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    厘清線角關(guān)系 巧破易錯(cuò)痛點(diǎn)

    2021-06-20 14:55:57徐菊萍
    初中生世界·九年級(jí) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓圓周角

    徐菊萍

    圓是涵蓋知識(shí)點(diǎn)較多的圖形,可以從線段、角、多邊形等直線圖形擴(kuò)充到弧、扇形等曲線圖形。如果將圓與各類直線圖形結(jié)合,我們能構(gòu)造出更復(fù)雜的圖形。如何有效解決圓中的易錯(cuò)問題,避免失誤呢?我們可以從以下幾個(gè)方面來辨析錯(cuò)誤,精準(zhǔn)解題。

    一、善用圓中弧、角、弦對(duì)應(yīng)關(guān)系解決圓中線角關(guān)系

    例1 如圖1,AB為⊙O的直徑,C、D為⊙O上兩點(diǎn),若∠BCD=40°,則∠ABD的大小為()。

    A.60°B.50°C.40°D.20°

    【解析】很多同學(xué)可能因?yàn)檎也坏健螧CD與∠ABD的關(guān)系而不能求解。因?yàn)閳D中有“圓周角”,關(guān)于圓周角有兩個(gè)基本圖形,因此可以從以下兩個(gè)方向思考。

    解法一(利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍):連接OD,如圖2?!摺螪OB和∠BCD分別是弧BD所對(duì)的圓心角和圓周角,∴∠DOB=2∠BCD=80°,再由半徑相等,所以在等腰△DOB中,∠ABD=50°。故選B。

    解法二(利用直徑所對(duì)的圓周角是直角,同弧所對(duì)圓周角相等):連接AD,如圖3?!逜B為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°?!摺螦和∠BCD都是弧BD所對(duì)的圓周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°。故選B。

    二、善用多邊形邊角關(guān)系解決圓中線角問題

    例2 若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2,則其外接圓半徑為。

    【解析】本題需理解兩個(gè)圓與正多邊形的關(guān)系,如果能將內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑轉(zhuǎn)化為三角形的線段關(guān)系,就能輕松破解。如圖4,連接OE,作OM⊥EF于點(diǎn)M,則OE=EF,EM=FM,由正六邊形的知識(shí)可知,內(nèi)切圓半徑OM=2,∠EOM=30°。在Rt△OEM中,cos∠EOM=[OMOE],∴[32]=[2OE],解得OE=[433],即外接圓半徑為[433]。

    三、善用切線與過切點(diǎn)的半徑垂直解決圓中位置關(guān)系

    例3 如圖5,PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B,若∠P=40°,則∠B的度數(shù)為()。

    A.20°B.25°C.40°D.50°

    【解析】本題只有利用切線的性質(zhì),正確添加輔助線才能解決。如圖6,連接OA,可得直角△AOP和等腰△OAB,得∠B=25°。故選B。

    四、善用空間想象力解決圓錐問題

    例4 如圖7,圓錐的底面半徑r=6,高h(yuǎn)=8,則圓錐的側(cè)面積是()。

    A.15πB.30πC.45πD.60π

    【解析】本題易用錯(cuò)圓錐側(cè)面積的公式。因?yàn)閳A錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形,故先由r=6,h=8,得母線為10,再得圓錐的側(cè)面積=6×10π=60π。故選D。

    例5 如圖8,矩形紙片ABCD中,AD=6cm。把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面,則AB的長(zhǎng)為()。

    A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

    【解析】本題需理解圓錐側(cè)面與底面的關(guān)系,即側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)=底面圓的周長(zhǎng)。

    ∵弧長(zhǎng)[AF]=[14]?2π?AB,圓的周長(zhǎng)為π?DE,

    ∴[14]?2π?AB=π?DE,AB=2DE。

    ∵AE+ED=AD=6,AB=AE,

    ∴AB=4。

    故選B。

    從上述例題可見,要想解決圓中的線、角問題,還要善于添加合適的輔助線。常見的輔助線有:連半徑、作弦心距、構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角、連過切點(diǎn)的半徑等。因此,我們?nèi)绻苁煜A中的基本圖形,做到心中有圖,再結(jié)合常見的數(shù)學(xué)思想方法,那么一定能輕松破解圓中的易錯(cuò)問題。

    (作者單位:南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué))

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