具有高階色散和立方- 五次非線性項(xiàng)的薛定諤方程的精確解

買欣蕾 李 威

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

非線性薛定諤方程(NLSE)是一類重要的非線性演化方程，在非線性光學(xué)、量子力學(xué)、等離子體理論等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，因此研究該類方程的精確解具有重要的理論意義。近年來，人們提出許多求解NLSE精確解的有效方法，如齊次平衡法[1]、tanh函數(shù)展開法及其擴(kuò)展[2]、正弦- 余弦法[2]、exp-函數(shù)法[2]、試驗(yàn)函數(shù)法及其擴(kuò)展[3]、擴(kuò)展輔助方程法[4]、改進(jìn)的Fan-子方程法[5]、(G′/G)-展開法[6]、exp(-φ(ξ))-展開法[6]等。眾所周知，經(jīng)典的NLSE描述了脈沖寬度在100 fs以上的光脈沖在光纖中的傳播[7]。隨著脈沖寬度逐漸變窄，如接近50 fs甚至低于10 fs時(shí)，系統(tǒng)必須考慮非線性項(xiàng)和高階色散(如三階和四階色散)。

本文考慮描述超短光脈沖在光纖中傳播的具有高階色散和立方- 五次非線性項(xiàng)的NLSE[8]

(1)

利用動(dòng)力系統(tǒng)的分岔理論不僅能夠得到方程局部解的表達(dá)式，而且還可以探查方程解的整體結(jié)構(gòu)[10-11]，因此本文先利用代入法將方程(1)轉(zhuǎn)化為動(dòng)力系統(tǒng)，再運(yùn)用分岔理論來分析系統(tǒng)的動(dòng)力特性。通過分析相圖的有界軌道不僅得到了方程有界行波解的顯式表達(dá)式，而且還可直接獲知行波解的分類結(jié)構(gòu)。

1 動(dòng)力系統(tǒng)分岔分析

對(duì)方程(1)采用行波變換E(z,t)=φ(ξ)eiη，其中ξ=v0z-vt,η=ω0z-ωt，并分離實(shí)部、虛部可得

γ1φ3(ξ)-γ2φ5(ξ)=0

(2)

式中，

當(dāng)l1=l3=0時(shí)文獻(xiàn)[5]采用改進(jìn)的Fan-子方程法獲得對(duì)應(yīng)的行波解；當(dāng)θ=l2l3-l1l4≠0時(shí)將式(2)一式微分并代入式(2)二式中得

φ″(ξ)=c2φ(ξ)+2c4φ3(ξ)+3c6φ5(ξ)

(3)

式中，c2=-l0l3/θ,2c4=-γ1l3/θ,3c6=γ2l3/θ。式(3)等價(jià)于如下所示的二維自治系統(tǒng)

(4)

這是一個(gè)具有Hamilton函數(shù)

H(φ,y)=y2-c2φ2-c4φ4-c6φ6=h

圖1 平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其類型的分布區(qū)域Fig.1 The distribution regions of the number and type of equilibrium points

圖2 不同區(qū)域所對(duì)應(yīng)的相圖Fig.2 Phase diagrams for different regions

2 NLSE的精確解

對(duì)于一個(gè)固定的h∈R，曲線

Ch={(φ,y)∈R×R:H(φ,y)=h}

被稱為具有h能量水平的能量曲線[12]。顯然，H(φ,y)=h的每個(gè)軌道都是一條能量曲線，因此可以研究其有界軌道與能量水平h之間的關(guān)系。設(shè)

Fh(φ)=h+c2φ2+c4φ4+c6φ6

顯然能量曲線Ch相當(dāng)于y2=Fh(φ)所定義的曲線，標(biāo)記H(Q±)=h1=-F0(φ1±)，H(R±)=h2=-F0(φ2±)。下面將通過分析情況③～④所對(duì)應(yīng)能量h的變化來得到系統(tǒng)精確解的分類及分布。

2.1 區(qū)域Ⅴ對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的精確解

根據(jù)能量水平h范圍的不同，分為如下3種情況。

1)h=0時(shí)，這是一條連接鞍點(diǎn)O的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的同宿軌

E1±(z,t)=

(5)

其分別對(duì)應(yīng)于左半平面的同宿軌道族L-(O,O)和右半平面的同宿軌道族L+(O,O)，波形圖如圖4(a)所示。

2)h∈(h1,0)時(shí)，這是位于同宿軌內(nèi)部，分別圍繞中心點(diǎn)Q±的兩個(gè)周期軌

(6)

(7)

(8)

圖時(shí)能量曲線與相圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3 Correspondence between the energy curve and phase diagram at

圖4 孤立波解E1±和周期波解E2±、E3±、E4±的三維波形圖Fig.4 The three-dimensional waveform of the solitary wave solution E1± and periodic wave solutions E2±,E3±,E4±

2.2 區(qū)域Ⅵ對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的精確解

圖時(shí)能量曲線與相圖對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.5 Correspondence between the energy curve and phase diagram at

根據(jù)能量水平h范圍的不同，分為如下兩種情況。

1)h=h2時(shí)，這是一條連接鞍點(diǎn)R±的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的異宿軌

E5±(z,t)=

(9)

分別對(duì)應(yīng)于異宿軌道族L-(R+,R-)和L+(R-,R+)，波形圖如圖6(a)所示。

2)h∈(0,h2)時(shí)，這是位于異宿軌內(nèi)部，包圍中心點(diǎn)O的一個(gè)周期軌

(10)

圖6 孤立波解E5±和周期波解E6±的三維波形圖Fig.6 The three-dimensional waveforms of the solitary wave solution E5±and periodic wave solution E6±

2.3 區(qū)域Ⅶ中情況?對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的精確解

圖時(shí)能量曲線與相圖對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.7 Correspondence between the energy curve and phase diagram at

根據(jù)能量水平h范圍的不同，分為如下兩種情況。

1)h=h2=0時(shí)，這是一條連接鞍點(diǎn)O和R±的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的異宿軌

因此得到扭結(jié)波解為

(11)

分別對(duì)應(yīng)于異宿軌道族L(O→R+→O)和L(O→R-→O)，波形圖如圖8所示。

圖8 扭結(jié)波解E7±的三維波形圖Fig.8 The three-dimensional waveform of the kink wave solution E7±

2)h∈(h1,0)時(shí)，這是位于同宿軌內(nèi)部分別圍繞中心點(diǎn)Q±的兩個(gè)周期軌。因此周期波解為

(12)

本文對(duì)圖2中區(qū)域Ⅶ的情況?、?及區(qū)域Ⅷ分別對(duì)應(yīng)的3個(gè)相圖也進(jìn)行了與前面類似的討論，得到對(duì)應(yīng)的周期波解和孤立波解，并且發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)的波形無太大差別，在此不再贅述。

3 結(jié)論

本文研究了描述超短光脈沖在光纖中傳播的具有高階色散和立方- 五次非線性項(xiàng)的薛定諤方程的精確解。采用代入法和動(dòng)力系統(tǒng)的分岔理論得到方程的10個(gè)相圖，對(duì)其中比較典型的3個(gè)相圖進(jìn)行理論分析，找到了系統(tǒng)的孤立波解、扭結(jié)波解和周期波解等精確解，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，給出了波形的三維圖。孤立波解的存在意味著非線性和色散之間的完美平衡，我們給出了孤立波解的存在條件，從而也證實(shí)了該系統(tǒng)所描述的光纖在一定條件下能夠穩(wěn)定地進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)傳播。同時(shí)本文對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的結(jié)果體現(xiàn)了行波結(jié)構(gòu)的多樣性和完整性。