基于傅里葉分解-小波包分析的爆破信號去噪方法*

王海龍，柏皓博，趙 巖，王 彬，王海軍

(1.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實驗室 河北省寒冷地區(qū)交通基礎(chǔ)設(shè)施工程技術(shù)創(chuàng)新中心， 張家口 075000；2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；3.北旺建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，承德 067000)

目前，大多對于爆破的研究都是基于對爆破振動信號的研究展開的，但在進(jìn)行信號采集時，受施工現(xiàn)場復(fù)雜環(huán)境影響，如鉆孔作業(yè)、裝載機(jī)與運(yùn)輸機(jī)等重型機(jī)運(yùn)作。同時還受到信號采集儀器松動或由于溫度變化產(chǎn)生零點(diǎn)漂移的影響，采樣信號可能會出現(xiàn)形狀不規(guī)則和基線偏移情況。故采集到的爆破振動信號可能帶有無用干擾信號，即噪聲。而噪聲會對信號中有用信息的提取造成干擾，對信號處理帶來困難，為進(jìn)行后續(xù)爆破振動信號分析，原始信號的降噪處理就成為了不可或缺的前期工作。

由于隧道爆破的突發(fā)性，破壞性強(qiáng)，隧道爆破信號表現(xiàn)為典型的非平穩(wěn)信號，處理這類非平穩(wěn)信號去噪問題，較常見的方法為EMD(empirical mode decomposition)方法[1]、EEMD(ensemble empirical mode decomposition)方法[2]、CEEMDAN(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise)方法[3]、小波閾值方法[4]、小波包閾值方法[5]。同時，EMD-小波閾值方法聯(lián)合去噪[6]、EEMD-小波閾值方法聯(lián)合去噪[7]、CEEMDAN-小波包聯(lián)合去噪在進(jìn)行信號去噪中表現(xiàn)良好[8]。

馬宏偉等利用EMD分解方法對煤礦機(jī)械振動信號進(jìn)行降噪處理[9]，利用相關(guān)系數(shù)，實現(xiàn)了非平穩(wěn)信號的濾波。葉紅宇等針對EMD方法模態(tài)混疊問題[10]，使用EEMD-小波包閾值方法對隧道爆破振動信號進(jìn)行降噪，在消除隨機(jī)噪聲的同時，該方法可保留更多的信號細(xì)節(jié)特征。劉霞等使用CEEMDAN方法對信號進(jìn)行分解[11]，利用能量熵劃分噪聲主區(qū)間，對其進(jìn)行閾值去噪，此方法在很大程度上緩解了模態(tài)混疊問題。李紅延等在小波閾值去噪算法基礎(chǔ)上[12]，改進(jìn)閾值函數(shù)，提高了噪聲與信號的可分離性。史賢俊等針對含噪信號的不同頻段[13]，采用不同小波包閾值算法，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得純凈信號。

EMD方法、EEMD方法、CEEMDAN方法均未從根本上解決噪聲殘留與模態(tài)混疊問題。小波閾值方法未對信號高頻部分進(jìn)行分析，存在局限性，而小波包閾值方法雖對高頻部分進(jìn)行分解，但二者均受制于小波基函數(shù)與分解層數(shù)的選取。

隧道爆破過程中，由于施工現(xiàn)場環(huán)境復(fù)雜，噪聲對信號采集影響較大，針對此噪聲干擾問題，提出一種基于傅里葉分解(FDM)和小波包閾值方法的聯(lián)合去噪方法[14-17]。傅里葉分解基于傅里葉變換，進(jìn)行時頻分析，可以將原始信號進(jìn)行自適應(yīng)分解，得到一系列正交的傅里葉固有頻帶函數(shù)(FIBFs)和一個殘余分量，可以將有用信息與噪聲進(jìn)行有效分離，避免了模態(tài)混疊問題的出現(xiàn)，可以直接將噪聲分量進(jìn)行剔除，保留含少量噪聲與有用信息的分量，進(jìn)行初步信號去噪，并且由于在分解過程中未加入高斯白噪聲，也就不會存在噪聲殘留問題。而小波包閾值方法，優(yōu)化了對信號高頻部分的分析，提高了信號的分析能力。

利用FDM和小波包閾值方法聯(lián)合去噪主要流程為：將原始信號分解為若干正交的傅里葉固有頻帶函數(shù)，通過分析相關(guān)系數(shù)，找出噪聲分量，剔除噪聲分量后，將剩余包含原始信號信息和少量噪聲的FIBFs進(jìn)行重構(gòu)；利用小波包閾值方法對重構(gòu)信號進(jìn)一步降噪，得到降噪處理后的爆破振動信號。

1 原理闡述

1.1 FDM算法

Pushpendra Singh等學(xué)者在傅里葉變換的基礎(chǔ)上[18]，提出一種新的時頻分析方法，其可用于分析非線性、非平穩(wěn)信號，即FDM(Fourier Decomposition Method)，此方法通過在傅里葉域內(nèi)自適應(yīng)搜尋解析傅里葉固有頻帶函數(shù)(AFIBFs)，從而獲得一系列傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個殘余分量，獲得多分量信號作為常數(shù)和單分量信號的唯一表示，該數(shù)學(xué)模型可用下式表示。

(1)

式中：n(t)為殘余分量；yi(t)∈C∞[a,b]為傅里葉固有頻帶函數(shù)(FIBFs)。FIBFs具有如下性質(zhì)：函數(shù)均為零均值函數(shù)；且不同分量函數(shù)之間兩兩正交；FIBFs提供的解析函數(shù)的瞬時頻率和瞬時幅值均不小于0。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為

(2)

(3)

(4)

由以上性質(zhì)可得，F(xiàn)DM方法具有完備性、正交性、局部性、自適應(yīng)性，對信號進(jìn)行傅里葉分解后，基本可以將信號中的有用信息與噪聲分離開來，且不會發(fā)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。

在搜尋AFIBFs時，可以由高頻向低頻搜尋(HTL-FS算法)，也可以從低頻向高頻搜尋(LTH-FS算法)，具體步驟為[19]

LTH-FS算法:

(1)對原始信號x(t)進(jìn)行傅里葉變換，即X[k]=FFT{x[n]}；

(4)對AFIBFs可求瞬時頻率和瞬時幅值，AFIBFs的實部即為FIBFs。

HTL-FS算法:

(1)對原始信號x(t)進(jìn)行傅里葉變換，即X[k]=FFT{x[n]}；

(4)對AFIBFs可求瞬時頻率和瞬時幅值，AFIBFs的實部即為FIBFs。

1.2 小波包算法

小波分解通過一組低通與高通濾波器將原始信號分解為高頻和低頻兩個部分，而后將低頻部分進(jìn)行分解。小波包分解將小波分解中未涉及的高頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而后再選擇最優(yōu)小波基函數(shù)，時頻分析效果優(yōu)于小波函數(shù)。其具體步驟為[20]：

(1)定義正交尺度函數(shù)φ(x)以及其對應(yīng)的小波函數(shù)ψ(x),設(shè)h(k)為低通濾波器系數(shù)，g(k)為高通濾波器系數(shù)，并且有h(k)和g(k)為共軛濾波器系數(shù)。

(5)

令μ0=φ(x),μ1=ψ(x)，則

(6)

(7)

可得小波包分解算法為

(8)

(3)將小波包分解進(jìn)行逆運(yùn)算，得到小波包重構(gòu)表達(dá)式為

(9)

1.3 FDM-小波包聯(lián)合降噪

基于FDM算法和小波包算法，提出基于傅里葉分解和小波包閾值方法相結(jié)合的爆破振動信號去噪方法，其具體步驟為：

(1)對原始爆破信號進(jìn)行傅里葉分解，將信號分解為若干傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個殘余分量；

(2)根據(jù)相關(guān)系數(shù)法篩選出噪聲模態(tài)分量，將剔除噪聲模態(tài)分量后的信號進(jìn)行重構(gòu)；

(3)利用小波包閾值方法對重構(gòu)信號進(jìn)行降噪處理，得到純凈信號。

2 仿真分析

2.1 爆破振動模擬信號建立

利用正余弦函數(shù)疊加函數(shù)模擬隧道爆破振動信號[21]，仿真信號表達(dá)式為

(10)

式中:z1(t)為原始信號;z5(t)為高斯白噪聲。模擬信號建立如圖1所示。

圖 1 仿真信號波形圖Fig. 1 Waveform of simulation signal

2.2 仿真信號的傅里葉分解及FIBFs相關(guān)性分析

對上述仿真信號進(jìn)行FDM分解，采用HTL-FS算法，分解得到37個傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個殘余分量r，由于篇幅限制，選擇其中10個模態(tài)分量進(jìn)行展示如圖2所示，其中y1～y3與原始信號波形相似，可初步認(rèn)為其含有原始信號中有用信息，而其余分量與原始信號波形差異較大，初步認(rèn)定其為噪聲分量。

圖 2 FDM分解結(jié)果Fig. 2 Decomposition result of FDM

對傅里葉固有頻帶函數(shù)與仿真信號進(jìn)行相關(guān)性分析，求得傅里葉固有頻帶函數(shù)與原信號z(t)互相關(guān)系數(shù)，部分互相關(guān)系數(shù)如表1所示。

表1 部分FIBFs與原信號z(t)互相關(guān)系數(shù)Table 1 Correlation coefficient of part of the FIBFs and Original signal z(t)

通過互相關(guān)系數(shù)，并結(jié)合波形圖可知，y4～y37相關(guān)性較小，可認(rèn)為是噪聲分量，將其剔除，y1、y2、y3分量與原始信號互相關(guān)系數(shù)較大，且包含原始信號細(xì)節(jié)特征，將其保留并重構(gòu)，利用小波包閾值方法進(jìn)一步進(jìn)行降噪。

2.3 小波包閾值方法降噪

將y1、y2、y3進(jìn)行重構(gòu)，采用小波包閾值方法對其進(jìn)行去噪處理，降噪后純凈信號如圖3所示。

圖 3 純凈信號波形圖Fig. 3 Pure signal after de-noising

2.4 仿真結(jié)果評價

通過對比波形圖可以發(fā)現(xiàn)，降噪后的純凈信號基本保留了初始信號z1(t)的特征信息，且剔除了其中的噪聲信息，利用MATLAB中互相關(guān)系數(shù)函數(shù)計算純凈信號與初始信號z1(t)的相關(guān)系數(shù)為0.9575，表現(xiàn)出良好的相關(guān)性，可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法可以準(zhǔn)確地去除信號中的噪聲，在隧道爆破振動信號去噪中表現(xiàn)良好，可以得到精確的振動信號。

再通過信噪比(SNR)和均方根差(RMSE)來評價爆破信號去噪效果[22]，信噪比越高，均方根差越小，說明去噪效果越好，表達(dá)式為

(11)

(12)

式中：Zi(t)為原始信號；Z′i(t)為去噪后信號；n為信號長度。

為驗證此方法的降噪效果，對仿真信號分別采用小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法進(jìn)行分析，所得波形圖如圖4所示。

圖 4 降噪效果對比圖Fig. 4 Noise reduction effect of several methods for comparison

分別計算上述方法信噪比和均方根差，所得結(jié)果如表2所示。

表2 降噪效果對比Table 2 Noise reduction effect comparison

通過對比可得，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法信噪比(10.3940)最大，均方根差(0.0889)最小，去噪效果最好，同時觀察波形圖可知，經(jīng)FDM-小波包聯(lián)合去噪后，波形圖的光滑程度得到顯著提高，在保留原始信號細(xì)節(jié)特征的同時，有效剔除了噪聲分量，證明了FDM-小波包聯(lián)合去噪方法在隧道爆破振動信號去噪中的有效性。

3 工程實例分析

3.1 爆破信號采集

實測爆破振動信號來自于新建京張高鐵草帽山隧道爆破施工[23,24],爆破振動信號采集儀器為中科測控公司研發(fā)的TC-4850爆破測振儀，最小工作采樣頻率為5Hz，原始爆破振動信號如圖5所示。

由圖5可知，受復(fù)雜施工環(huán)境影響，此信號爆破振速時程曲線不平滑，包含大量毛刺噪聲。

3.2 FDM-小波包聯(lián)合降噪

先對原始信號進(jìn)行FDM分解，采用HTL-FS算法，得到48個傅里葉固有頻帶函數(shù)和1個殘余分量r。部分傅里葉固有頻帶函數(shù)如圖6所示,其中，y1～y5分量特征清晰，無模態(tài)混疊現(xiàn)象，且與原始振動信號波形相似，初步認(rèn)為其包含大部分原始信號中有用信息，進(jìn)行相關(guān)性分析進(jìn)行驗證。

圖 5 爆破振動信號Fig. 5 Original signal of blasting vibration speed

圖 6 FDM分解結(jié)果Fig. 6 Decomposition result of FDM

對FIBFs進(jìn)行相關(guān)性分析，部分互相關(guān)系數(shù)如表3所示。

表3 部分FIBFs與原始信號互相關(guān)系數(shù)Table 3 Correlation coefficient of part of the FIBFs and Original signal

y1～y5相關(guān)系數(shù)較大，認(rèn)為其含有原始信號有用信息，其余分量相關(guān)系數(shù)較小，認(rèn)為其為噪聲分量，將y1～y5進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)行小波包閾值方法降噪，依據(jù)采樣定理[25]，信號采集頻率為5000 Hz，Nyquist頻率為2500 Hz，故小波基函數(shù)采取“db8”函數(shù)，進(jìn)行8層分解，采用軟閾值進(jìn)行去噪。所得純凈信號如圖7所示。

3.3 去噪結(jié)果評價與分析

為評價FDM-小波包聯(lián)合去噪方法，再分別采用小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法對原始信號進(jìn)行去噪，所得結(jié)果如圖8所示。

由圖8對比可知，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合降噪方法所得爆破振動時程曲線相比較而言最平滑，且保留了原始信號中的細(xì)節(jié)特征，基本消除了原始信號中的毛刺噪聲，去噪效果最好。而其余三種方法在進(jìn)行降噪后，所得時程曲線含有毛刺噪聲，降噪效果不理想。故采用FDM-小波包聯(lián)合降噪方法，有助于得到更為精確的爆破振動信號，為進(jìn)一步的爆破振動分析提供了更科學(xué)的基礎(chǔ)。

圖 7 純凈信號波形圖Fig. 7 pure signal after de-noising

圖 8 不同方法去噪結(jié)果對比Fig. 8 Noise reduction effect of several methods for comparison

對比不同方法的去噪過程，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法相對更簡便，由于其可以有效將原始信號中有用信息和噪聲進(jìn)行分離，故只需選擇相關(guān)系數(shù)較大的分量進(jìn)行重構(gòu)，之后利用小波包閾值方法進(jìn)一步降噪，可以在最大程度上保留有用信息，消除噪聲。

4 結(jié)論

依托新建京張高鐵草帽山隧道爆破施工，提出了一種傅里葉分解-小波包聯(lián)合降噪方法，分別對仿真信號及工程爆破振動信號進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

(1)FDM分解從根本上解決了模態(tài)混疊與噪聲殘留問題，提高了信號分解精度。

(2)與小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法相比，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合降噪方法所得到信噪比(10.3940)最大，均方根差(0.0889)最小，降噪效果最好。

(3)FDM-小波包聯(lián)合降噪所得純凈信號可有效保留原始信號中細(xì)節(jié)特征，可為后續(xù)信號精確分析奠定基礎(chǔ)。