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    以三角板為背景的幾何命題探究

    2021-06-21 08:58蘭洲
    關(guān)鍵詞:平移反比例函數(shù)旋轉(zhuǎn)

    蘭洲

    [摘? 要] 三角板是學(xué)生常用的作圖工具,以三角板為基礎(chǔ)綜合數(shù)學(xué)內(nèi)容命制的考題在中考中十分常見(jiàn),如三角板與旋轉(zhuǎn)、三角板與圓、三角板與反比例函數(shù)、三角板與平移等. 文章將探究三角板相關(guān)考題的知識(shí)背景,結(jié)合實(shí)例剖析問(wèn)題的解析思路,提出相應(yīng)的教學(xué)建議,與讀者交流.

    [關(guān)鍵詞] 三角板;旋轉(zhuǎn);圓;反比例函數(shù);平移

    背景綜述

    在“培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力,提升學(xué)生探究思維”的教學(xué)理念下,近幾年中考越發(fā)注重以學(xué)生熟悉的幾何圖形為載體來(lái)綜合命制考題,考查學(xué)生的實(shí)踐能力、解析思維. 三角板是學(xué)生常用的作圖工具,由于三角板的邊與角的特殊性,使其含有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律,以其為背景融合幾何圖形、函數(shù)曲線,不僅極具創(chuàng)新性,還能較好地考查學(xué)生的探究歸納能力、運(yùn)用思想方法的能力等. 這類(lèi)問(wèn)題往往立足基本的幾何性質(zhì),綜合圖形運(yùn)動(dòng)、三角函數(shù)、曲線圖像等知識(shí),立意新穎、知識(shí)點(diǎn)眾多,如求解疊放三角板旋轉(zhuǎn)角度,分析三角板與圓的綜合,思考函數(shù)曲線中的三角板位置,探究三角板平移過(guò)程等.

    實(shí)例探索

    1. 三角板旋轉(zhuǎn)中的角度大小

    例1? (2020年齊齊哈爾市中考卷第9題)有兩個(gè)直角三角形紙板,一個(gè)含45°角,另一個(gè)含30°角,如圖1所示疊放,先將含30°角的紙板固定不動(dòng),再將含45°角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使BC∥DE,如圖2所示,則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為_(kāi)_____.

    解析:本題目中將兩個(gè)45°角和30°角的三角板疊放,并將45°角三角板圍繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn). 問(wèn)題解析需要關(guān)注兩點(diǎn):一是兩三角板疊放的位置,二是三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程. 突破的關(guān)鍵條件是BC∥DE,可利用平行特性進(jìn)行角度推導(dǎo).

    因?yàn)锽C∥DE,則∠CFA=∠D=90°,又因?yàn)椤螩FA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD,則∠BAD=30°,即旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為30°.

    點(diǎn)評(píng)? 上述分析疊放三角板旋轉(zhuǎn)中的角度,實(shí)則考查平行線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì),解析過(guò)程要關(guān)注疊放三角形的位置關(guān)系,把握三角板旋轉(zhuǎn)的三要素. 結(jié)合三角板的相對(duì)關(guān)系及角度特性構(gòu)建角度模型.

    2. 三角板與圓的結(jié)合探究

    例2? 將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB(其中∠ABD=90°,∠D=60°,∠ACB=90°,∠ABC=45°)如圖3所示擺放,Rt△ABD中∠D所對(duì)直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合. 以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與AD交于點(diǎn)E,分別連接EB,EC.

    (1)求證:EC平分∠AEB;

    (2)求 的值.

    解析:本題目將三角板與圓相結(jié)合,構(gòu)建了復(fù)合模型,兩小問(wèn)分別求證角平分和三角形面積比值. 其中兩個(gè)三角板的相對(duì)位置是解析的關(guān)鍵,另外在求解面積比值問(wèn)題時(shí)要合理構(gòu)建面積模型,將其轉(zhuǎn)化為線段比值問(wèn)題.

    (1)由條件可得∠BAC=∠ABC=45°,由圓周角定理可得∠AEC=∠ABC,∠BEC=∠BAC,等量代換可得∠BEC=∠AEC,則EC平分∠AEB.

    (2)設(shè)AB與EC的交點(diǎn)為M,由角平分線的性質(zhì)可得 = ,分析可得∠BAD=30°,由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠AEB=90°,通過(guò)解Rt△AEB可得AE= BE,所以 = = .

    分別過(guò)點(diǎn)A和B作EC的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)F和G,如圖4所示. 則△ACE的面積為S = CE·AF,△BEC的面積為S = CE·BG, = . 分析可證Rt△AFM∽R(shí)t△BGM,由三角形相似性質(zhì)可得 = = ,所以 的值為 .

    評(píng)析? 上述將兩個(gè)三角板進(jìn)行疊放,并以其中一斜邊構(gòu)建了圓,從而使圖形中不僅含有三角形特性,還涉及了幾何圓性質(zhì). 一般求證角平分需通過(guò)等角代換進(jìn)行推導(dǎo),而解析三角形面積比值關(guān)系時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為線段之比. 在幾何中,線段之比的解法有三種思路:一是直接通過(guò)線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化,二是由三角形相似性質(zhì)推導(dǎo),三是構(gòu)建直角模型,利用三角形函數(shù).

    3. 三角板與反比例函數(shù)融合思考

    例3? (2020年衢州市中考卷第15題)如圖5,將一把矩形直尺ABCD和一塊含30°角的三角板EFG擺放在平面直角坐標(biāo)系中,AB在x軸上,點(diǎn)G與點(diǎn)A重合,點(diǎn)F在AD上,三角板的直角邊EF交BC于點(diǎn)M,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖像恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,M. 若直尺的寬CD=3,三角板的斜邊FG=8 ,則k=______.

    解析:本題目中將三角形、30°角的三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中,提取三角板與直尺的幾個(gè)交點(diǎn)來(lái)構(gòu)建反比例函數(shù)曲線. 解析的關(guān)鍵是確定點(diǎn)F或M的坐標(biāo),實(shí)則就是求線段長(zhǎng),需要構(gòu)建特殊三角形模型.

    過(guò)點(diǎn)M作AD的垂線,設(shè)垂足為點(diǎn)N,如圖5所示. 則MN=CD=3,在Rt△FMN中,已知∠MFN=30°,MN=3,則FN= MN=3 ,AN=MB=8 -3 =5 . 設(shè)OA=x,OB=x+3,則點(diǎn)F和M的坐標(biāo)分別為(x,8 ),(x+3,5 ). 點(diǎn)F和M均位于反比例函數(shù)曲線上,將點(diǎn)坐標(biāo)代入y= 中,聯(lián)立可解得x=5,k=40 .

    評(píng)析? 上述將直尺和三角板放在了平面直角坐標(biāo)系中,求反比例函數(shù)的k值,主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法,圖中三角板的特殊角是隱含條件,可合理構(gòu)建直角三角形模型,結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng).

    4. 三角板平移過(guò)程的探究

    例4? (2020年青海市中考卷第27題)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

    特例感知:

    (1)將一等腰直角三角尺按圖6所示的位置擺放,該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC重合,另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B. 通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度,得到BF=CG,請(qǐng)給予證明.

    猜想論證:

    (2)當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖7所示的位置時(shí),一條直角邊仍與AC邊重合,另一條直角邊交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA,垂足為E. 此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度,猜想并寫(xiě)出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

    聯(lián)系拓展:

    (3)當(dāng)三角尺在圖7的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖8所示的位置(點(diǎn)F在線段AC上,且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí),請(qǐng)你判斷(2)中的猜想是否仍然成立?(不用證明).

    解析:本題目為幾何探究題,以三角板與三角形重疊平移為背景,探究線段之間的關(guān)系. 考題設(shè)計(jì)了三個(gè)階段,問(wèn)題難度逐步加深,但解析思路往往相似,可采用類(lèi)比聯(lián)想的方式解析.

    (1)圖6中,三角板的直角邊與AC重合,且另一直角邊過(guò)點(diǎn)B,由∠F=∠G=90°,∠FAB=∠CAG,AB=AC可證△FAB≌△GAC(AAS),所以BF=CG.

    (2)三角板沿著AC方向繼續(xù)平移,使得一條直角邊與BC出現(xiàn)交點(diǎn),探究DE、DF與CG的長(zhǎng)度可采用等面積法. 連接AD,如圖9所示,AD將△ABC分割為△ABD和△ADC兩部分,則S =S +S . 已知DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,則結(jié)合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF,又知AB=AC,所以CG=DE+DF.

    (3)該問(wèn)是基于第(2)問(wèn)的進(jìn)一步探討,可參考上述等面積轉(zhuǎn)化思路解析. 同樣連接AD,如圖10所示,由等面積法可得S =S +S ,已知DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,結(jié)合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF,又知AB=AC,所以CG=DE+DF,即結(jié)論不變.

    評(píng)析? 上述結(jié)合等腰三角板進(jìn)行幾何平移,探究平移過(guò)程中線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系,三角板的出現(xiàn)不僅使問(wèn)題更貼近生活,同時(shí)隱含著特殊角. 上述解析過(guò)程把握幾何平移的特性,采用了全等變換、等面積變換兩種方法探討不同平移情形,充分體現(xiàn)了“動(dòng)中有靜”“化動(dòng)為靜”的解題策略. 與線段長(zhǎng)度相關(guān)的幾何問(wèn)題,突破的方法有多種,除了上述的全等變換、等面積轉(zhuǎn)化外,還可以采用相似轉(zhuǎn)換、勾股定理、三角函數(shù)等.

    總結(jié)思考

    三角板是作圖的常用工具,同時(shí)也是學(xué)生熟悉的特殊圖形,以三角板為依托構(gòu)建幾何考題較為新穎,貼近生活,蘊(yùn)含數(shù)學(xué)規(guī)律. 上述以三角板為背景,結(jié)合旋轉(zhuǎn)、圓、反比例函數(shù)、平移構(gòu)建了四大類(lèi)問(wèn)題,立足三角形基礎(chǔ)知識(shí),關(guān)注知識(shí)融合,注重方法探究,融合數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生深入探究考題,體驗(yàn)解題過(guò)程,總結(jié)解題方法,可顯著提升學(xué)生的解題能力.

    中考創(chuàng)新題的“新”主要體現(xiàn)在命題形式上,但問(wèn)題本質(zhì)是不變的,依然遵循數(shù)學(xué)規(guī)律,按照常規(guī)思路進(jìn)行命題構(gòu)建. 在教學(xué)幾何創(chuàng)新題時(shí),可分以下四步進(jìn)行:第一步,引導(dǎo)學(xué)生讀題審題,總結(jié)問(wèn)題所涉知識(shí)點(diǎn);第二步,探究問(wèn)題本質(zhì),思考轉(zhuǎn)化思路;第三步,引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)關(guān)聯(lián),結(jié)合思想方法簡(jiǎn)化解析;第四步,剖析構(gòu)題思路,總結(jié)問(wèn)題方法,適度拓展解法. “四步教學(xué)”法是基于問(wèn)題本質(zhì)、方法的解題探究,教學(xué)過(guò)程要注重引導(dǎo)思考、思維培養(yǎng),可合理滲透數(shù)學(xué)的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

    以三角板為背景的幾何問(wèn)題類(lèi)型較多,上述所呈現(xiàn)的是其中典型的幾例,涉及基本圖形、圖形運(yùn)動(dòng)、函數(shù)內(nèi)容等. 雖然問(wèn)題形式不同,考查點(diǎn)有差異,但分析思路相一致. 問(wèn)題探究要充分把握三角板角的特殊性,聯(lián)系相關(guān)知識(shí)進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化,合理利用數(shù)形結(jié)合方法,挖掘問(wèn)題本質(zhì). 教學(xué)中建議注重剖析問(wèn)題特點(diǎn),關(guān)注解法思路,設(shè)問(wèn)引導(dǎo)思考,提升學(xué)生的綜合能力.

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