關(guān)于旋轉(zhuǎn)相似模型的解讀探究

徐海霞

[摘? 要] 旋轉(zhuǎn)相似模型是重要的幾何模型，利用模型中的相似性質(zhì)可進行條件推導，提高解題效率. 中考試題中常依托旋轉(zhuǎn)相似模型構(gòu)建綜合性問題. 剖析圖形結(jié)構(gòu)、提取幾何模型、利用模型構(gòu)建思路是解題的關(guān)鍵，文章將剖析旋轉(zhuǎn)相似模型，結(jié)合實例深入探究，并提出幾條教學建議.

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn);相似;模型;圖形

旋轉(zhuǎn)相似是中考考查的熱點，該類問題往往以旋轉(zhuǎn)、相似為背景來綜合構(gòu)建，相似模型是問題解析的核心知識，梳理相似模型的構(gòu)建過程，探究圖形相似的結(jié)論可總結(jié)該類問題的解題策略，對于高效解題有極大的幫助，下面深入探究.

問題引入

問題：如圖1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點D位于AB上，且△CDE∽△CAB，試回答下列問題.

（1）求證：△CAD∽△CBE;

（2）求證：EB⊥AB.

解析：（1）可由相似三角形的性質(zhì)得出兩邊成比例，對應(yīng)夾角相等，結(jié)合已知可進一步推導相似條件，從而證明△CAD∽△CBE.

因為△CDE∽△CAB，則 = ，∠ACB=∠DCE，所以∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，則∠ACD=∠BCE，所以△CAD∽△CBE.

（2）由三角形相似可倒推對應(yīng)角相等，進一步推導所涉角為90°.

因為△CAD∽△CBE，則∠CAD=∠CBE. 又知∠ACB=90°，∠CAD+∠CBA=90°，所以∠CBE+∠CBA=90°，即EB⊥AB，證畢.

原理探究

上述問題涉及了旋轉(zhuǎn)相似模型，即可將△CAD視為是△CBE圍繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCA后再進一步縮放所得. 解析過程往往由三角形相似性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合已知推導旋轉(zhuǎn)相似三角形的條件. 模型證明過程涉及三角形相似性質(zhì)及相似的判定定理，具體如下.

如圖2所示，已知△ABC∽△ADE，則△BAD∽△CAE，證明過程如下：由△ABC∽△ADE可得 = ，∠BAC=∠DAE，則∠BAD=∠CAE，可證△BAD∽△CAE.

模型實質(zhì)：通過兩邊成比例、夾角相等來判斷三角形相似，同時兩個相似三角形的第三邊的夾角與頂角相等.

上述所探究的是一般的旋轉(zhuǎn)相似模型，其特點為圍繞公共頂點，已知一組相似三角形，探尋衍生相似三角形. 實際命題中常涉及角度、線段比值等問題，但問題本質(zhì)不變.

典例剖析

中考常從知識綜合的角度來考查旋轉(zhuǎn)相似模型，所涉考點較多、圖形復雜、問題形式多樣. 解析過程依然可從把握其中的旋轉(zhuǎn)相似關(guān)系入手，利用相似性質(zhì)推導結(jié)論. 下面以一道綜合題為例探究解題策略.

例題1? 如圖3所示，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，點D和E分別位于AC，BC上，連接DE，且有 = = ，tanB= .

（1）如圖4所示，現(xiàn)將△CDE圍繞點C進行旋轉(zhuǎn)，連接AD、BE，兩線交點設(shè)為H，試求證AD⊥BE;

（2）如圖5，△CDE圍繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當CH= 時，試求 AH-BH的值;

（3）如果CD=1，當△CDE圍繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出AH的最大值.

解析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中性質(zhì)可證△ACD∽△BCE，由相似性質(zhì)并結(jié)合條件進行等角代換，可證相關(guān)角為90°.

設(shè)BE與AC的交點為O，如圖6所示. 因為∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠ECB. 由 = 可得 = ，所以△ACD∽△BCE，由相似性質(zhì)可得∠DAC=∠EBC，又知∠AOH=∠BOC，所以∠AHO=∠BCO=90°，則AD⊥BE.

（2）探究幾何旋轉(zhuǎn)中的線段問題，需合理添加輔助線構(gòu)建模型，可在HB的延長線上取一點T，使得HT= AH，則問題就轉(zhuǎn)化為求HT-BH，即BT的長. 后續(xù)結(jié)合旋轉(zhuǎn)相似模型，證明△AHC∽△ATB，由相似性質(zhì)即可推導.

如圖7所示，在HB的延長線上取一點T，使得HT= AH，連接AT，在Rt△AHT中，有tan∠ATH= = ，由于tan∠ABC= ，所以∠ATH=∠ABC. 進一步分析可證∠HAT=∠CAB，所以△AHT∽△ACB，由相似性質(zhì)可得 = ，則 = ，可證△CAH∽△BAT，由三角形相似可得 = . 因為HT= AH，設(shè)AH=a，則HT= a，AT= a，所以 = ，解得BT= ，即 AH-BH的值為 .

（3）設(shè)定CD=1，在旋轉(zhuǎn)過程中有AH=AB·sin∠ABH，則當∠ABH最大時，AH的值也最大，后續(xù)分析此時的位置關(guān)系，求解線段長即可.

在Rt△AHB中，有AH=AB·sin∠ABH. 分析可知，當∠ABH最大時，AH的值也最大，此時CE⊥BE，四邊形CDHE為矩形，如圖8所示. 由矩形性質(zhì)可得DH=EC，∠ADC=∠CDH=90°. 已知CD=1，EC= ，AC= ，所以DH=CE= . 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD= = ，所以AH=AD+DH=2 ，則AH的最大值為2 .

評析? 上述考題以旋轉(zhuǎn)為背景探究相關(guān)問題，在幾何旋轉(zhuǎn)中存在相似模型，可視為是繞固定點旋轉(zhuǎn)的相似三角形，這是問題突破的關(guān)鍵. 后續(xù)充分利用旋轉(zhuǎn)相似模型的對應(yīng)邊及角度的相關(guān)結(jié)論即可逐步求解. 旋轉(zhuǎn)問題屬于動態(tài)幾何問題，結(jié)合條件準確提取模型，化“動”為“靜”是解析重點.

模型拓展

旋轉(zhuǎn)相似模型是依托幾何旋轉(zhuǎn)構(gòu)建的模型，上述所探究的是常見的一般圖形形式. 實際上，旋轉(zhuǎn)相似模型還有特殊的對角互補旋轉(zhuǎn)相似，該模型中存在一組對角之和為180°. 如圖9所示，模型中∠BAD+∠C=180°，過點A分別作BC和CD的垂線，設(shè)垂足為點H和G，可將△ADG視為是△ABH旋轉(zhuǎn)對應(yīng)角度后的縮放三角形，即△ABH∽△ADG，則后續(xù)連接HG、BD，可證△AHG∽△ABD.

具體探究時，要把握圖形中的對角互補關(guān)系，從旋轉(zhuǎn)視角把握圖中的相似三角形，然后利用相似性質(zhì)進行推理，提取衍生相似三角形，解析時可按照如下思路：提取互補對角→尋找相似三角形→推理相似性質(zhì)→探究衍生相似圖形，下面結(jié)合實例進一步探究.

例題2? 如圖10所示，點P位于矩形ABCD對角線AC上，點M在矩形邊AD上，且PM⊥PB，回答下列問題.

（1）求證： = ;

（2）如果MA=MP，AB=3，BC=4，試求AP的長.

分析：從幾何旋轉(zhuǎn)視角探究圖形，合理利用旋轉(zhuǎn)相似模型，提取其中的相似三角形，利用相似三角形的相關(guān)性質(zhì)進行推理.

解：（1）連接BM，如圖10所示. 已知ABCD為矩形，則∠BAD=∠D=90°. 又知PM⊥PB，則∠BPM=90°，所以∠BAM+∠BPM=180°，則點A、B、P、M四點共圓，有∠MBP=∠DAC. 因為∠D=∠BPM=90°，可證△ADC∽△BPM，由相似性質(zhì)可得 = ，所以 = .

（2）可過點B作AC的垂線，垂足為點N，如圖11. 分析可證△BMA≌△BMP，由全等性質(zhì)可得AB=PB=3. 在Rt△ABC中，已知AB=3，BC=4，由勾股定理可得AC= =5，由等面積法可得 AB·AC= AC·BN，可解得BN= . 而在Rt△PBN中，由勾股定理可得PN= = ，因為BA=BP，BN⊥AP，所以AN=NP，可得AP=2PN= .

評析? 上述以矩形為背景求證線段比例，求解線段長. 問題解析要關(guān)注其中的垂直關(guān)系，以此為基礎(chǔ)提取旋轉(zhuǎn)相似模型. 往往對角互補相似模型中存在較多的直角，解析時要充分利用直角特性求解線段長，可直接利用勾股定理，也可借助直角求解三角函數(shù)值進行線段轉(zhuǎn)換.

教學反思

上述深入探究了旋轉(zhuǎn)相似模型，并結(jié)合實例探討解題策略，實際上模型中的“旋轉(zhuǎn)”是特殊的幾何觀察視角所獲，是用動態(tài)眼光看待圖形的一種方式，而模型中的相似關(guān)系是根本. 在解題探究中要理解模型本質(zhì)，把握相似特性，總結(jié)模型結(jié)論，積累解題經(jīng)驗，下面結(jié)合教學進行深入反思.

1. 關(guān)注教材模型，理解模型本質(zhì)

近幾年中考試題中出現(xiàn)了眾多的幾何模型題，問題往往構(gòu)思巧妙，形式新穎，給學生的解題突破造成了很大的困擾. 事實上，這些幾何模型題是對教材習題的拓展變式，是基于定理定義、圖形規(guī)律的拓展構(gòu)建. 如上述的幾何旋轉(zhuǎn)相似模型，是基于教材中的旋轉(zhuǎn)、三角形相似而形成的特殊模型. 實際教學中，要注重挖掘教材模型，提取基本圖形，剖析模型原理，引導學生理解模型本質(zhì). 同時開展創(chuàng)新拓展探究，讓學生改編教材習題，充分挖掘習題的教學價值.

2. 加強建模教學，提升建模能力

初中幾何領(lǐng)域含有眾多的圖形，對圖形進行提煉可生成幾何模型，模型所具有的性質(zhì)特征、解析思路具有一定的研究價值，可用于解析復雜圖形. 幾何模型教學的重點有三個：一是模型本質(zhì)，二是模型性質(zhì)特征，三是構(gòu)建方法. 后兩點對于培養(yǎng)學生的模型意識，提升建模能力十分關(guān)鍵. 具體教學中，建議在情景問題中開展模型研究，引導學生從復合圖形中提取基本模型，探究模型結(jié)構(gòu)，總結(jié)模型結(jié)論，并利用模型解決對應(yīng)問題，幫助學生積累解題經(jīng)驗.

3. 強化模型思想，發(fā)展核心素養(yǎng)

中考幾何綜合題的考查方向有兩個：一是幾何知識及方法，二是解題中的思想方法. 幾何模型考題中的數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造思想、化歸轉(zhuǎn)化思想是考查的重點. 教學中要注重思想方法，合理滲透數(shù)學思想，引導學生總結(jié)問題解析時所用到的方法，適度延伸，升華思想. 數(shù)學思想較為抽象，教學中應(yīng)將重點集中在技巧講解上，如幾何構(gòu)造中添加輔助線的方法，數(shù)形結(jié)合解析的具體過程，化歸轉(zhuǎn)化的具體思路、側(cè)重方向等. 通過思想方法教學強化學生思維，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).