預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的最小撓度拓撲優(yōu)化

李嚴，蘇文政

(大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

大量工程實踐中的預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)設(shè)計，一般都是設(shè)計人員憑借自身經(jīng)年累月的從業(yè)經(jīng)驗進行分析設(shè)計或從已有的為數(shù)不多的設(shè)計方案中進行甄選.在預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的眾多設(shè)計指標之中，高強度、高剛度、輕量化是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要原則[1-3].然而依靠設(shè)計人員主觀選擇的設(shè)計方案，往往只是適用于“某一類”的最佳設(shè)計，針對具體的工程個案還存在繼續(xù)優(yōu)化的空間.借助于拓撲優(yōu)化方法，則可很好地解決這一難題，獲得更為理性的設(shè)計方案.拓撲優(yōu)化方法能夠決定結(jié)構(gòu)孔洞的有無，從而大幅度提高了優(yōu)化設(shè)計效果，為實際工程提供更具參考價值的設(shè)計方案.

在預(yù)應(yīng)力相關(guān)的常規(guī)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計中，設(shè)計者們通常先在不考慮預(yù)應(yīng)力的情況下，通過拓撲設(shè)計得到實際工程所需的普通主體結(jié)構(gòu)，然后通過現(xiàn)有的預(yù)應(yīng)力施加方案，添加或替換預(yù)應(yīng)力部件到主體結(jié)構(gòu)中，以求用最輕、最省的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)最強、最剛的設(shè)計需求.這種做法，簡單直觀，然而得到的結(jié)構(gòu)并不是真正的最優(yōu)解.在已有結(jié)構(gòu)中施加預(yù)應(yīng)力，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)內(nèi)力重分布，因而存在繼續(xù)優(yōu)化的空間.

如果能將預(yù)應(yīng)力和結(jié)構(gòu)的拓撲兩類不同類型的變量在拓撲設(shè)計階段進行耦合，在包含預(yù)應(yīng)力的內(nèi)力體系上進行拓撲設(shè)計，則必然能實現(xiàn)結(jié)構(gòu)承載性能的進一步提升.本文以結(jié)構(gòu)特定位置的撓度響應(yīng)作為目標函數(shù)評價結(jié)構(gòu)的承載性能，以結(jié)構(gòu)單元的密度作為拓撲設(shè)計變量，以預(yù)應(yīng)力值作為附加變量,在此基礎(chǔ)上建立優(yōu)化模型，推導(dǎo)靈敏度計算方法，用移動漸近線法(MMA法)[4-5]對優(yōu)化問題進行迭代求解.

1 優(yōu)化模型

模型描述為，以給定用量的材料，通過設(shè)計材料的分布，以及合適的預(yù)應(yīng)力大小，使指定節(jié)點的位移響應(yīng)最小，以此獲得預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的最大剛度.優(yōu)化模型的設(shè)計變量為結(jié)構(gòu)單元的密度，通過變密度法(SIMP)[6-7]插值模描述密度變量對單元剛度的影響.SIMP法的思想為通過假設(shè)存在密度連續(xù)變化的材料，建立起本不存在中間密度單元，從而實現(xiàn)將離散變量的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量的優(yōu)化問題，并通過懲罰策略使連續(xù)優(yōu)化問題的解逼近原始離散優(yōu)化問題的解.由此，可將第i個單元剛度矩陣表示為

(1)

其中，xi為拓撲變量，表示第i個單元的密度(0

目標函數(shù)選為第m個自由度的位移(比如簡支梁的跨中撓度)，即f0=um；約束條件為材料重量V*，對于平面結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為所用材料面積.于是拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可描述為：

(2)

其中，fp是所設(shè)計的預(yù)應(yīng)力大小，X代表所有單元密度的集合，xmin是一個很小的非0正數(shù)，作用是避免結(jié)構(gòu)總剛度矩陣奇異.該優(yōu)化模型采用MMA算法求解，設(shè)計流程如圖1所示.

圖1 設(shè)計流程圖

2 預(yù)應(yīng)力的設(shè)計

應(yīng)用線彈性疊加原理，數(shù)學(xué)模型中的目標函數(shù)，第m個自由度的位移um，是外部荷載F0所引起的目標節(jié)點的位移um0和預(yù)應(yīng)力荷載Fp引起的目標節(jié)點預(yù)位移ump的疊加.即：

um=um0+ump

(3)

改寫成向量形式為：

QTU=QT(U0+Up)

(4)

2.1 由預(yù)應(yīng)力所引起的結(jié)構(gòu)位移

關(guān)于預(yù)應(yīng)力引起的位移的求解，我們采用文獻[8]提到的方法.以簡支梁為例，由于位移具有正負性，這里規(guī)定向下向右為正方向.

如圖2(a)所示簡支梁結(jié)構(gòu)下部裝有預(yù)應(yīng)力桿件(用黑粗線表示)，此時桿件內(nèi)無預(yù)應(yīng)力.若在預(yù)應(yīng)力桿件兩端外部施加大小為1的單位壓力Fpp，則桿件內(nèi)力為tPP，并且-1

KUPP=Fpp

(5)

(6)

這時若設(shè)定預(yù)應(yīng)力桿件內(nèi)的預(yù)應(yīng)力為fp，則結(jié)構(gòu)內(nèi)預(yù)應(yīng)力引起的形變位移為

(7)

2.2 最佳預(yù)應(yīng)力值

目標函數(shù)對預(yù)應(yīng)力值進行求導(dǎo)，可得

(8)

這里QTUpp表示2.1節(jié)中單位力引起的目標自由度的預(yù)位移.

預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的基本原理是用預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的預(yù)位移，來形成與結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)相反的內(nèi)力分布，部分地抵消工作荷載產(chǎn)生的內(nèi)力，以此提高結(jié)構(gòu)的承載能力.因此，合理有效的預(yù)應(yīng)力加載方式，必須保證QTUpp與工作荷載產(chǎn)生的位移響應(yīng)方向相反.考慮到目標函數(shù)QTU與fp成線性單調(diào)關(guān)系，可知，若預(yù)應(yīng)力加載方式有效，預(yù)應(yīng)力設(shè)計值fp越大，目標函數(shù)值越小.本文假定，所研究的問題中結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力加載方式均是有效的.

實際工程中，受限于預(yù)應(yīng)力材料的極限抗拉強度σ*，使得預(yù)應(yīng)力桿件存在最大安全工作拉力

fpmax=σ·Aη

(9)

式中，系數(shù)η滿足，且0<η<1.應(yīng)用滿應(yīng)力準則設(shè)計理念，對于合理有效的預(yù)應(yīng)力加載方式，最佳的預(yù)應(yīng)力值需要滿足在工作狀態(tài)下的桿件達到許用最大拉力fmax.結(jié)構(gòu)在極限荷載作用時預(yù)應(yīng)力桿件內(nèi)的預(yù)拉力達到fpmax，有

(10)

一般的，如果令t0表示只有工作載荷作用時的桿件拉力，最佳的預(yù)應(yīng)力設(shè)計值為

fp=fpmax-t0

(11)

3 靈敏度分析

3.1 靈敏度推導(dǎo)

(12)

可以看出，上式靈敏度分為荷載和預(yù)應(yīng)力兩個部分，使用伴隨法，引入伴隨向量[9]，則第一部分求解如下：

(13)

同理可得：

(14)

對于式(12)中第二部分的靈敏度，同時應(yīng)用式(13)、(14)

(15)

綜合式(13)、(15)可知目標函數(shù)靈敏度為：

(16)

3.2 靈敏度驗證

采用差分法對靈敏度進行正確性驗證，設(shè)d表示差分法步長，易知：

(17)

利用對稱性，取結(jié)構(gòu)的右半部分為研究對象，將驗證結(jié)構(gòu)設(shè)為20×10的簡支梁半結(jié)構(gòu)，尺寸單位為cm，目標自由度定為結(jié)構(gòu)左上角節(jié)點縱向位移，泊松比υ=0.3，矩形結(jié)構(gòu)和預(yù)應(yīng)力桿件的彈性模量均為E=200 GPa，作用位置見圖3(a)，限制體分比為0.4，懲罰系數(shù)p=3，在左上角受到F1=2 kN的豎直向下的集中荷載，預(yù)應(yīng)力桿件截面積A=1cm2，桿件的最大預(yù)應(yīng)力容許值fmax=5 kN.差分法步長取0.000 1，取樣設(shè)計變量位置如圖3(b)所示：

(a)荷載作用位置

表1為取樣點解析法與差分法計算的數(shù)據(jù)對比，表明解析法準確可靠.

表1 靈敏度誤差

4 算例

本節(jié)針對上文中的計算方法，通過具體算例與傳統(tǒng)的“先設(shè)計拓撲后預(yù)應(yīng)力強化”法進行對比分析，來說明本文方法的優(yōu)化效果.算例均為100×30網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，材料屬性與3.2節(jié)相同.由于結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力桿件始終存在，為非設(shè)計域，在拓撲圖形中并未畫出.

4.1 簡支結(jié)構(gòu)

圖4為簡支矩形半結(jié)構(gòu)受到F=6 kN的集中荷載.所有荷載作用位置如圖4(a)所示.預(yù)應(yīng)力桿件布置在結(jié)構(gòu)最下端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目標自由度定為結(jié)構(gòu)跨中上側(cè)節(jié)點的縱向位移，即總體結(jié)構(gòu)跨中撓度.

(a)整體結(jié)構(gòu)示意圖

使用本文方法，在耦合預(yù)應(yīng)力的前提下進行拓撲求解，得到骨架圖形見圖5，優(yōu)化過程中目標函數(shù)的變化曲線見圖6.圖7為優(yōu)化過程中預(yù)應(yīng)力設(shè)計值的變化曲線.此時最佳預(yù)應(yīng)力設(shè)計值為3.26 kN，最優(yōu)的目標函數(shù)值為2.92 cm.

圖5 簡支預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的1/2結(jié)構(gòu)拓撲結(jié)果

圖6 簡支預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)目標函數(shù)位移變化

圖7 簡支結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力設(shè)計值的變化

傳統(tǒng)的做法是先在無預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下進行拓撲設(shè)計.此時的目標函數(shù)僅為QTU0，其他部分均與上文相同，容易求出目標函數(shù)為4.91 cm.若將fp=3.26 kN以預(yù)應(yīng)力的形式添加到結(jié)構(gòu)中，對結(jié)構(gòu)進行加強.經(jīng)有限元計算后，可以得到修正后的目標函數(shù)為3.45 cm.相比之下，使用本文方法優(yōu)化比例達到15.36%，效果理想.

4.2 懸臂結(jié)構(gòu)

圖8所示懸臂結(jié)構(gòu)，受到荷載F=3 kN的集中荷載.預(yù)應(yīng)力桿件布置在結(jié)構(gòu)最上端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目標自由度定為結(jié)構(gòu)右上角節(jié)點的縱向位移，即結(jié)構(gòu)自由端撓度，荷載作用位置如圖8所示.

圖8 預(yù)應(yīng)力懸臂結(jié)構(gòu)

使用本文方法，進行拓撲求解，拓撲結(jié)果見圖9，優(yōu)化過程中目標函數(shù)的變化曲線見圖10.圖11為優(yōu)化過程中預(yù)應(yīng)力設(shè)計值的變化曲線.此時最佳預(yù)應(yīng)力設(shè)計值為3.35 kN，最優(yōu)的目標函數(shù)值為2.85cm.

圖9 預(yù)應(yīng)力懸臂結(jié)構(gòu)拓撲結(jié)果

圖10 目標函數(shù)位移變化

圖11 預(yù)應(yīng)力設(shè)計值的變化

同簡支結(jié)構(gòu)一樣，若采用傳統(tǒng)的做法，即先在無預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下進行拓撲設(shè)計，得到骨架圖形，以及目標撓度為4.82cm，然后再添加3.35kN的預(yù)應(yīng)力對桿件對結(jié)構(gòu)進行加強、修正得到3.55 cm.相比之下，本文方法優(yōu)化比例達19.71%，效果顯著.

5 結(jié)論

本文充分考慮了預(yù)應(yīng)力和結(jié)構(gòu)拓撲的耦合影響，研究了預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法.預(yù)應(yīng)力值的確定參與到拓撲設(shè)計的每個循環(huán)計算之中，使結(jié)構(gòu)材料的分布更加合理，更加有效.算例結(jié)果表明：本文方法與傳統(tǒng)方法相比，在相同材料用量的前提下，實現(xiàn)了對目標結(jié)構(gòu)的進一步優(yōu)化，得到了令人滿意的優(yōu)化結(jié)果.