駐點流中的顆粒動力學

李 青，陳堅強，畢 林，袁先旭，*

(1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學國家重點實驗室，綿陽 621000；2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000)

0 引 言

顆粒流體兩相流廣泛存在于化工及航空航天等領域，如流態(tài)化反應器、航空發(fā)動機和大推力火箭燃燒室等。在這些實際問題中，對于彌散相，一般顆粒數(shù)目NP從 O(1 02) 到 O(1 09)，顆粒相對攜帶流體的密度 比從 O (1) 到 O(103)，如化工管道中的顆粒懸浮物或者是河流泥沙懸浮顆粒如氣固流化床、航空航天中的顆粒湍流在某些極端條件下，如高溫顆粒壁湍流，密度比可以達到O(1 04)，顆粒雷諾數(shù)體的密度，μ 是流體的動力黏度，Uf是流體在顆粒重心位置的歐拉速度，Vp是顆粒的拉格朗日速度，a是其中 ρf是流顆粒半徑。從 O(1 0-3) 到 (1 03)，從 O(1 0-3)到 O(1 03)…… 特征參數(shù)覆蓋的范圍相當廣泛，問題復雜，物理內(nèi)容豐富。不同的工業(yè)背景下，我們遇到的問題也不同，因此提煉的科學問題以及解決的方法也不同。比如化工領域關(guān)心傳熱傳質(zhì)的宏觀量、質(zhì)量和熱量增量，用于指導優(yōu)化過程工程設計；航空航天領域則關(guān)心阻力、壓力分布和熱流密度分布，用于優(yōu)化各種飛行器的性能；生物醫(yī)學領域，比如心腦血管系統(tǒng)則關(guān)心顆粒沉積規(guī)律或者慣性聚集規(guī)律，用來預測血栓或從血液里過濾癌細胞，從而更好預防疾病或者設計相關(guān)醫(yī)療器械等。一般地，開發(fā)顆粒流體歐拉-歐拉兩相連續(xù)模型是學術(shù)界的目標，從而為解決工業(yè)界問題提供可靠的技術(shù)手段。歐拉模型把彌散相當成連續(xù)介質(zhì)考慮，然后根據(jù)具體問題進行各種簡化假設，建立封閉關(guān)系式，然后用顆粒解析或點顆粒的方法把這些關(guān)系式耦合到歐拉框架下（Li[1], Morris[2]）。為了解決這個問題，我們需要理解顆粒兩相流在不同幾何邊界下的流體動力學機制。比如Morris[2]只考慮平行剪切流的情況，駐點流情況就無法適用。駐點流的特點是，遠場速度大，然后隨著流體質(zhì)點運動到近壁面，流體質(zhì)點減速，動能轉(zhuǎn)化為壓力。因此，（以流體質(zhì)點沿著對稱軸法向運動為例），沿著法向的靠近壁面，流體質(zhì)點速度不斷減小，壓力不斷增大，當流體質(zhì)點運動到駐點的時候?qū)M足壁面無滑移和無穿透條件，滯止在駐點，此時駐點壓力最大，流體質(zhì)點動能為零；另一方面，駐點的巨大壓力推動流體質(zhì)點遠離駐點，壓力不斷轉(zhuǎn)化為流體質(zhì)點動能，隨著流體質(zhì)點不斷遠離駐點，流體質(zhì)點速度不斷增加，壓力減小。通過分析得知，駐點流的速度場和壓力場是全場非均勻的。

在工程應用中，如頁巖氣開采，通過把帶顆粒的非牛頓流體垂直向下注入地表層中，液體壓力會使得巖石破裂，而懸浮顆粒會占據(jù)巖石裂縫的空間，使得巖石無法閉合。 這樣，水壓力就可以進一步破裂巖石，從而為開采地下的天然氣提供條件。因此近年來基于工程需求的推動，駐點流中的顆粒動力學蓬勃發(fā)展。例如 Vigolo[3]用點顆粒模型耦合直接數(shù)值模擬和物理實驗研究T管流中的大密度比顆粒群運動（圖1）；Li[4-5]用顆粒解析的直接數(shù)值模擬PR-DNS研究一個中性顆粒在三維軸對稱駐點流對稱軸上的運動；Manoorkar[6-7]通過物理實驗和直接數(shù)值模擬，研究T管流中有限尺寸中性顆粒群的輸運特征；Rallabandi[8]用理論解研究在低雷諾數(shù)條件下，一個顆粒在駐點流中的運動。Vigolo[3]發(fā)現(xiàn)，顆粒反彈系數(shù)和顆粒慣性高度相關(guān)，而且由于三維渦效應，顆粒反彈系數(shù)分布是彌散狀的。Manoorkar[6-7]也同樣發(fā)現(xiàn)T管流的三維渦效應，還發(fā)現(xiàn)顆粒輸運慣性分選的特征。Wang[9]通過物理實驗研究了駐點流的三維渦效應，他們通過在遠離壁面的距離施加不同的擾動，得到了一個類似于卡門渦的脫離渦對，這個渦對在靠近壁面時始終不撞擊對稱中心（圖2）。工業(yè)問題中的駐點流非常容易出現(xiàn)三維渦效應，抑或是流場本身出現(xiàn)三維渦結(jié)構(gòu)（Vigolo[3]），抑或是來流擾動導致（Wang[9]）。鑒于此，Li[4-5]采用三維軸對稱的數(shù)值控制域，考慮中性顆粒只在對稱軸上運動的情況，移除了駐點流三維不對稱效應帶來的復雜性，得出了相似結(jié)論—顆粒慣性主導駐點流中的顆粒動力學，并且得出了更多的進一步細節(jié)。

圖1 T型管流運動的示意圖Fig. 1 Particles clustering in a T junction

除了Vigolo[3]的大密度比顆粒群課題，大多數(shù)研究的共同點都是：顆粒慣性與流體慣性相當St～O(1)，密度比背景流動是全場非均勻駐點流。這種情況下，一方面，顆粒慣性和環(huán)境流體慣性相當；另一方面，顆粒的有限尺度往往和流體微團最小水動力尺度相當，展現(xiàn)出高度的局部各向異性特征，換句話說，顆粒相與流體進行動量交換的方式是空間非均勻的[10]（圖3）。因此，常規(guī)的點顆粒模型數(shù)值方法將不再適用，必須采用考慮有限尺寸效應的顆粒解析的數(shù)值算法：如有限元、格子玻爾茲曼法LBM[11]， 貼體網(wǎng)格下的有限差分或有限體積[12]，虛擬點法[13]，浸沒邊界方法（Immersed Boundary Method，IBM）[14]?？紤]顆粒的有限體積效應一直是顆粒流體兩相流的挑戰(zhàn)之一，尤其是在顆粒湍流中，有限體積的顆粒注入各向異性的動量擾動，會影響湍流的脈動統(tǒng)計量[15]。因此，為了保證數(shù)值實驗的正確性，Li[4-5]采用了浸沒式邊界方法IBM耦合有限體積流體求解器的數(shù)值算法對駐點流的顆粒動力學進行分析。

圖2 駐點流來流擾動渦對在近壁面的非對稱特性[9]Fig. 2 The non-axisymmetric characteristic of a perturbed vortex pair in a stagnation point flow[9]

圖3 有限尺寸懸浮顆粒尺度與流體微團最小運動尺度量級相當情況下的示意圖Fig. 3 A schematic of a suspended particle with the same order of characteristic length scale as that of the flow

接下來，簡要介紹和回顧Li[4-5]的核心工作。Li特別關(guān)注駐點流中的顆粒動力學機制問題，這個領域還罕有研究，但是卻很重要。在實際工業(yè)問題中，顆粒懸浮的裝置往往是復雜幾何外形，包括駐點流情況。開發(fā)顆粒兩相流的歐拉-歐拉連續(xù)模型則首先需要對復雜幾何外形下的顆粒懸浮機理有清晰的認識。駐點流顆粒懸浮問題是一類特殊和典型的問題，比如常見的化工T型管道。

1 顆粒解析的直接數(shù)值模擬方法：浸沒式邊界方法IBM

方程(1)和方程(2)概括描述了顆粒解析的直接數(shù)值模擬方法IBM。式中 Ω 是顆粒體積，u是流場速度矢量，Vp是顆粒速度矢量，是滿足流體與剛性顆粒邊界無滑移條件的動量交換矢量,α是光滑函數(shù)以確保數(shù)值穩(wěn)定性，是在顆粒表面拉格朗日點上流體相和顆粒相的滑移速度矢量，dt是流體求解器的時間步長[14]。一般來說，IBM方法可以計算顆?；评字Z數(shù)Rep～O(100)的問題，IBM方法也可以用在復雜外形計算湍流問題[16]。

在湍流問題中，隨著Re增加，對數(shù)值算法的網(wǎng)格解析精度要求增加，因為多尺度的湍流的最小脈動尺度K41隨之減小[17]。值得注意的是，流場雷諾數(shù)和顆粒滑移雷諾數(shù)是兩個不同的概念。當流場雷諾數(shù)Re很高的時候，顆?；评字Z數(shù)Rep可以很小。一般來說，工業(yè)問題中的高雷諾數(shù)顆粒湍流，Rep～O(100)。所以，IBM 方法可以用來研究高雷諾數(shù)顆粒湍流。

2 單個中性顆粒在駐點流中的動力學

駐點流的理論模型Hiemenz 流動可以在三維或者三維軸對稱的條件下，通過自相似解求得[18]。Hiemenz 流動是全場非均勻的，遠場速度大，近壁面速度小，壓力則是遠場小，近壁面大，這是因為流體動能轉(zhuǎn)化為壓力的緣故。遠離壁面，壁面法向距離大于大約三個Hiemenz 特征長度δ，也叫黏性邊界層厚度，Hiemenz理論解求出的渦量幾乎為零[18]，流場是無黏的，是無黏擠壓流動，擠壓率可表示為B，根據(jù)具體問題不同，擠壓率可以橫跨好幾個數(shù)量級B=O(1)～O(104)。 在化工流動中，一般擠壓率B～O(1)，以T 型管流為例，B=U/D，U是垂直管流的平均速度，D是等直徑T型管的直徑。而在航空航天飛行器的頭部駐點流中，擠壓率可以達到B～O(104)，B=U/D，U是脫體激波后的流體速度，D是脫體激波的距離?？拷诿?，由于壁面的無滑移滯止作用，黏性邊界層會發(fā)展起來，Hiemenz理論解求出的渦量幾乎為零[18]，Hiemenz流動中的黏性邊界層厚度是常數(shù)v是流體的動力黏度，Bδ是流體的特征速度。因為Hiemenz流動是全場非均勻的，所以它沒有特征流動雷諾數(shù)，只有局部雷諾數(shù)Rer=(r/δ)2，Rez=(z/δ)2，所以，通過局部最大雷諾數(shù)來控制數(shù)值計算域，防止數(shù)值發(fā)散[4]。防止數(shù)值發(fā)散至少有好幾個方法，目前已知的一個是局部最大雷諾數(shù)不能太大，一個是遠場采用非均勻粗網(wǎng)格。

圖4表明，Li[4-5]的數(shù)值方法能很好地重構(gòu)一個Hiemenz流場并與理論解吻合。 圖4 的橫軸分別表示歸一水平速度和法向速度，豎軸表示歸一化的壁面距離，黑色虛線表示Hiemenz流動的理論解，從左到右不同彩色實線表示不同徑向位置切面r/δ=1.56，3，8的DNS計算的速度剖面結(jié)果。Li[4]在此基礎上研究單個有限尺寸中性懸浮顆粒在駐點流中的動力學（圖5）。

2.1 與壁面發(fā)生彈性碰撞前

圖6 顯示了不同有限尺寸顆粒受到的無黏環(huán)境壓力的理論解，Ba2是駐點流的特征水動力[19]，見式(3～5)。圖6中橫軸表示不同有限尺寸中性懸浮顆粒在駐點流中受到的歸一化無黏環(huán)境壓力的理論解，豎軸表示歸一化的壁面距離，從左到右不同的彩色線表示從小到大的有限尺寸中性懸浮顆粒a/δ=0.8，1.6，2.4，3.2。可以看到，如果有限尺寸慣性顆粒只受到無黏環(huán)境壓力作用，那么顆粒的運動導數(shù)和流體微團的隨體導數(shù)是等價的，那這種情況可以認為顆粒有示蹤粒子行為[20]。

圖4 DNS流場歸一化速度與駐點流理論解驗證Fig. 4 Comparisons of dimensionless velocities between DNS and the theoretical solution

圖5 一個有限尺寸中性懸浮顆粒在三維軸對稱駐點流中的動力學的顆粒解析的直接數(shù)值模擬PR-DNS示意圖[5]（ω/B表示歸一化標量渦量）Fig. 5 A finite-size neutrally-buoyant particle in an axisymmetric stagnation point flow obtained by the particle-resolved DNS[5](ω/B represents thedimensionless vorticity intensity)

圖6 不同有限尺寸顆粒受到的無黏環(huán)境壓力的理論解[4]Fig. 6 The dimensionless theoretical ambient pressure force excerted on different finite size neutrally-buoyant particle[4]

圖7（a）顯示了不同有限尺寸顆粒沿法向?qū)ΨQ軸受到的總水動力。遠離壁面，總水動力線性遞減，只受到無黏環(huán)境壓力，呈示蹤粒子行為?？拷诿?，由于壁面黏性邊界層與顆粒相互作用，顆粒受到的總水動力不再是無黏環(huán)境壓力，示蹤粒子行為不再成立，見圖7（b）。

圖7 在不同壁面距離條件下，不同慣性顆粒受到的總水動力以及速度與流體微團速度的比較[4]Fig. 7 The hydrodynamic force on inertial particles at different gaps between the bottom of particles and the wall , and the velocities of inertial particles as a function of the distances between the center of particles and the wall [4]

圖7（a）的橫軸表示不同有限尺寸顆粒在駐點流中受到的歸一化總水動力，豎軸表示歸一化的壁面距離，從左到右不同的彩色線表示從小到大的有限尺寸中性懸浮顆粒a/δ=0.8，1.6，2.4，3.2。圖7（b）的橫軸表示不同有限尺寸顆粒在駐點流中的歸一化速度，豎軸表示歸一化的壁面距離，藍色實線表示流體示蹤粒子，其他的彩色線與圖7（a）意義相同。 圖7上圖表明靠近壁面，不同慣性顆粒受力趨勢分為兩種情況，一種情況顆粒受力趨于零，另一種趨于發(fā)散。這是因為近壁面的顆粒受力主要由潤滑力控制，，當顆粒慣性小的時候，潤滑力使得慣性顆粒動能耗散為零V～0，潤滑力也收斂為零Flub～0；另一種情況，潤滑力呈現(xiàn)發(fā)散趨勢，因為慣性作用還不能在有限壁面距離內(nèi)被流體的黏性作用完全耗散，顆粒以有限大小速度撞擊壁面，而 ε～0，所以呈發(fā)散趨勢，這里ε 是顆粒與壁面的無量綱壁面距離。 這種情況下，彈性碰撞將會發(fā)生，純粹描述流體動力學的N-S方程將不再能描述這個復雜物理問題，物理問題將變?yōu)榱鞴恬詈蠁栴}，必須考慮固體彈性碰撞的過程。

2.2 與壁面發(fā)生彈性碰撞后

當彈性碰撞發(fā)生后，方程（6）描述了顆粒動力學，方程（1）描述了有顆粒擾動的流體力學場。理論上是，求解一個考慮顆粒相動量注入的流體力學偏微分方程，同時求解一個顆粒動力學方程.之前的難點在于如何給出Fc的表達式。因為顆粒彈性碰撞力是物性材料和碰撞時間的函數(shù)，這里簡要表示為Fc=f(Tc)，Tc是理論碰撞力表達式的理論碰撞時間。一般地，當顆粒慣性大的時候 St～O(1000)，顆粒反彈系數(shù)和流場特性無關(guān)，近似等效于顆粒本身的干碰撞系數(shù)[21-23]。但是當顆粒慣性小的時候 St～O(10)，反彈系數(shù)就和顆粒慣性相關(guān)，不再直接等于干碰撞系數(shù)，這是因為水動力效應黏性耗散了部分顆粒動能[21-22]。既然如此，當顆粒慣性小的時候，顆粒碰撞時間也沒有理由是常數(shù)[24]。Li[5]總結(jié)了前人的實驗和理論結(jié)果（ Zenit[23]和Birwa[24]）后，采用彈性力學解析解（Goldsmith[25]）來表達數(shù)值模擬中的Tc，獲得了很好的結(jié)果。

圖8表明，Li[5]的數(shù)值方法能很好地重構(gòu)濕潤碰撞的物理場景，準確預測了濕潤碰撞的反彈系數(shù)，并且反應濕潤碰撞的不同慣性顆粒的不同碰撞時間，濕潤碰撞時間不取決于任意的數(shù)值光滑參數(shù)，數(shù)值上具有魯棒性。 圖8（a）的橫軸表示歸一化的不同顆粒慣性，豎軸表示歸一化的反彈速度，黑白符號代表實驗數(shù)據(jù)（Joseph[21]和 Gondret[22]），彩色符號代表不同數(shù)值參數(shù)下的直接數(shù)值模擬DNS結(jié)果。圖8（b）的橫軸表示歸一化的不同顆粒慣性，豎軸表示歸一化的顆粒濕潤碰撞時間，插圖的豎軸表示歸一化的干碰撞時間，彩色符號代表不同數(shù)值參數(shù)下的直接數(shù)值模擬DNS結(jié)果。Nc表示數(shù)值光滑參數(shù)，η表示無量綱歸一化粗糙度，Stc表 示不同粗糙度 η條件下的顆粒反彈發(fā)生的臨界顆粒慣性。在化工領域，顆粒碰撞的典型慣性一般為是顆粒在靜止環(huán)境流體中的定常沉降速度。所以Li[5]的數(shù)值方法是有針對性的。

圖8 PR-DNS數(shù)值模擬的重力沉降問題的反彈系數(shù)和濕碰撞時間[5]Fig. 8 PR-DNS results of rebound coefficients and wet collision time for settling problem[5]

Li[5]給出了不同慣性的有限尺寸中性顆粒的反彈系數(shù)，數(shù)值實驗表明，中性顆粒在駐點流中的動力學與沉降顆粒類似，都是依賴于顆粒慣性；數(shù)值方法上，濕潤碰撞時間反應濕潤碰撞的不同慣性顆粒的不同碰撞時間，濕潤碰撞時間不取決于任意的數(shù)值光滑參數(shù)，數(shù)值上具有魯棒性，見圖9。這里Nc表示數(shù)值光滑參數(shù)，η表示無量綱歸一化粗糙度，ac表示不同粗糙度 η條件下的顆粒反彈發(fā)生的臨界顆粒半徑。圖9（a）的橫軸表示歸一化的不同顆粒慣性，豎軸表示歸一化的反彈速度，彩色符號代表不同數(shù)值參數(shù)下的直接數(shù)值模擬DNS結(jié)果。圖9（b）的橫軸表示歸一化的不同顆粒慣性，豎軸表示歸一化的顆粒濕潤碰撞時間，彩色符號代表不同數(shù)值參數(shù)下的直接數(shù)值模擬結(jié)果。 我們發(fā)現(xiàn)，中性顆粒反彈的閾值、轉(zhuǎn)捩點在a/δ～1處，這是合乎常理的。因為，一開始Li[4]把數(shù)值實驗設置為中性顆粒，移除了兩相密度比對顆粒慣性的影響，換句話說，顆粒慣性完全來自于顆粒本身的有限尺寸。如果顆粒有限尺寸與邊界層厚度相當，那么顆粒慣性動能將會完全被黏性邊界層耗散掉，見圖7、圖9和圖10。如果顆粒有限尺寸比邊界層厚度大很多，那么顆粒慣性將無法在有限截斷尺度的壁面距離內(nèi)被黏性邊界層完全耗散（具體是潤滑力主導這個過程），那么慣性顆粒將會以有限速度撞擊壁面，見圖7，彈性碰撞和反彈將會發(fā)生，見圖9?？傊瑔蝹€有限尺寸中性顆粒在駐點流中的動力學將完全由顆粒慣性a/δ控制[4]。

圖10 不同有限尺寸中性顆粒與黏性邊界層厚度對比示意圖，a）和b）分別表示不同的有限尺寸中性懸浮顆粒在三維軸對稱駐點流近壁面對流場的影響[4]Fig. 10 A schematic of surrounding flow fields around neutrallybuoyant particles with different sizes. Dashed lines represent the boundary layer edge [4]

3 一對中性顆粒在駐點流中的動力學

實際問題中，顆粒往往是一群的，它們聚集或者分散，因此研究一對中性顆粒的行為將為我們研究大量彌散顆粒在駐點流中的動力學打下研究基礎（見圖11（a））。在確保網(wǎng)格無關(guān)和時間步無關(guān)的前提下，我們測試了不同的慣性顆粒和不同的初始顆粒間距，確保圖11（b）的結(jié)果是可重復的[5]。 圖11（b）的橫軸表示歸一化的時間，豎軸表示不同顆粒的歸一化壁面距離，藍色虛線代表單個中性顆粒，藍色實線代表兩倍于藍色虛線的顆粒半徑的中性顆粒，紅黑線代表分別代表一對顆粒中的低位和高位顆粒，紅色實線代表與藍色虛線半徑相同的低位顆粒，黑色實線代表與藍色虛線半徑相同的高位顆粒，綠色符號表示低位顆粒的無壁面接觸的反彈點。 我們發(fā)現(xiàn)，一對顆粒中的低位顆粒（紅色軌跡）可以不接觸壁面發(fā)生反彈，見圖11（b）和插圖里的綠色符號，而單個顆粒卻沒有這種行為（藍色虛線軌跡）。這很反常，僅憑借水動力效應就能把一個慣性顆粒彈起嗎？

圖11 駐點流中的顆粒非接觸碰撞反彈現(xiàn)象[5]Fig. 11 Contactless bouncing phenomenon of particle in a stagnation point flow[5]

圖12解釋了這種反常的反彈。圖12的水平軸表示歸一化時間。圖12（a）的豎軸表示不同顆粒的歸一化壁面距離，圖12（b）的豎軸表示不同顆粒受到的總水動力，圖12（c）的豎軸表示不同顆粒受到的無黏環(huán)境壓力，圖12（d）的豎軸表示不同顆粒受到的總水動力減去無黏環(huán)境壓力的凈效應。藍色虛線代表單個中性顆粒，紅黑線代表分別代表一對顆粒中的低位和高位顆粒，紅色實線代表與藍色虛線半徑相同的低位顆粒，黑色實線代表與藍色虛線半徑相同的高位顆粒。 簡單來說，就是一對顆粒的情況下，高位顆粒替低位顆粒阻擋了來自上方的駐點流向下擠壓效應[26],而低位顆粒沒有物體替它阻擋。駐點流的非均勻性會產(chǎn)生一個向上托舉的無黏環(huán)境壓力[19]，見方程（3），見圖6。圖12也通過顆粒解析的直接數(shù)值模擬的結(jié)果表明，低位顆粒的總水動力是向上的，而單個顆粒則是向下的。無黏環(huán)境壓力始終存在于駐點流，由于一對顆粒的高位顆粒的庇護作用，使得低位顆?？梢员粺o黏環(huán)境壓力托舉起來[5]。

Li[26]還發(fā)現(xiàn)慣性小的顆粒會抱團撞擊壁面，慣性大的則無法抱團，見圖13，水平軸表示歸一化的顆粒慣性；左，右豎軸分別表示單個顆粒和一對顆粒中的低位顆粒的歸一化反彈系數(shù)。Li[26]認為這是駐點流的擠壓效應與顆粒慣性競爭的結(jié)果，當顆粒慣性小的時候，擠壓效應大于顆粒慣性，顆粒間相互碰撞后無法彈開，被擠壓流牢牢抱緊在一起；慣性大則不會。Li[26]歸一化了抱團顆粒對的慣性后發(fā)現(xiàn)，抱團顆粒對的歸一化反彈系數(shù)曲線和單個顆粒的反彈系數(shù)曲線是重合。這再一次印證了Li[4]的結(jié)論，駐點流中的顆粒動力學由顆粒慣性控制。

圖12 單個和一對有限尺寸中性顆粒在駐點流中的受力以及各力分量比較示意圖[5]Fig. 12 A illustration of the dynamics of a single and a pair of neutrally-buoyant particles in a stagnation point flow[5]

圖13 單個（藍色）和一對有限尺寸中性顆粒（紅色）在駐點流中的反彈系數(shù)比較示意圖[26]Fig. 13 The dimensionless rebound velocities of a single (blue)and a pair of (red) isolated neutrally-buoyant particles[26]

4 結(jié)論與展望

駐點流中的顆粒動力學與非駐點流顆粒動力學非常不同。研究通過選取有限尺寸中性懸浮顆粒在三維軸對稱駐點流對稱軸上運動這個基本模型，移除了真實來流擾動或者數(shù)值擾動的影響，移除了密度比對顆粒慣性的影響，這樣顆粒慣性完全來自于顆粒有限尺寸，顆粒動力學將局限于法向，顆粒與環(huán)境流體和壁面的相互作用，不需要考慮來流擾動導致的非定常效應，不需要考慮顆粒不在對稱軸上導致的剪切誘導升力。

遠離壁面，中性顆粒會像示蹤流體微團一樣運動。通過數(shù)學推導，研究得出，顆粒動力方程的牛頓慣性項等于流體微團的隨體導數(shù)。這在數(shù)學上解釋了：為什么有限尺寸慣性顆粒與數(shù)學上無窮小的流體微團示蹤粒子的運動軌跡重合。

靠近壁面，顆粒慣性的不同將導致顆粒偏移流體示蹤顆粒軌跡的幅值不同: 慣性大的顆粒，將會誘導出大的潤滑力，反之亦然。但是潤滑力是數(shù)學理想模型。當顆粒慣性小，黏性潤滑力足以耗散掉所有的顆粒動能，顆粒將會減速至零并停留在壁面；當顆粒慣性大，在撞擊有限尺度的粗糙度壁面前，潤滑力不足以耗散掉顆粒動能，顆粒將會以有限速度撞擊壁面，彈性碰撞將會發(fā)生，這個有限速度與顆粒慣性成正比。當彈性碰撞發(fā)生后，流體力學問題變成了流固耦合問題。因此我們耦合一個固體彈性力學的解析表達式到碰撞模型里，與流體求解器耦合求解，與經(jīng)典沉降實驗數(shù)據(jù)吻合。

研究發(fā)現(xiàn)，單個中性顆粒在駐點流中的反彈系數(shù)與沉降顆粒類似，與顆粒慣性相關(guān)。但是當研究到一對中性顆粒的時候，反常的現(xiàn)象發(fā)生了。首先，根據(jù)顆粒慣性不同，顆粒對有可能會抱團，這是駐點流擠壓效應與顆粒慣性相互競爭的結(jié)果；其次，當顆粒對以抱團撞擊壁面的時候，顆粒的反彈系數(shù)與單個顆粒反彈系數(shù)是重合的；最后，當顆粒對不抱團的時候，低位顆?？梢圆蛔矒舯诿姘l(fā)生反彈。

研究闡明了駐點流中的有限尺寸中性顆粒動力學完全由顆粒慣性/有限尺寸控制的機理,為進一步研究駐點流中的顆粒動力學鋪墊了基礎。對于某些工業(yè)應用中的駐點流中的顆粒動力學問題，顆粒運動軌跡往往不是在對稱軸上的，那么隨之而來的平行加速流帶來的剪切誘導升力就必須要考慮；此外，顆粒與攜帶流體的密度比也不總是1，顆粒的慣性將不再由有限尺寸單獨控制，顆粒相對流體的密度比效應也需要考慮。未來我們將針對這些真實問題帶來的復雜效應，進行更深入的基礎研究。

致謝感謝國家重點研發(fā)計劃（2019YFA0405200）經(jīng)費的支持，感謝圖盧茲大學Abbas 教授、Climent教授、Magnaudet教授和紐約城市大學Morris教授在作者博士工作期間給予的幫助和支持。

APPENDIX: NOMENTCLATURE

ρfcarried fluid density, kg/m3

ρpparticle density, kg/m3

Npparticle number, 1

aparticle radius, m

dparticle diameter, m

Ufunperturbed fluid velocity at particle center, m/s

Vpparticle velocity vector at particle center, m/s

Vnormal particle velocity at particle center, m/s

gnormal gravity constant, m2/s

qparticle flux over unit surface, m2/s

μdynamics viscosity,Pa·s

v kinematic viscosity, m2/s

Bflow strain rate, 1/s

δ Hiemenz flow character length scale, m

Stparticle Stokes number, represents surrounding particle inertia effect in comparing viscous fluid effect, 1