經(jīng)濟人文學院，上海 200083；2.中國社會科學院工業(yè)經(jīng)濟研究所，北京 100732）

隨著中國供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的深入落實和市場環(huán)境日趨復(fù)雜的變化，保持健康高效的庫存水平成為諸多企業(yè)提升運作管理的重點之一。對經(jīng)營肉類商品的企業(yè)來說，需考慮商品的需求不確定性和易變質(zhì)性。由于肉類商品效用隨時間推移而降低，且產(chǎn)生額外腐壞成本，因此，如何確定肉類商品的最優(yōu)訂貨量和訂貨周期以實現(xiàn)最低庫存成本，兼具理論及應(yīng)用價值。

1963年，Ghare等［1］首次提出變質(zhì)商品庫存模型。之后的50多年，國內(nèi)外學者結(jié)合各類商品提出多種約束條件下的庫存模型。Covert等［2］采用兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)描述商品變質(zhì)率；Philip［3］在之后提出三參數(shù)Weibull分布的商品變質(zhì)率模型。隨后，Jalan等［4］基于服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率，構(gòu)建線性需求下的庫存管理模型。Chakrabarty等［5］則基于服從三參數(shù)Weibull分布變質(zhì)率的商品，提出相應(yīng)的庫存控制模型。徐賢浩等［6，7］從變質(zhì)期類型的角度，將變質(zhì)商品的庫存模型分為2種，即固定變質(zhì)期和隨機變質(zhì)期。有學者將肉類商品歸類為固定變質(zhì)期商品，認為其變質(zhì)率保持恒定，并在既定時間后效用為0。本研究認為鑒于在倉儲過程中受不同溫度、氣候、濕度和儲存方式的影響，商品在庫存過程中發(fā)生變質(zhì)的時間和程度是不確定的?，F(xiàn)有文獻中，隨機變質(zhì)期通常涉及2種變質(zhì)率類型，即服從時變函數(shù)的變質(zhì)率以及服從Weibull分布的變質(zhì)率。其中，前者描述隨時間推移變質(zhì)率升高的情況；而后者一般應(yīng)用于初期變質(zhì)率較大的情況。本研究認為根據(jù)肉類商品的特性，無論是冷鮮肉還是冷凍肉，均應(yīng)屬于服從Weibull分布的變質(zhì)商品類型，即前期變質(zhì)速度較快，后期變質(zhì)速度逐漸放緩，最終商品效用趨近于0，而不同溫度下的儲存方式?jīng)Q定其變質(zhì)率的大小程度。與此同時，鑒于肉類商品的變質(zhì)類型主要指其腐壞過程，即物理性變質(zhì)，而價值性變質(zhì)通常只在市場價格大幅波動時或因庫存積壓而進行折價銷售時較為明顯，本研究僅考慮商品的物理性變質(zhì)現(xiàn)象。因此，本研究基于EOQ模型的理論基礎(chǔ)，引入庫存水平臨界點，只考慮庫存量低于臨界點的情況，結(jié)合中國肉類商品銷售的運營現(xiàn)狀，建立變質(zhì)率呈兩參數(shù)Weibull分布的庫存管理模型，并進行算例分析，以期為中國當前優(yōu)化肉類商品供應(yīng)端提供可行的分析手段和參考建議。

1 問題描述與模型假設(shè)

1.1 基本假設(shè)

根據(jù)對中國部分城市肉類商品銷售市場的調(diào)研結(jié)果，基于單一企業(yè)的庫存管理問題展開研究，引入如下基本假設(shè)條件：a.該公司僅經(jīng)營一種特定的肉類商品；b.商品發(fā)生變質(zhì)且變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布；c.變質(zhì)過程是不可逆的；d.庫存采購提前期為0；e.庫存補充速率無窮大；f.不允許發(fā)生供貨短缺；g.不存在價值性變質(zhì)。

1.2 符號表示

構(gòu)建模型涉及符號及定義如表1所示。

表1 構(gòu)建模型涉及符號及定義

2 模型構(gòu)建

本研究假設(shè)商品的變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布。兩參數(shù)Weibull分布的概率分布函數(shù)F（t）和密度函數(shù)（ft）分別為：

由式（1）、式（2）可得，服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率：

式中，a為尺度參數(shù)，0≤a＜1，其中，a=0表示不發(fā)生變質(zhì)；b為形狀參數(shù)，b≥0。圖1是服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率-時間關(guān)系。由圖1可知，形狀參數(shù)存在5種情況：①0＜b＜1，變質(zhì)率與時間變量為負相關(guān)，表示變質(zhì)率在訂貨周期初期較高，隨著時間推移而逐漸降低；②b=1，變質(zhì)率為常數(shù)，變質(zhì)率與時間變量不相關(guān)；③1＜b＜2，變質(zhì)率與時間變量為正相關(guān)，且變質(zhì)率增高的速率在逐漸降低；④b=2，變質(zhì)率與時間變量為線性相關(guān)；⑤b＞2，變質(zhì)率與時間變量為正相關(guān)，且變質(zhì)率增高的速率在逐漸增大。本研究結(jié)合企業(yè)實際運營中大多數(shù)物理性變質(zhì)商品的變質(zhì)特征，僅考慮b≥1的情況，即變質(zhì)率隨時間的變化逐漸增加。

圖1 服從兩參數(shù)Weibull分布的變質(zhì)率-時間關(guān)系

鑒于部分企業(yè)實際經(jīng)營活動中，往往存在庫存水平臨界點，一旦隨著庫存降低并小于臨界點時，商品的需求率將保持恒定。根據(jù)調(diào)研結(jié)果，大部分肉類經(jīng)營企業(yè)并不存在面對商品需求隨庫存降低而顯著變化的情況。本研究只考慮庫存消耗速度保持不變的情況，即將庫存量低于臨界點作為假設(shè)條件，因此，可以構(gòu)建模型在Q≤L的條件下，庫存消耗速度不隨庫存降低，消耗率維持在庫存臨界點時的水平，庫存狀態(tài)方程為：

由I(0)=Q且I(T)=0可得，t時刻的庫存水平（5）與最優(yōu)訂貨量（6）：

庫存變質(zhì)成本：

庫存持有成本：

庫存管理總成本：

單位時間庫存管理成本：

對式（7）、式（8）、式（9）求導(dǎo)可得：

當庫存量低于庫存臨界點的條件下存在最優(yōu)解T，則存在由式（11）可計算T，式（11）可化簡為：

引入函數(shù)f(T)且滿足：

對f(T)泰勒展開可得：

其中γn(T)為拉格朗日余項：

根據(jù)草圖發(fā)現(xiàn)，y=（fT）與x軸在x=1處附近有惟一交點，取T0=1可得：

現(xiàn)采用反函數(shù)多項式展開法，對超越方程進行求解（其中涉及Newton-Raphson迭代法的運用），略去拉格朗日余項后得出二次三項近似式，可作為T的近似解析解：

將T帶入式（6）可得最優(yōu)訂貨量Q：

本研究僅考慮b≥1的情況，即變質(zhì)率隨時間的變化逐漸增加，也即：

所以，式（21）所得到的T為全局最優(yōu)解，式（22）所得到的Q即為最優(yōu)訂貨量。

3 數(shù)值算例與靈敏度分析

3.1 數(shù)值算例

算例假設(shè)某肉類商品經(jīng)營企業(yè)制定庫存管理計劃，所經(jīng)營的商品為單一種類，且物理性變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布。庫存模型的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 庫存模型的相關(guān)參數(shù)

3.2 求解步驟

將參數(shù)值代入式（22）計算，可得最優(yōu)訂貨量Q；將Q代入式（6），可得庫存補充周期T；將T代入式（7）、式（8），分別可得庫存變質(zhì)成本DC和庫存持有成本HC；將DC和HC代入式（9），可得庫存管理總成本TC；將TC和T代入式（10），可得單位時間庫存管理成本AC。

經(jīng)過計算，本算例中肉類商品經(jīng)營企業(yè)的最優(yōu)訂貨量為6.112 6 t，對應(yīng)的單位時間庫存管理成本為1.931 5萬元。

3.3 靈敏度分析

本研究根據(jù)算例，通過每次只改變單一參數(shù)值，對庫存模型中的主要參數(shù)進行靈敏度分析（表3）。每次上調(diào)或下調(diào)參數(shù)值的50%或25%，分別可得參數(shù)a、b、α、β、K、h、C的變化對最優(yōu)訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響。值得注意的是在所有計算結(jié)果中，最優(yōu)訂貨量并未超過庫存水平臨界點L，因此，計算結(jié)果與模型假設(shè)并無相悖。

由計算結(jié)果可知以下結(jié)論：①服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)b和需求率參數(shù)α、β對最優(yōu)訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響都非常大；②服從Weibull分布的變質(zhì)率尺度參數(shù)a和單位商品變質(zhì)成本C對單位時間庫存管理成本AC的影響非常大，但對最優(yōu)訂貨量Q的影響不顯著，但兩參數(shù)對最優(yōu)訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響同步；③服從Weibull分布的變質(zhì)率尺度參數(shù)a和單位商品變質(zhì)成本C的變化對最優(yōu)訂貨量Q的影響呈負相關(guān)，其他參數(shù)對Q的影響呈正相關(guān)；④服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)b對單位時間庫存管理成本AC的影響呈負相關(guān)，其他參數(shù)對AC的影響呈正相關(guān)。

根據(jù)上述結(jié)論可以看出，當腐壞速度越快，單位時間庫存管理成本越大，企業(yè)單次訂貨量也需要越大，其中，變質(zhì)的尺度參數(shù)對訂貨量影響較小，而形狀參數(shù)則對訂貨量影響較大。此外，市場需求率越大，企業(yè)單次訂貨量也需要越大，單位時間庫存管理成本也越大。

表3 庫存模型主要參數(shù)靈敏度分析

本研究針對影響訂貨量較大的變質(zhì)率形狀參數(shù)b展開進一步分析，將b作為變量，在給定其他參數(shù)的條件下，分別可得形狀參數(shù)與最優(yōu)訂貨量和單位時間庫存管理成本的關(guān)系，如圖2和圖3所示。

由此可見，當肉類商品的變質(zhì)率形狀參數(shù)增加到一定程度時，最優(yōu)訂貨量的增長速度（圖2）和單位時間庫存管理成本的下降速度（圖3）均會減弱，切線斜率逐漸趨近于0，即最優(yōu)訂貨量逐漸接近一個最高值，而單位時間庫存管理成本逐漸接近一個最低值。所以，當肉類商品的腐壞速度超過一個閾值時（本算例中約為b=5），最優(yōu)訂貨量將基本不受腐壞速度變化的影響。

圖2 最優(yōu)訂貨量-服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)關(guān)系

圖3 單位時間庫存管理成本-服從Weibull分布的變質(zhì)率形狀參數(shù)關(guān)系

4 小結(jié)

本研究假定肉類商品物理性變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布，且不存在物理性變質(zhì)，在考慮庫存水平臨界點的條件下，構(gòu)建肉類商品經(jīng)營企業(yè)的庫存管理模型。本研究基于前期市場調(diào)研數(shù)據(jù)，算例參數(shù)貼近于現(xiàn)實商業(yè)情形，為有效管理肉類商品庫存提供學術(shù)依據(jù)，也為相關(guān)企業(yè)高質(zhì)量發(fā)展提供智力支持。通過實證發(fā)現(xiàn)，商品變質(zhì)速度對企業(yè)的庫存管理策略影響較大，變質(zhì)率形狀參數(shù)越大，企業(yè)單次訂貨量越大；肉類市場的需求率越大，企業(yè)單次訂貨量也越大。此外，當肉類商品的變質(zhì)率超過一定程度，最優(yōu)訂貨量便不再受變質(zhì)速度變化的影響。

本研究所構(gòu)建的庫存模型和相關(guān)建議同樣適用于符合類似物理性變質(zhì)的其他商品，如水果、鮮切花、超市便當?shù)取，F(xiàn)實生活中，節(jié)假日等時間節(jié)點消費者對肉類商品的需求會大幅增加。因此，市場需求量的大幅波動對物理性變質(zhì)商品的庫存控制影響是后續(xù)研究的方向。