高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)條件下圓球繞流曳力系數(shù)

李瑞元，陳飛國，葛 蔚，張永民

(1. 中國科學(xué)院過程工程研究所 多相復(fù)雜系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100190；2. 中國石油大學(xué)（北京） 重質(zhì)油國家重點實驗室，北京 102249；3. 中國科學(xué)院 綠色過程制造創(chuàng)新研究院，北京 100190；4. 中國科學(xué)院大學(xué) 化學(xué)工程學(xué)院 北京 100049)

0 引 言

圓球繞流曳力系數(shù)（drag coefficient，CD）是流體力學(xué)研究的重要基礎(chǔ)問題，其可作為量化指標廣泛應(yīng)用于航空航天、醫(yī)藥加工、石油化工及能源工業(yè)等領(lǐng)域中。

在通常的不可壓縮連續(xù)流體中，圓球繞流曳力系數(shù)CD被認為是雷諾數(shù)（Reynolds number，Re）的函數(shù)，一百多年來的國內(nèi)外學(xué)者也對此進行了詳盡研究。而在飛行器涉及的高速高空環(huán)境中，往往伴有高馬赫數(shù)的可壓縮性以及高努森數(shù)條件下的稀薄效應(yīng)，CD不僅與Re相關(guān)，還與馬赫數(shù)（Mach number，Ma）或者努森數(shù)（Knudsen number，Kn）相關(guān)。

高馬赫數(shù)條件下圓球繞流曳力系數(shù)CD的研究主要有地面實驗[1-13]和數(shù)值模擬[14-19]等方法。實驗方法又可分為直接測量和間接計算兩種方式。直接測量是指在風洞實驗中通過測量細線懸掛球體偏轉(zhuǎn)角度或金屬支撐球體受力計算球體的CD[1,2,4,8-11,13]。1961年P(guān)eter等[10]在干燥的空氣中用細線懸掛球體，測量偏轉(zhuǎn)角度來計算圓球受流體作用力，獲得了3.8 ＜Ma＜ 4.3，50 ＜Re＜ 1 000范圍內(nèi)圓球繞流的CD值。1962年Aroesty[9]采用相似的方法在伯克利低密度風洞中測量得到了2 ＜Ma＜ 6，10 ＜Re＜ 10 000范圍內(nèi)的CD。間接計算是指通過彈道的形式發(fā)射物體，獲得位置與時間的關(guān)系，從而求解獲得CD[3,5-7,12]。1967年Short等[7]通過彈道實驗測量獲得了0.4×106＜Re＜ 1.6×106，0.4 ＜Ma＜ 14.5范圍內(nèi)圓球繞流的CD。1968年Crowe等[5]通過彈道實驗獲得了0.01 ＜Re＜ 5.1，0.036 ＜Ma＜ 1.77范圍內(nèi)圓球繞流的CD。1972年Bailey[3]發(fā)射泡沫塑料球至干燥空氣中，記錄不同時刻球的位置，計算得到球體的CD。

風洞及彈道實驗獲得的CD結(jié)果較為可信，但其成本高昂，測量過程易受其他因素影響，誤差較大且難以獲得流場的細節(jié)特征。隨著計算機技術(shù)和流體力學(xué)計算方法的發(fā)展，數(shù)值模擬作為一種可信的方法被用來研究圓球繞流。

Tao等[14]用格子玻爾茲曼方法（lattice Boltzmann method, LBM）模擬研究了0.1 ＜Re＜ 3.5和0.1 ＜Kn＜ 1.1條件下的圓球繞流。Nagata等[15]采用計算流體力學(xué)（computational fluid dynamics，CFD）方法，模擬研究圓柱區(qū)域中50 ＜Re＜ 300和0.3 ＜Ma＜ 2條件下的圓球繞流，并獲得了豐富的繞流尾跡特征。Dogra等[19]使用直接數(shù)值模擬蒙特卡洛方法（direct simulation Monte Carlo, DSMC）研究了Re＞ 100和Kn＜ 0.1條件下的圓球繞流。

我們整理了文獻中不同Re和Ma下的CD數(shù)據(jù)，繪制于圖1中。可以發(fā)現(xiàn)，文獻中CD數(shù)據(jù)較為分散，不同文獻中的變化規(guī)律有時還有所差異；另外，在1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3這一趨勢變化劇烈的范圍內(nèi)，特別在1≤Re≤10和0.5≤Ma≤3高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)區(qū)間內(nèi)，文獻中CD數(shù)據(jù)不全，難以準確揭示該范圍內(nèi)的CD與馬赫數(shù)的變化規(guī)律。

圖1 圓球繞流曳力系數(shù)Fig. 1 A compilation of drag coefficients of flows past a sphere

在高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)條件下，努森數(shù)Kn較大，氣體流動為過渡流（0.1≤Kn≤10）或者分子流（Kn≥10）。該狀態(tài)下實驗測量困難，而基于連續(xù)流體的CFD方法難以適用，LBM方法的玻爾茲曼方程適合描述Kn≥10的流體，分子動力學(xué)（molecular dynamics, MD）方法計算精確但計算需求極大。

葛蔚等[20-21]提出的擬顆粒模型（pseudo-particle model，PPM）將軟球模型的時驅(qū)算法結(jié)合到硬球模型（hard sphere，HS）中，具有MD計算精確和DSMC計算高效的優(yōu)點，同時PPM采用時間驅(qū)動，提高了計算可擴展性。在PPM中，兩個擬顆粒在接觸碰撞時距離會稍小于粒子直徑，將碰撞時距離的統(tǒng)計平均作為粒子有效直徑，此時擬顆粒性質(zhì)就能與硬球顆粒等效，即擬顆粒模型可以視作一種可變徑硬球模型。沈國飛和葛蔚[22]將HS與 PPM 耦合建立了硬球-擬顆粒方法（HS-PPM）：在各子區(qū)域內(nèi)部采用HS模擬流場，而用PPM模擬邊界區(qū)域，在保證碰撞精確性的同時解決了傳統(tǒng)HS不易擴展的問題，便于大規(guī)模并行計算。HS-PPM為高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)條件下的圓球繞流研究提供了合適的模擬計算方法。

本文計劃應(yīng)用HS-PPM方法模擬1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3條件下圓球繞流過程，獲得的曳力系數(shù)數(shù)據(jù)用于初步分析CD(Re,Ma)。

1 圓球繞流HS-PPM模擬

HS-PPM耦合方法模擬圓球繞流示意于圖2中，其中U表示來流氣速，L為模擬區(qū)域長度，H為高度，W為寬度，L1為圓球離入口距離。

圖2 圓球繞流模擬示意Fig. 2 A sketch of the numerical simulation of a flow past a sphere

本文分別將氣體粒子的質(zhì)量、直徑作為質(zhì)量、長度單位，擬顆粒更新時間步長為1個時間單位。

1.1 HS-PPM方法

在HS-PPM耦合方法中，HS用于精確計算粒子碰撞，而PPM有效擴展計算規(guī)模。兩個粒子是否發(fā)生碰撞的判據(jù)表述為兩粒子間距離|r1-r2|小于它們的半徑之和以及r1-r2與v1-v2的點積為負值，則它們將以光滑硬球方式碰撞。

根據(jù)模擬需要將區(qū)域劃分為Nx×Ny×Nz個子區(qū)域，每個子區(qū)域內(nèi)部采用HS，邊界區(qū)采用PPM連接各HS模擬區(qū)域，示意于圖2中。每個進程負責一個子區(qū)域內(nèi)計算，相鄰進程間構(gòu)建一層虛擬緩沖區(qū)由消息傳遞接口（message passing interface，MPI）協(xié)議實現(xiàn)信息交換。

1.2 氣體-圓球作用

運動的氣體粒子與圓球發(fā)生接觸時其路徑會發(fā)生變化，涉及的氣體-圓球間作用通常采用反彈或漫反射方式處理。反彈模型中入射粒子速度法向分量沿法線反轉(zhuǎn)，切向分量保持。漫反射模型中出射粒子速度遵循給定溫度下的偏麥克斯韋分布，與入射速度無關(guān)，具有完全熱適應(yīng)能力。在高馬赫數(shù)流動中，實際氣體粒子與圓球的作用同時結(jié)合了上述兩種方式，引入熱適應(yīng)系數(shù)α（0≤α≤1）來描述[23]，即粒子的出射速度中α部分來自于偏麥克斯韋分布的漫反射，（1-α）部分采用反彈模型。

1.3 邊界設(shè)置

如圖2所示，氣體從左邊以速度U均勻流入模擬區(qū)域，從右邊出去的氣體粒子將在左邊控制區(qū)內(nèi)應(yīng)用速度重新標定控溫法[20-21]被賦予初速U重新生成，而上下和前后方向采用周期性邊界條件，保證氣體粒子數(shù)守恒?？刂茀^(qū)厚度為1，沿y方向和z方向被分割成4Ny×4Nz個子區(qū)。這樣處理后，氣體的流動長時間演化達到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。

1.4 曳力系數(shù)的計算

氣體粒子與圓球之間的每次碰撞均會對圓球產(chǎn)生一個沖量，則在一定時間段內(nèi)統(tǒng)計這些沖量得到圓球受到氣體的平均作用力FD為：

其中P2-P1表示T2-T1時間內(nèi)動量改變量的累加值。圓球繞流的曳力系數(shù)CD計算公式為：

其中D為圓球直徑。

在本文涉及的條件下，體系運行1×106時間后流動達到穩(wěn)定，隨后開始統(tǒng)計計算曳力系數(shù)，統(tǒng)計持續(xù)時間為4×106（Re＜15）或1×106（Re≥15）。

2 結(jié)果與討論

圓球繞流HS-PPM模擬得到的CD不僅與Re和Ma相關(guān)，還受到模擬設(shè)置的影響，主要包括模擬區(qū)域設(shè)置和熱適應(yīng)系數(shù)α。因此本部分首先考察模擬區(qū)域設(shè)置和熱適應(yīng)系數(shù)等模擬設(shè)置對CD的影響規(guī)律，從而獲得合理的模擬設(shè)置用于1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3條件下圓球繞流CD數(shù)據(jù)的補充和分析。

2.1 曳力系數(shù)模擬計算

以Re= 19.4和Ma= 1.195條件下的圓球繞流模擬為例，說明曳力系數(shù)的計算過程和誤差分析。在L×W×H= 276.8×276.8×276.8區(qū)域內(nèi)用3.24×106氣體粒子，模擬了Re= 19.4和Ma= 1.195條件下的圓球繞流過程，記錄不同時間段內(nèi)的氣體粒子與圓球間碰撞信息，用于曳力系數(shù)計算，結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看到，模擬計算的曳力系數(shù)在1×106時間后趨于定值。在計算曳力系數(shù)的1×106到2×106時間內(nèi)，氣體粒子與圓球之間發(fā)生1.42×106次碰撞，則曳力系數(shù)的統(tǒng)計誤差在0.1%以下。

圖3 Re = 19.4和Ma = 1.195，隨時間變化的曳力系數(shù)和累積碰撞數(shù)Fig. 3 Temporal evolutions of the drag coefficient and accumulative collision number at Re = 19.4 and Ma = 1.195

圓球繞流曳力系數(shù)的計算精度還與流場是否充分發(fā)展相關(guān)，因此比較了三個不同條件下的圓球繞流流場模擬結(jié)果，見圖4。從中可以發(fā)現(xiàn)：隨著Re增大，尾流在圓球后部逐漸分離，形成對渦（圖4（b））；當Ma＞ 1時，在圓球前面形成激波，此時需要更寬的模擬區(qū)域用于激波面往兩側(cè)發(fā)展（圖4（c））。這些發(fā)現(xiàn)與文獻[22，24]中的結(jié)果較為相符。

圖4 中間截面上的密度云圖和流線示意Fig. 4 Density contours and streamlines in the middle plane

2.2 模擬區(qū)域的影響

圓球繞流HS-PPM模擬在一個有限空間內(nèi)進行，獲得的結(jié)果通常會與無限大流場內(nèi)圓球繞流有差異，因此有必要討論如何設(shè)置模擬區(qū)域使偏差在合理范圍內(nèi)。

在一定的Re和Ma條件下，分別改變模擬區(qū)域長度、寬度（高度）以及圓球位置，作了一系列圓球繞流HS-PPM模擬，其中長度或?qū)挾确秶鸀?D～40D，圓球位置為長度的0.25處、0.38處和0.5處。

圖5表示Re= 19.4和Ma= 1.195條件下，CD模擬結(jié)果隨長度或?qū)挾鹊淖兓厔荨膱D中可以看到，隨著長度或?qū)挾鹊脑龃螅珻D逐漸趨于穩(wěn)定值CD∞，且在20D后CD與CD∞偏差較小。圖5還顯示了該條件下CD實驗值處于熱適應(yīng)系數(shù)α= 0及α= 1下的兩個CD∞之間，從另一個角度論證了HS-PPM模擬獲得圓球繞流CD的合理性。

進一步模擬研究發(fā)現(xiàn)：Ma＜ 1和Re＜ 10時，CD與模擬區(qū)域的相關(guān)性較?。籑a＜ 1和Re＞ 10時，隨著Re的增大，圓球繞流逐漸不穩(wěn)定，需要適當增大區(qū)域長度滿足尾跡的發(fā)展；Ma＞ 1和Re＜ 10時，圓球前方流體出現(xiàn)激波面，此時需要增大區(qū)域?qū)挾龋ǜ叨龋┯糜诩げ娴陌l(fā)展；Ma＞ 1和Re＞10時，模擬區(qū)域長度和寬度（高度）均需要增大。基于上述認識，我們給出了不同條件下模擬區(qū)域的建議設(shè)置，列于表1中。并按照建議的區(qū)域設(shè)置模擬了不同Re和Ma下的圓球繞流，得到的CD結(jié)果與CD∞偏差在2%以內(nèi)（見表2），表明有限區(qū)域的模擬結(jié)果可以近似表達無限區(qū)域內(nèi)圓球繞流。

圖5 Re= 19.4和Ma = 1.195，不同長度和寬度的CDFig. 5 The variation of drag coefficient with the lengths and widths of the simulation domain at Re = 19.4 and Ma = 1.195

表1 合適的模擬區(qū)域Table 1 Appropriate simulation domains under different conditions

表2 不同條件下CD模擬結(jié)果Table 2 Drag coefficients at different Re and Ma

2.3 熱適應(yīng)系數(shù)的影響

在高馬赫數(shù)下稀薄效應(yīng)明顯，氣體-圓球間通常介于無滑移條件和完全滑移條件之間，HS-PPM模擬圓球繞流引入熱適應(yīng)系數(shù)α來表達氣體-圓球間作用中漫反射成分：α= 0時，鏡面反彈滑移；α= 1時，完全漫反射。而α的不同取值會對CD結(jié)果造成影響，佐證于圖5中。趙琪和馬琳博等[23-24]已對此進行了初步分析，發(fā)現(xiàn)圓球繞流CD模擬值與熱適應(yīng)系數(shù)α正相關(guān)。

基于上述發(fā)現(xiàn)，將不同α下的CD與實驗結(jié)果進行比較，獲得兩者偏差最小的熱適應(yīng)系數(shù)合理值αr。圖6表示Re= 5.1和Ma= 0.4條件下不同α模擬得到不同CD，可以發(fā)現(xiàn)CD與α的關(guān)系呈顯著的線性關(guān)系，CD=1.78α+4.16（R2= 0.998），進而得到CD與實驗值相符的αr= 0.643。類似地，完成了Re= 19.4和Ma=1.195、Re= 30.2和Ma= 1.896條件下的CD與α的關(guān)系研究，獲得對應(yīng)的αr，結(jié)果列于表3中。采用αr作了驗證性模擬，獲得的CD與實驗值偏差在1%以內(nèi)。

圖6 Re = 5.1和Ma = 0.4，CD與α的關(guān)系Fig. 6 The variation of drag coefficient with α at Re = 5.1 and Ma = 0.4

表3 不同條件下的熱適應(yīng)系數(shù)合理值αrTable 3 Reasonable accommodation coefficients αr at different Re and Ma

不同Re和Ma條件下的αr存在一定的差異，表3也表明αr約在0.65-0.75之間，將αr統(tǒng)一設(shè)置為0.7可以平衡精度和嚴格驗證所需的大批量模擬需求。我們采用αr= 0.7模擬計算得到其他條件下的CD，并與相應(yīng)的實驗值比較，結(jié)果列于表4中?？梢园l(fā)現(xiàn)，αr=0.7時的模擬值與實驗值偏差均較?。?%以內(nèi)），故后續(xù)模擬均采用αr= 0.7。

2.4 1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3的曳力系數(shù)CD

在得到合適的區(qū)域設(shè)置條件和熱適應(yīng)系數(shù)后。應(yīng)用HS-PPM模擬圓球繞流獲得了1≤Re≤20，0.1≤Ma≤3范圍內(nèi)的曳力系數(shù)CD，結(jié)果繪制于圖7中。詳細的模擬參數(shù)和結(jié)果列于附錄A的表格中。

表4 α = 0.7, 不同條件下CD模擬結(jié)果Table 4 Drag coefficients at α = 0.7

圖7 1≤Re≤20時，CD與Ma的關(guān)系Fig. 7 The variation of the drag coefficient with Ma at 1≤Re≤20

圖7中的實心點表示HS-PPM模擬計算得到的CD，空心點表示Ma→0條件下標準阻力系數(shù)CD(Re)。從圖7中可以看出，在1≤Re≤20范圍內(nèi)，CD隨著Ma的增加而逐漸下降；Re越大，CD下降趨勢趨緩。

馬赫數(shù)Ma對CD(Re)的修正可以表達為下面形式，

其中[ae-bMa+ (1-a)]為曳力系數(shù)修正項，系數(shù)a和b與Re相關(guān)。

按照公式(6)擬合CD數(shù)據(jù)得到了不同Re下的系數(shù)a和b（列于表5中），并將系數(shù)a和b分別擬合成Re的函數(shù)（如圖8）。

表5 不同Re下的參數(shù)a和bTable 5 Parameters a and b at different Re

圖8 參數(shù)a，b與Re的關(guān)系Fig. 8 The variations of the parameters a and b with Re

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用HS-PPM方法模擬了1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3條件下的圓球繞流過程。在討論確認合理的模擬區(qū)域設(shè)置和熱適應(yīng)系數(shù)αr= 0.7后，獲得不同Re和Ma下的圓球繞流曳力系數(shù)CD數(shù)據(jù)，并基于此建立高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)條件下馬赫數(shù)Ma對CD(Re)的修正模型，

其中，

高馬赫數(shù)下圓球繞流流動形態(tài)復(fù)雜，本文僅對1≤Re≤20和0.1≤Ma≤3范圍內(nèi)的圓球繞流曳力系數(shù)作了定量分析，而其他范圍內(nèi)的曳力系數(shù)變化趨勢仍難以用統(tǒng)一的方式進行描述。此外，高馬赫數(shù)特別是Ma＞ 3條件下，激波的存在和發(fā)展對圓球繞流流動形態(tài)影響巨大，而且會發(fā)生強烈的高速熱效應(yīng)，這些都會對曳力系數(shù)的計算產(chǎn)生重要影響，需要進一步深入研究。