對一道“黃金分割點”與相似問題的探究與思考

施獻(xiàn)

[摘? 要] “黃金分割點”與相似圖形結(jié)合是中考常見的問題形式，可同時考查學(xué)生概念理解、知識應(yīng)用、模型構(gòu)建、問題轉(zhuǎn)化能力. 挖掘問題模型、關(guān)注模型原理、深度拓展探究可有效提升學(xué)生的解題能力. 文章將對一道“黃金分割點”問題深入探究，并反思模型教學(xué)，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 黃金比;相似;圖形;比例線段;拓展;模型

黃金分割問題在生活生產(chǎn)中十分常見，實際上在中考中也會涉及，考查時常結(jié)合特殊圖形，綜合幾何知識. 2020年徐州市中考壓軸題同時涉及了黃金比與相似圖形，具有極高的研究價值.

考題呈現(xiàn)

考題：（2020年江蘇徐州中考卷第27題）我們知道：如圖1，點B把線段AC分成兩部分，如果 = ，那么稱點B為線段AC的黃金分割點. 它們的比值為 .

（1）在圖1中，若AC=20 cm，則AB的長為______cm;

（2）如圖2，用邊長為20 cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應(yīng)點H，得折痕CG. 試說明G是AB的黃金分割點;

（3）如圖3，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE>DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P. 他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點. 請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

考題探究

1. 問題分析

第（1）問可將AC的長度代入比例式中，即可得到線段AB的長.

第（2）問需要證明點G是AB的黃金分割點，由黃金分割點的概念可知，需要滿足 = ，則求出BG的長度即可. 設(shè)EA和CG的延長線相交于點M，根據(jù)折疊特性以及平行性質(zhì)可得∠EMC=∠ECM，則△EMC為等腰三角形，可得EM=EC，由已知線段長可得EM長，在Rt△CMD中構(gòu)建三角函數(shù)，可求得tan∠DMC的值，后續(xù)就可求得BG的長度，從而可證點G是AB的黃金分割點.

第（3）問探究線段關(guān)系與黃金分割點的聯(lián)系，若PB=BC則可證△BAE≌△CBF，進(jìn)而可得BF=AE，另外由兩線平行可證△AEF∽△BPF，結(jié)合相似性質(zhì)構(gòu)建方程，可得 和 的比值，從而可證點E和F分別是對應(yīng)線段的黃金分割點.

2. 過程詳析

（1）由題意可得 = = ，已知AC=20 cm，則AB=? ×20 cm=10 -10 cm.

（2）延長EA和CG，設(shè)兩線的交點為M，如圖4所示. 已知四邊形ABCD為正方形，則DM∥BC，可推知∠EMC=∠BCG. 由折疊特性可得∠ECM=∠BCG，可推知∠EMC=∠ECM，所以EM=EC. 因為DE=10，DC=20，則EC=10 =EM，DM=EM+DE=10+10 . 在Rt△CMD中，已知CD=20，DM=10+10 ，則tan∠DMC= = = =tan∠BCG. 在Rt△BCG中，已知BC=20，tan∠BCG= ，則BG=BC·tan∠BCG=10 -10. 所以 = = ，即點G為AB的黃金分割點.

（3）當(dāng)PB=BC時，E，F(xiàn)恰好分別是AD，AB的黃金分割點，理由如下.

因為CF⊥BE，則∠BCF+∠CBE=90°，又知∠CBE+∠ABE=90°，所以∠ABE=∠BCF. 結(jié)合條件可證△BAE≌△CBF（ASA），由全等性質(zhì)可得AE=BF. 設(shè)AE=BF=x，則AF=a-x，因為AD∥CP，則△AEF∽△BPF，由相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，所以x2+ax-a2=0，可解得x= 或x= （舍去），即BF=AE= ，所以 = = ，即E，F(xiàn)恰好分別是AD，AB的黃金分割點.

評析：上述是關(guān)于黃金分割點的幾何綜合題，問題采用知識探究的方式，第（1）問是基于概念的知識強化，第（2）問則是關(guān)于黃金分割點的幾何模型構(gòu)建，第（3）則是基于概念的拓展探究，其中涉及了三角形相似和全等證明，是對幾何知識定理的深度綜合.

模型探究

上述是初中數(shù)學(xué)常見的黃金分割點問題，其中第三問為核心之問，屬于比例與黃金分割點問題，探究的本質(zhì)是線段之間的比例關(guān)系，其中構(gòu)建三角形相似是問題突破的關(guān)鍵，也是論證黃金分割點的核心定理. 上述屬于相似型黃金分割模型，本質(zhì)上是兩條直線被三條平行線所截獲得. 下面三步進(jìn)行模型探究：模型提取→模型探源→模型拓展.

1. 模型提取

基于上述問題圖像進(jìn)行模型提取，如圖5所示，該模型中△AEF∽△BPF，其中 = ，模型中的兩條平行線段不參與比例構(gòu)建，而AB和EP為相交關(guān)系，交點為F，可視為是三角形“反A”型相似的黃金分割模型.

2. 模型探源

將點E沿著EA方向移動至圖6所示位置，再過點F作AE的平行線，與EP的交點設(shè)為點D，并將各線段分別延長，可得圖6所示模型，故考題模型的原型為“平行線分線段”. 圖中點F在AB線段上的位置不變，故其中的黃金分割關(guān)系固定，顯然點D為線段EP的黃金分割點.

3. 模型拓展

基于“平行線分線段”可構(gòu)建三角形“A”型相似的黃金分割模型，將AB平移至點E，并對圖形進(jìn)行截取，如圖7所示. 圖中△ADF的底邊DF與△APB的底邊PB相平行，顯然△ADF∽△APB，由相似性質(zhì)可得 = ，根據(jù)黃金分割點的定義可知，線段比值為 ，即點D和E分別是所在線段的黃金分割點，同時在該模型中平行線段本身沒有參與比例構(gòu)建.

拓展探究

“黃金分割點”是基于點在直線上的位置關(guān)系所構(gòu)建的，實際上探索直線對圖形的分割關(guān)系可構(gòu)建“黃金分割線”，而在“黃金分割線”的兩個端點中必然有一個為所在線段的“黃金分割點”，下面結(jié)合考題進(jìn)行拓展探究.

問題：如圖8所示，我們已了解點C將線段AB分為兩部分，若 = ，則稱點C為線段AB的黃金分割點. 校數(shù)學(xué)小組進(jìn)行知識拓展探究，在輔導(dǎo)老師的引導(dǎo)下由黃金分割點拓展到“黃金分割線”，類似地對“黃金分割線”進(jìn)行了定義：直線l將面積為S的圖形分割為兩部分，設(shè)兩部分的面積分別為S1和S2，若 = ，則稱直線l為該圖形的黃金分割線.

如圖9所示，在△ABC中，已知∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D，試回答下列問題.

（1）證明：點D是線段AB的黃金分割點;

（2）證明：直線CD是△ABC的黃金分割線.

解析：首先需要理解題干關(guān)于“黃金分割線”的定義，然后參考解析“黃金分割點”的思路進(jìn)行探究. 顯然“黃金分割點”關(guān)注的是線段之間的比例關(guān)系，而“黃金分割線”的關(guān)注點為圖形面積之間的比例關(guān)系，而結(jié)合面積公式可將其轉(zhuǎn)化為線段乘積問題，進(jìn)而完成證明.

（1）因為∠A=36°，AB=AC，則∠B=∠ACB=72°. 由于CD平分∠ACB，則∠ACD=∠DCB=36°，可推知∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，所以BC=DC=AD. 可證△BCD∽△BAC，由相似性質(zhì)可得 = ，所以 = ，可證點D是線段AB的黃金分割點.

（2）可將△ABC視為是以AB為底，點C為頂點的三角形，設(shè)AB邊上的高為h，則有S =? AD·h，S =? DB·h，S =? AB·h，則 = ， = . 由于點D是線段AB的黃金分割點，則 = ，所以 = ，由定義可證直線CD是△ABC的黃金分割線.

評析：上述是關(guān)于“黃金分割線”的新定義考題，其構(gòu)建方式參考了“黃金分割點”，由三角形相似比例拓展到三角形面積比例. 構(gòu)建面積模型，利用相似比例轉(zhuǎn)化面積問題是解析的關(guān)鍵. 雖然考題的定義新穎，但其知識引導(dǎo)性極強，對于拓展思維有著一定的幫助.

解后反思

上述對黃金分割與圖形相似進(jìn)行了深入探究，通過探索考題模型，還原了模型的知識背景，同時基于模型進(jìn)一步探究了“黃金分割線”，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著一定的幫助，下面基于教學(xué)實踐深入思考.

1. 關(guān)注概念的模型構(gòu)建

“黃金分割點”是初中數(shù)學(xué)重要的概念，與生活實際有著很強的聯(lián)系，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念中的模型，結(jié)合模型理解知識本質(zhì). 以上述“黃金分割點”問題為例，實際上是關(guān)于線段長的特殊比例關(guān)系，與圖形相似有著緊密的聯(lián)系. 教學(xué)中應(yīng)立足幾何相似開展問題探究，關(guān)注模型的特征、性質(zhì)，探索問題轉(zhuǎn)化的基本策略.

2. 注重模型的拓展變式

“黃金分割點”模型考題十分常見，問題常以教材的基本概念為基礎(chǔ)，結(jié)合幾何圖形綜合構(gòu)建，問題涉及相似性質(zhì)、平行線性質(zhì)、全等特性等幾何知識，故問題的拓展性強. 教學(xué)中要關(guān)注模型的知識關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生開展知識拓展，結(jié)合考題進(jìn)行深入探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性. 如上述基于“黃金分割點”的相似模型和關(guān)聯(lián)概念進(jìn)行深層拓展，探索了“黃金分割點”的“A型”相似模型以及“黃金分割線”.

3. 重視數(shù)學(xué)的思維發(fā)展

知識探究是發(fā)展學(xué)生思維、提升學(xué)生能力的重要方式，教學(xué)中要重視兩方面內(nèi)容：一是學(xué)生的思維活動，二是數(shù)學(xué)思想的滲透. 由于模型探究過程相對比較煩瑣，需要經(jīng)歷問題引導(dǎo)、模型提取、本質(zhì)探索、知識拓展等多個環(huán)節(jié)，探索過程的思維活動極為豐富，若不能合理引導(dǎo)，學(xué)生很容易陷入思維誤區(qū). 而數(shù)學(xué)思想是教學(xué)的重點，對于學(xué)生的素養(yǎng)提升極為關(guān)鍵，利用探究方式可取得良好的解題效果. 因此，探究教學(xué)中需合理設(shè)置數(shù)學(xué)活動，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升.