以三角板為背景的幾何命題探究

蘭洲

[摘? 要] 三角板是學(xué)生常用的作圖工具，以三角板為基礎(chǔ)綜合數(shù)學(xué)內(nèi)容命制的考題在中考中十分常見(jiàn)，如三角板與旋轉(zhuǎn)、三角板與圓、三角板與反比例函數(shù)、三角板與平移等. 文章將探究三角板相關(guān)考題的知識(shí)背景，結(jié)合實(shí)例剖析問(wèn)題的解析思路，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 三角板;旋轉(zhuǎn);圓;反比例函數(shù);平移

背景綜述

在“培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，提升學(xué)生探究思維”的教學(xué)理念下，近幾年中考越發(fā)注重以學(xué)生熟悉的幾何圖形為載體來(lái)綜合命制考題，考查學(xué)生的實(shí)踐能力、解析思維. 三角板是學(xué)生常用的作圖工具，由于三角板的邊與角的特殊性，使其含有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律，以其為背景融合幾何圖形、函數(shù)曲線，不僅極具創(chuàng)新性，還能較好地考查學(xué)生的探究歸納能力、運(yùn)用思想方法的能力等. 這類(lèi)問(wèn)題往往立足基本的幾何性質(zhì)，綜合圖形運(yùn)動(dòng)、三角函數(shù)、曲線圖像等知識(shí)，立意新穎、知識(shí)點(diǎn)眾多，如求解疊放三角板旋轉(zhuǎn)角度，分析三角板與圓的綜合，思考函數(shù)曲線中的三角板位置，探究三角板平移過(guò)程等.

實(shí)例探索

1. 三角板旋轉(zhuǎn)中的角度大小

例1? （2020年齊齊哈爾市中考卷第9題）有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45°角，另一個(gè)含30°角，如圖1所示疊放，先將含30°角的紙板固定不動(dòng)，再將含45°角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BC∥DE，如圖2所示，則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為_(kāi)_____.

解析：本題目中將兩個(gè)45°角和30°角的三角板疊放，并將45°角三角板圍繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn). 問(wèn)題解析需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是兩三角板疊放的位置，二是三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程. 突破的關(guān)鍵條件是BC∥DE，可利用平行特性進(jìn)行角度推導(dǎo).

因?yàn)锽C∥DE，則∠CFA=∠D=90°，又因?yàn)椤螩FA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，則∠BAD=30°，即旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為30°.

點(diǎn)評(píng)? 上述分析疊放三角板旋轉(zhuǎn)中的角度，實(shí)則考查平行線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，解析過(guò)程要關(guān)注疊放三角形的位置關(guān)系，把握三角板旋轉(zhuǎn)的三要素. 結(jié)合三角板的相對(duì)關(guān)系及角度特性構(gòu)建角度模型.

2. 三角板與圓的結(jié)合探究

例2? 將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖3所示擺放，Rt△ABD中∠D所對(duì)直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合. 以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AD交于點(diǎn)E，分別連接EB，EC.

（1）求證：EC平分∠AEB;

（2）求 的值.

解析：本題目將三角板與圓相結(jié)合，構(gòu)建了復(fù)合模型，兩小問(wèn)分別求證角平分和三角形面積比值. 其中兩個(gè)三角板的相對(duì)位置是解析的關(guān)鍵，另外在求解面積比值問(wèn)題時(shí)要合理構(gòu)建面積模型，將其轉(zhuǎn)化為線段比值問(wèn)題.

（1）由條件可得∠BAC=∠ABC=45°，由圓周角定理可得∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換可得∠BEC=∠AEC，則EC平分∠AEB.

（2）設(shè)AB與EC的交點(diǎn)為M，由角平分線的性質(zhì)可得 = ，分析可得∠BAD=30°，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠AEB=90°，通過(guò)解Rt△AEB可得AE= BE，所以 = = .

分別過(guò)點(diǎn)A和B作EC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)F和G，如圖4所示. 則△ACE的面積為S = CE·AF，△BEC的面積為S = CE·BG， = . 分析可證Rt△AFM∽R(shí)t△BGM，由三角形相似性質(zhì)可得 = = ，所以 的值為 .

評(píng)析? 上述將兩個(gè)三角板進(jìn)行疊放，并以其中一斜邊構(gòu)建了圓，從而使圖形中不僅含有三角形特性，還涉及了幾何圓性質(zhì). 一般求證角平分需通過(guò)等角代換進(jìn)行推導(dǎo)，而解析三角形面積比值關(guān)系時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為線段之比. 在幾何中，線段之比的解法有三種思路：一是直接通過(guò)線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化，二是由三角形相似性質(zhì)推導(dǎo)，三是構(gòu)建直角模型，利用三角形函數(shù).

3. 三角板與反比例函數(shù)融合思考

例3? （2020年衢州市中考卷第15題）如圖5，將一把矩形直尺ABCD和一塊含30°角的三角板EFG擺放在平面直角坐標(biāo)系中，AB在x軸上，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F在AD上，三角板的直角邊EF交BC于點(diǎn)M，反比例函數(shù)y= （x>0）的圖像恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，M. 若直尺的寬CD=3，三角板的斜邊FG=8 ，則k=______.

解析：本題目中將三角形、30°角的三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，提取三角板與直尺的幾個(gè)交點(diǎn)來(lái)構(gòu)建反比例函數(shù)曲線. 解析的關(guān)鍵是確定點(diǎn)F或M的坐標(biāo)，實(shí)則就是求線段長(zhǎng)，需要構(gòu)建特殊三角形模型.

過(guò)點(diǎn)M作AD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)N，如圖5所示. 則MN=CD=3，在Rt△FMN中，已知∠MFN=30°，MN=3，則FN= MN=3 ，AN=MB=8 -3 =5 . 設(shè)OA=x，OB=x+3，則點(diǎn)F和M的坐標(biāo)分別為（x，8 ），（x+3，5 ）. 點(diǎn)F和M均位于反比例函數(shù)曲線上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入y= 中，聯(lián)立可解得x=5，k=40 .

評(píng)析? 上述將直尺和三角板放在了平面直角坐標(biāo)系中，求反比例函數(shù)的k值，主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法，圖中三角板的特殊角是隱含條件，可合理構(gòu)建直角三角形模型，結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng).

4. 三角板平移過(guò)程的探究

例4? （2020年青海市中考卷第27題）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

特例感知：

（1）將一等腰直角三角尺按圖6所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B. 通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF=CG，請(qǐng)給予證明.

猜想論證：

（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖7所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E. 此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

聯(lián)系拓展：

（3）當(dāng)三角尺在圖7的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖8所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）.

解析：本題目為幾何探究題，以三角板與三角形重疊平移為背景，探究線段之間的關(guān)系. 考題設(shè)計(jì)了三個(gè)階段，問(wèn)題難度逐步加深，但解析思路往往相似，可采用類(lèi)比聯(lián)想的方式解析.

（1）圖6中，三角板的直角邊與AC重合，且另一直角邊過(guò)點(diǎn)B，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠CAG，AB=AC可證△FAB≌△GAC（AAS），所以BF=CG.

（2）三角板沿著AC方向繼續(xù)平移，使得一條直角邊與BC出現(xiàn)交點(diǎn)，探究DE、DF與CG的長(zhǎng)度可采用等面積法. 連接AD，如圖9所示，AD將△ABC分割為△ABD和△ADC兩部分，則S =S +S . 已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，則結(jié)合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF.

（3）該問(wèn)是基于第（2）問(wèn)的進(jìn)一步探討，可參考上述等面積轉(zhuǎn)化思路解析. 同樣連接AD，如圖10所示，由等面積法可得S =S +S ，已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，結(jié)合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF，即結(jié)論不變.

評(píng)析? 上述結(jié)合等腰三角板進(jìn)行幾何平移，探究平移過(guò)程中線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，三角板的出現(xiàn)不僅使問(wèn)題更貼近生活，同時(shí)隱含著特殊角. 上述解析過(guò)程把握幾何平移的特性，采用了全等變換、等面積變換兩種方法探討不同平移情形，充分體現(xiàn)了“動(dòng)中有靜”“化動(dòng)為靜”的解題策略. 與線段長(zhǎng)度相關(guān)的幾何問(wèn)題，突破的方法有多種，除了上述的全等變換、等面積轉(zhuǎn)化外，還可以采用相似轉(zhuǎn)換、勾股定理、三角函數(shù)等.

總結(jié)思考

三角板是作圖的常用工具，同時(shí)也是學(xué)生熟悉的特殊圖形，以三角板為依托構(gòu)建幾何考題較為新穎，貼近生活，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)規(guī)律. 上述以三角板為背景，結(jié)合旋轉(zhuǎn)、圓、反比例函數(shù)、平移構(gòu)建了四大類(lèi)問(wèn)題，立足三角形基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注知識(shí)融合，注重方法探究，融合數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生深入探究考題，體驗(yàn)解題過(guò)程，總結(jié)解題方法，可顯著提升學(xué)生的解題能力.

中考創(chuàng)新題的“新”主要體現(xiàn)在命題形式上，但問(wèn)題本質(zhì)是不變的，依然遵循數(shù)學(xué)規(guī)律，按照常規(guī)思路進(jìn)行命題構(gòu)建. 在教學(xué)幾何創(chuàng)新題時(shí)，可分以下四步進(jìn)行：第一步，引導(dǎo)學(xué)生讀題審題，總結(jié)問(wèn)題所涉知識(shí)點(diǎn);第二步，探究問(wèn)題本質(zhì)，思考轉(zhuǎn)化思路;第三步，引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)關(guān)聯(lián)，結(jié)合思想方法簡(jiǎn)化解析;第四步，剖析構(gòu)題思路，總結(jié)問(wèn)題方法，適度拓展解法. “四步教學(xué)”法是基于問(wèn)題本質(zhì)、方法的解題探究，教學(xué)過(guò)程要注重引導(dǎo)思考、思維培養(yǎng)，可合理滲透數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

以三角板為背景的幾何問(wèn)題類(lèi)型較多，上述所呈現(xiàn)的是其中典型的幾例，涉及基本圖形、圖形運(yùn)動(dòng)、函數(shù)內(nèi)容等. 雖然問(wèn)題形式不同，考查點(diǎn)有差異，但分析思路相一致. 問(wèn)題探究要充分把握三角板角的特殊性，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，合理利用數(shù)形結(jié)合方法，挖掘問(wèn)題本質(zhì). 教學(xué)中建議注重剖析問(wèn)題特點(diǎn)，關(guān)注解法思路，設(shè)問(wèn)引導(dǎo)思考，提升學(xué)生的綜合能力.