面向纖維單元的鋼筋混凝土材料滯回本構(gòu)模型開發(fā)

劉軍，趙晶, 王德斌, 張吉松

(大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

當(dāng)前，大量復(fù)雜的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)修建在地震活動(dòng)特別是“大震”頻發(fā)的高烈度區(qū).因此，保證復(fù)雜結(jié)構(gòu)具有良好的抗震性能是工程抗震領(lǐng)域研究的重點(diǎn)問題.為此，近些年基于性能的抗震設(shè)計(jì)方法[1]得到了發(fā)展.該方法需要對工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性的彈塑性分析.此外，對既有結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震性能評估和抗震加固設(shè)計(jì)同樣需要以其地震非線性響應(yīng)作為依據(jù).在眾多的地震非線性分析模型中，纖維模型由于能適用于任何截面形式的構(gòu)件能夠直接考慮軸力和彎矩的耦合作用，可模擬不同類型鋼筋和混凝土材料，只需要其單軸本構(gòu)關(guān)系、兼顧計(jì)算精度和計(jì)算效率兩方面考慮等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛應(yīng)用[2].因此，開發(fā)面向纖維單元的鋼筋和混凝土材料滯回本構(gòu)模型具有實(shí)際工程意義.

本文在考慮骨架曲線、滯回規(guī)則、損傷特性、箍筋約束效應(yīng)及壓-拉轉(zhuǎn)換的剛度退化特性的基礎(chǔ)上，建立混凝土和鋼筋單軸滯回本構(gòu)模型.利用FORTRAN語言開發(fā)本構(gòu)模型的隱式算法子程序.以NSCP(Nonlinear Seismic Calculation Program)程序?yàn)槠脚_(tái)，通過材料子程序接口，實(shí)現(xiàn)所開發(fā)的材料模型與主程序間的數(shù)據(jù)傳遞.在材料及結(jié)構(gòu)層次上分別進(jìn)行數(shù)值模擬，其結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文所建立的材料模型和開發(fā)的子程序在工程結(jié)構(gòu)地震非線性分析方面具有適用性和有效性.

1 混凝土滯回本構(gòu)模型

1.1 骨架曲線

(1)壓縮骨架曲線

Hoshikuma[3]根據(jù)圓形和矩形截面的鋼筋混凝土柱試件受壓試驗(yàn)結(jié)果，在Kent-Park模型的基礎(chǔ)上建立了考慮約束效應(yīng)的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變模型.由于該模型表達(dá)簡單、參數(shù)少，計(jì)算效率高，因此用于本文研究.其骨架曲線的表達(dá)式見式(1).

(1)

(2)

(3)

fcc0=fc0+3.8αρsfyh

(4)

εcc0=0.002+0.033βρsfyh/fc0

(5)

εccu=εc0+0.8fcc0/Edes

(6)

式中：E0、Edes、fcc0、εcc0和εccu的物理意義見圖1(a)；fc0為素混凝土的抗壓強(qiáng)度；ρs為箍筋的體積配箍率；fyh為箍筋的屈服強(qiáng)度.對于圓形截面，α=1.0，β=1.0；對于矩形截面α=0.2，β=0.4.fc0、εc0為非約束混凝土的的峰值應(yīng)力和對應(yīng)的應(yīng)變.非約束混凝土受壓骨架曲線方程，見文獻(xiàn)[3].

(2)拉伸骨架曲線

混凝土拉伸骨架曲線上升段采用直線，下降段采用冪函數(shù)形式.其表達(dá)式為：

(7)

式中：εt0、ft0的物理意義見圖1(b)；n′為拉伸軟化指數(shù)，控制軟化剛度，依據(jù)文獻(xiàn)[4]建議取0.85.

(a)壓縮

1.2 滯回規(guī)則

(1)壓縮滯回規(guī)則

混凝土受壓完全卸載后再加載規(guī)律依據(jù)Yassin[5]提出的“交點(diǎn)法”得到.從骨架曲線上完全卸載后再加載路徑反向均相交于R點(diǎn).如圖1(a)，根據(jù)幾何關(guān)系，R點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(8)

式中，Eu為點(diǎn)(εcul,fcul)處的再加載模量，需要根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果事先確定.

骨架曲線上的卸載點(diǎn)(εcul,fcul)與R點(diǎn)的連線交于應(yīng)變軸處的應(yīng)變即為塑性應(yīng)變?chǔ)舙l，完全卸載的路徑為過卸載點(diǎn)(εcul,fcul)和(εpl,0)兩點(diǎn)的一條曲線.為了建立完全卸載方程，在如圖2所示的曲邊ΔABC中，應(yīng)力變化相對應(yīng)變變化存在非線性比例關(guān)系，該關(guān)系可以表示成：

圖2 受壓完全卸載曲線

(9)

其中，γ為非線性比例因子.

考慮卸載開始時(shí)的卸載剛度不能超過初始加載剛度E0，且該曲線形狀是凸向應(yīng)變軸，因此：

(10)

部分卸載路徑仍然沿著骨架曲線上對應(yīng)的卸載點(diǎn)處完全卸載路徑進(jìn)行，而部分卸載再加載時(shí)沿著剛度為E0的直線到達(dá)完全卸載后再加載直線路徑時(shí)，繼續(xù)沿該直線加載，在未到達(dá)骨架曲線前卸載時(shí)，繼續(xù)沿剛度為E0的直線到達(dá)完全卸載曲線路徑時(shí)，再繼續(xù)沿該曲線卸載，如此反復(fù).

(2)拉伸滯回規(guī)則

考慮到拉伸重復(fù)加卸載產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形和滯回耗能較小，本文拉伸卸載不考慮塑性應(yīng)變，按返回原點(diǎn)的直線路徑卸載和再加載，如圖1(b).

1.3 損傷特性

為了描述混凝土的損傷特性，考慮拉壓不等性，分別建立了拉伸和壓縮損傷變量.

dt=1-Etul/E0

(11)

dc=1-Ecul/E0

(12)

式中：dt為拉伸損傷變量；dc為壓縮損傷變量；Etul和Ecul的物理意義見圖1.需要說明：①拉伸損傷只考慮彈性損傷，不計(jì)拉伸塑性的影響；而壓縮損傷為塑性損傷；②在部分加卸載過程中，保持以對應(yīng)骨架曲線上卸載點(diǎn)計(jì)算的損傷值不變.

1.4 壓縮-拉伸轉(zhuǎn)換剛度退化

由壓縮卸載到反向拉伸加載時(shí)，拉伸再加載骨架曲線采用“平移法”獲得，如圖1(b)所示.考慮到壓縮過程的累計(jì)損傷對拉伸剛度的影響[6]，其拉伸再加載剛度可以定義成：

Et=(1-ωdc)(1-dt)E0

(13)

式中，ω為拉伸剛度退化參數(shù)，表征壓縮累計(jì)損傷對拉伸損傷的影響，本文取0.2.

2 鋼筋滯回本構(gòu)模型

縱向鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變滯回關(guān)系采用Menegotto-Pinto模型[7]，滯回關(guān)系見圖3.不考慮等向硬化，該模型的數(shù)學(xué)方程表達(dá)成:

圖3 鋼筋滯回曲線

(14)

式中，b為屈服后鋼筋彈性模量與初始彈性模量之比，即b=Esh/Es.

(15)

Ri為描述Bauschinger效應(yīng)的參數(shù)，定義成：

(16)

其中：R0是Ri的初值，α1和α2為試驗(yàn)常數(shù).

(17)

(18)

3 材料模型子程序開發(fā)

針對本文建立的材料模型，采用FORTRAN語言編寫隱式算法的子程序.基于NSCP程序平臺(tái)，通過材料子程序接口，實(shí)現(xiàn)子程序與主程序間的數(shù)據(jù)交換.給定當(dāng)前應(yīng)變增量，主程序通過UMAT接口進(jìn)入材料子程序，在當(dāng)前積分點(diǎn)上計(jì)算該增量步的雅可比矩陣，從而更新當(dāng)前應(yīng)力，并記錄相應(yīng)狀態(tài)變量，通過材料子程序接口返回主程序.子程序開發(fā)的流程如圖4所示.

(a)混凝土

4 有限元模型的建立

本文采用課題組自編的NSCP 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.單元類型選用程序提供的三維纖維梁單元.在構(gòu)件長度方向布置若干節(jié)點(diǎn)，將構(gòu)件劃分成若干個(gè)單元，保證單元長度與塑性鉸長度相一致.每個(gè)單元具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，中間具有一個(gè)積分點(diǎn)，將積分點(diǎn)所在截面的混凝土材料劃分若干纖維，其中保護(hù)層纖維采用無約束混凝土的本構(gòu)模型，核心區(qū)域纖維采用箍筋約束混凝土本構(gòu)模型，鋼筋纖維采用Menegotto-Pinto本構(gòu)模型.下文算例中，模型建立沒有包括混凝土基礎(chǔ)，墩(柱)根采用固定約束，以位移方式控制加載.

5 子程序驗(yàn)證及應(yīng)用

5.1 鋼筋和混凝土材料模擬

為了驗(yàn)證材料模型程序的準(zhǔn)確性，建立1 m長的方柱，截面尺寸為0.1 m×0.1 m.分別賦予混凝土和鋼筋的材料屬性，材料參數(shù)列于表1中.本節(jié)計(jì)算中未加說明的，長度單位為mm，強(qiáng)度單位為MPa，彈性模量單位為GPa，下同.測試混凝土材料時(shí)先拉伸加載后卸載，再非等幅重復(fù)壓縮加載，加載制度見圖5(a)；測試鋼筋時(shí)采用幅值逐漸增大的往復(fù)位移加載方式，見圖5(b).

表1 材料參數(shù)

(a)混凝土

采用本文建立的材料模型和開發(fā)的子程序進(jìn)行數(shù)值模擬，獲得的積分點(diǎn)處混凝土材料和鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，如圖6所示.模擬結(jié)果顯示與混凝土理論本構(gòu)模型目標(biāo)骨架曲線、加卸載滯回曲線、拉壓不等性及剛度退化特性相一致.鋼筋的滯回特性和Bauschinger效應(yīng)也得到了有效模擬.

(a)混凝土

5.2 鋼筋混凝土橋墩動(dòng)力時(shí)程加載試驗(yàn)?zāi)M

2010年，PEER和NEES發(fā)起了一個(gè)鋼筋混凝土橋梁墩柱的“盲預(yù)測競賽”[8]，該墩柱在加州大學(xué)圣地亞哥分校NEES-UCSD振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行了一組6條地震動(dòng)的動(dòng)力單向激勵(lì)加載試驗(yàn).對6次地震動(dòng)進(jìn)行串聯(lián)分析，以便保證結(jié)構(gòu)在前一次試驗(yàn)中產(chǎn)生的損傷(通常是強(qiáng)度和剛度退化)進(jìn)入下一次試驗(yàn)分析中.試驗(yàn)墩的幾何尺寸、縱向和橫向配筋情況見圖7.橋墩的材料參數(shù)見表2.

圖7 橋墩的幾何尺寸及配筋圖(單位：mm)

表2 橋墩的材料參數(shù)

軸向加載為2 535 kN，柱頂質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩為9 735 kN·m2/g，軸壓比為5.3%，縱向配筋率為1.55%，體積配箍率為0.95%.有限元建模中將橋墩均勻劃分為10個(gè) 單元.采用質(zhì)量比例阻尼，第一模態(tài)對應(yīng)的阻尼比取2%.將記錄的地震動(dòng)運(yùn)用Butterworth 濾波器進(jìn)行濾波處理后作為地震動(dòng)輸入用于數(shù)值分析.試 驗(yàn) 結(jié) 果 顯示EQ3作用下鋼筋已經(jīng)發(fā)生屈服，按照文獻(xiàn)[9]的考慮，本模擬只分析了EQ1～EQ3地震動(dòng)，并取三組地震動(dòng)的前60、80、60 s加以分析, 地震動(dòng)加速度時(shí)程圖8所示，三次地震動(dòng)最大加速度分別為14.55、38.99和80.95 cm/s2.數(shù)值模擬得到橋墩的動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)見圖9.試驗(yàn)結(jié)果表明，EQ1地震作用下最大位移62 mm，EQ3地震作用下最大位移361 mm，在非線性響應(yīng)中，產(chǎn)生了-0.87%的殘余位移角或者-63 mm的殘余位移.模擬結(jié)果顯示，EQ1地震作用下最大位移為65 mm，EQ3地震作用下最大位移為373 mm，殘余位移角為-0.92%，殘余位移為-70 mm，誤差均較小.數(shù)值結(jié)果還表明，前兩次地震作用時(shí)，柱體基本保持彈性，第三次地震作用時(shí)，柱體進(jìn)入塑性區(qū)，最大曲率與屈服曲率之比在4以上.橋墩現(xiàn)場試驗(yàn)顯示，EQ3作用下橋墩已經(jīng)發(fā)生了屈服，結(jié)構(gòu)的損傷較明顯，有明顯的應(yīng)變滲透現(xiàn)象，基礎(chǔ)頂部的墩柱縱向鋼筋出現(xiàn)了明顯的粘結(jié)滑移.由于本文建立的材料模型沒有考慮鋼筋和混凝土間的粘結(jié)滑移特性，故可能成為導(dǎo)致數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果間存在差異的主要原因.但從橋墩地震時(shí)程響應(yīng)的波形和響應(yīng)發(fā)生的時(shí)間等整體角度衡量，數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果吻合的較好.

圖8 地震動(dòng)加速度時(shí)程

(a)EQ1

6 結(jié)論

本文考慮骨架曲線、滯回規(guī)則、損傷特性、箍筋約束效應(yīng)及壓-拉轉(zhuǎn)換的剛度退化特性等，建立了混凝土單軸滯回本構(gòu)模型.鋼筋采用經(jīng)典的Menegotto-Pinto模型.開發(fā)了隱式算法的材料本構(gòu)子程序.以NSCP計(jì)算程序?yàn)槠脚_(tái)，通過材料子程序接口，實(shí)現(xiàn)所開發(fā)的材料模型子程序與主程序間的數(shù)據(jù)傳遞.采用纖維模型，對鋼筋和混凝土兩種材料及橋墩結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行數(shù)值模擬分析，其結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，表明兩者在最大承載力、卸載剛度、時(shí)程響應(yīng)等整體結(jié)果上吻合較好，具有可靠的計(jì)算精度，驗(yàn)證了本文所建立的材料理論本構(gòu)模型和開發(fā)的子程序，在工程結(jié)構(gòu)地震非線性分析方面具有適用性和有效性.該程序能夠用于模擬鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)之后的非線性行為，為抗震設(shè)計(jì)和抗震性能評價(jià)提供有效的數(shù)值計(jì)算工具.

由于本文開發(fā)的材料模型不考慮鋼筋和混凝土之間的粘結(jié)滑移作用，以及鋼筋的屈曲和低周疲勞效應(yīng)，因此，為了進(jìn)一步提高模擬精度，開發(fā)更為精細(xì)的鋼筋混凝土材料模型是下一步需要開展的研究工作.