關(guān)于線段和最值“解題公式”的探究思考

常燕

[摘? 要] 線段和最值問題在中考中十分常見，線段轉(zhuǎn)化、構(gòu)建共線關(guān)系是重要的解題策略之一. 整理解題過程，總結(jié)思維方法，形成“解題公式”有利于提高解題效率. 文章將剖析問題的解題原理，結(jié)合例題歸納解題模板，并進(jìn)行實戰(zhàn)演練，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 線段和;最值;轉(zhuǎn)化;拋物線;共線定理

線段和最值是初中最值問題的常見類型，即求解兩條線段之和的最小值，“動線段1+動向段2”為常見形式. 解析過程可采用幾何原理，按照“解題公式”來構(gòu)建思路，下面深入探究.

解題原理探究

“兩點之間，線段最短”是線段和最值問題突破的基本依據(jù)，也是解題的核心公理. 具體求解時常通過對稱變化的方式來實現(xiàn)三點共線，從而確定線段之和取最值時動點的位置.

以圖1的情形為例，點A和B分別為直線l異側(cè)的兩個定點，點P為直線l上的一個動點，顯然當(dāng)P、A、B三點共線時，線段和AP+BP可取得最小值，此時點P位于直線AB與l的交點處. 若點A和B位于直線l的同一側(cè)，則可以通過對稱變換的方式來構(gòu)建.

實際轉(zhuǎn)化過程要遵循以下原則：①控制、減少變量;②向定點、定線段方向靠攏.

“解題公式”示例

線段和最值問題的核心是“轉(zhuǎn)化”，即明確“轉(zhuǎn)化要素”，實現(xiàn)“線段轉(zhuǎn)化”. 因此該類問題思路構(gòu)建可分如下三步進(jìn)行：第一步，理解問題條件，明晰“轉(zhuǎn)化要素”;第二步，作圖構(gòu)形，實現(xiàn)“線段轉(zhuǎn)化”;第三步，利用幾何定理，三點共線解決. 下面以一道例題具體闡述思路的構(gòu)建過程.

例題：如圖2所示，已知菱形ABCD的邊長為1，點P是菱形對角線AC上的一個動點，點M和N分別是邊AB和BC的中點，則PM+PN的最小值為________.

思路分析：按照“轉(zhuǎn)化要素→線段轉(zhuǎn)化→共線解題”三步構(gòu)建.

第一步，分析題目條件，明晰“轉(zhuǎn)化要素”.

求PM+PN的最小值，其中P為動點，M和N為定點. 由條件可知動點P位于直線AC上，定點M和N分別為AB和BC的中點，且位于AC的同一側(cè). 結(jié)合求線段和的最值原理可知，需要將三點轉(zhuǎn)化在同一直線上，故需要對同側(cè)定點M和N進(jìn)行位置轉(zhuǎn)化.

第二步，作圖構(gòu)形，實現(xiàn)“線段轉(zhuǎn)化”.

采用軸對稱的轉(zhuǎn)化方式，將線段PM和PN放在同一直線上. 由于點M和N均為菱形邊上的中點，則可以取CD的中點為G，如圖3所示. 由菱形特性可知，點G和N關(guān)于AC對稱，由對稱性可知PG=PN，則問題可轉(zhuǎn)化為求PM+PG的最小值.

第三步，利用幾何定理，三點共線破題.

在△PMG中，有PM+PG≥MG時，即當(dāng)點P、M、G三點共線時，PM+PG可取得最小值，此時PM+PG=MG=1，即點P是MG與AC的交點，所以PM+PN的最小值為1.

總結(jié)? 求線段和最值可分三步進(jìn)行，其中第一步明晰所涉線段中的動點和定點，并結(jié)合圖像把握點之間的位置關(guān)系;第二步則是探索線段轉(zhuǎn)化的策略，為后續(xù)線段共線提供條件;第三步則是基于“兩點之間，線段最短”原理構(gòu)建三點共線，確定最值情形.

考題實例演練

考題：（2020年南通中考卷第10題）如圖4，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（？搖？搖? ? ）.

A.? ？搖？搖? ? ? ? B. 2

C. 2 ？搖? ? ? ？搖D. 3

思路分析：本題目求線段和AE+BF的最大值，可參考上述“解題公式”進(jìn)行思路構(gòu)建.

第一步，分析題目條件，明晰“轉(zhuǎn)化要素”.

求AE+BF的最大值，其中點A和B為定點，由于直線l的斜率不確定，從而造成點E和F的位置不定. 線段AE和BF位于動直線l的同側(cè)，需要將其轉(zhuǎn)化到同一直線上去.

第二步，作圖構(gòu)形，實現(xiàn)“線段轉(zhuǎn)化”.

轉(zhuǎn)化過程需要確保線段等長，本題目中可通過構(gòu)建全等三角形的方式實現(xiàn). 作CK⊥l，垂足為點K，再過點C作AE的垂線，設(shè)垂足為點N，如圖5所示. 分析可證△BFD≌△CKD，則CK=BF=EN可將問題轉(zhuǎn)化為求AE+EN=AN的最大值，此時點A、E、N三點共線.

第三步，利用幾何定理，三點共線破題.

在Rt△ANC中，有AN

評析? 上述采用解題模板探究與四點相關(guān)的線段和最值，其中點E和F為動直線上的點，與例題相比更為復(fù)雜，但解題思路是不變的. 通過“線段轉(zhuǎn)化”構(gòu)建三點共線是關(guān)鍵，上述所采用的全等變化是幾何中的常用方法. 線段和最值問題解析的重點是思路分析，而不是解題過程，理解方法原理，靈活套用“解題模板”是探究的重點.

考題拓展探究

中考常見拋物線與幾何相綜合，拋物線背景中同樣存在線段和最值問題，該類問題本質(zhì)上是一致的，同樣可以參考上述所總結(jié)的“解題公式”進(jìn)行思路構(gòu)建. 下面對一道拋物線中的線段和最值問題進(jìn)行“模式化”探究.

問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的解析式為y=- x2+2x-1，設(shè)拋物線的頂點為P，等腰直角三角形△ABC的頂點坐標(biāo)為A（0，-1），點B位于第四象限，如圖6所示，現(xiàn)平移拋物線，使點P沿著AC方向滑動，設(shè)滑動時拋物線與AC的另一交點為Q，BC的中點為N. 探究在平移過程中，NP+BQ取得最小值時點Q的坐標(biāo).

解析：本題目以拋物線為背景，求線段NP+BQ取得最小值時點Q的坐標(biāo)，涉及N、P、B、Q四點，同樣可以參考上述總結(jié)的“解題公式”.

第一步，分析題目條件，明晰“轉(zhuǎn)化要素”.

問題所涉四點中，點B，N為定點，點P和Q是拋物線與AC的交點，可視為是動點. 線段NP和BQ均位于直線AC的同一側(cè)，需要通過“線段變換”來實現(xiàn)兩線段共線.

第二步，作圖構(gòu)形，實現(xiàn)“線段轉(zhuǎn)化”.

如圖7，可采用軸對稱變換的方式，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，由對稱性質(zhì)可得BQ=B′Q. 取AB的中點為F，連接QF，F(xiàn)N，可證PQFN為平行四邊形，可得NP=QF，則問題轉(zhuǎn)化為求QF+B′Q的最小值時的情形.

第三步，利用幾何定理，三點共線破題.

根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，當(dāng)Q、F和B′三點共線時，QF+B′Q可取得最小值，此時點Q為直線B′F與AC的交點. 根據(jù)問題條件可求得點B′（0，3），點F（2，-1），則直線B′F的解析式為y=-2x+3，直線AC的解析式為y=x-1，聯(lián)立兩者的解析式可得點Q坐標(biāo)為 ， ，所以NP+BQ取得最小值時點Q坐標(biāo)為 ， .

評析? 上述線段所涉四點中有兩點為動點，與拋物線的平移緊密相關(guān)，可將平移方向AC視為是定直線，顯然問題線段位于同一側(cè)，后續(xù)的重點就是“線段轉(zhuǎn)化”. 與例題相比，本問題的難點集中在第三步的求值上，由于問題背景為平面直角坐標(biāo)系，解題時要把握點與線段、解析式的關(guān)系.

問題解后反思

上述對線段和最值問題的解題策略進(jìn)行了剖析，并結(jié)合例題總結(jié)了相應(yīng)的“解題公式”，對于提升解題效率有著極大的幫助. 而在實際教學(xué)中，教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)原理，開展知識總結(jié)，注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，下面提出幾點教學(xué)建議.

1. 領(lǐng)悟問題本質(zhì)，掌握分析方法

線段和最值屬于動點問題，實際上探究線段最值就是分析點的位置關(guān)系、探究距離最值，顯然適用于“兩點之間，距離最短”原理. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解問題本質(zhì)，關(guān)注問題突破的知識原理，使學(xué)生領(lǐng)悟解題的關(guān)鍵所在. 解題模板是對問題解法的思路總結(jié)、方法概括，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生體驗問題的分析過程，理解每步探究的意義，關(guān)注其中的重點，讓學(xué)生掌握方法的精髓，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題的能力.

2. 注重問題拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維

“解題公式”有助于引導(dǎo)學(xué)生 “模式化”構(gòu)建思路，但也存在思維固化的弊端，容易使學(xué)生過度依賴，限制思維發(fā)展. 教學(xué)中要注重問題變式，拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生思維的靈活性，如上述問題探究中，基于“線段轉(zhuǎn)化”方法和問題背景進(jìn)行拓展變式，總結(jié)了全等變換方法，拋物線最值問題突破的思路. 拓展教學(xué)中，可采用對比探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特點，反思方法異同，培養(yǎng)學(xué)生思維，幫助學(xué)生形成解題策略.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

上述總結(jié)了線段和最值問題的“三步法”解題模板，其中第二步涉及了圖形構(gòu)建和線段轉(zhuǎn)化，其中隱含了數(shù)學(xué)的模型思想和轉(zhuǎn)化思想，而第三步的計算推理過程中隱含了數(shù)形結(jié)合思想. 在探究教學(xué)中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)的思想方法，合理滲透數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)思想不同于知識定理，教學(xué)中需要采用思維引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生體驗解題過程，感悟思想方法的精髓，養(yǎng)成利用思想方法解題分析的習(xí)慣，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).