厘清線角關(guān)系　巧破易錯(cuò)痛點(diǎn)

徐菊萍

圓是涵蓋知識(shí)點(diǎn)較多的圖形，可以從線段、角、多邊形等直線圖形擴(kuò)充到弧、扇形等曲線圖形。如果將圓與各類直線圖形結(jié)合，我們能構(gòu)造出更復(fù)雜的圖形。如何有效解決圓中的易錯(cuò)問題，避免失誤呢？我們可以從以下幾個(gè)方面來辨析錯(cuò)誤，精準(zhǔn)解題。

一、善用圓中弧、角、弦對(duì)應(yīng)關(guān)系解決圓中線角關(guān)系

例1 如圖1，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD=40°，則∠ABD的大小為（）。

A.60°B.50°C.40°D.20°

【解析】很多同學(xué)可能因?yàn)檎也坏健螧CD與∠ABD的關(guān)系而不能求解。因?yàn)閳D中有“圓周角”，關(guān)于圓周角有兩個(gè)基本圖形，因此可以從以下兩個(gè)方向思考。

解法一（利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍）：連接OD，如圖2?！摺螪OB和∠BCD分別是弧BD所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠DOB=2∠BCD=80°，再由半徑相等，所以在等腰△DOB中，∠ABD=50°。故選B。

解法二（利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)圓周角相等）：連接AD，如圖3?！逜B為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°?！摺螦和∠BCD都是弧BD所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°。故選B。

二、善用多邊形邊角關(guān)系解決圓中線角問題

例2 若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2，則其外接圓半徑為。

【解析】本題需理解兩個(gè)圓與正多邊形的關(guān)系，如果能將內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑轉(zhuǎn)化為三角形的線段關(guān)系，就能輕松破解。如圖4，連接OE，作OM⊥EF于點(diǎn)M，則OE=EF，EM=FM，由正六邊形的知識(shí)可知，內(nèi)切圓半徑OM=2，∠EOM=30°。在Rt△OEM中，cos∠EOM=[OMOE]，∴[32]=[2OE]，解得OE=[433]，即外接圓半徑為[433]。

三、善用切線與過切點(diǎn)的半徑垂直解決圓中位置關(guān)系

例3 如圖5，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（）。

A.20°B.25°C.40°D.50°

【解析】本題只有利用切線的性質(zhì)，正確添加輔助線才能解決。如圖6，連接OA，可得直角△AOP和等腰△OAB，得∠B=25°。故選B。

四、善用空間想象力解決圓錐問題

例4 如圖7，圓錐的底面半徑r=6，高h(yuǎn)=8，則圓錐的側(cè)面積是（）。

A.15πB.30πC.45πD.60π

【解析】本題易用錯(cuò)圓錐側(cè)面積的公式。因?yàn)閳A錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形，故先由r=6，h=8，得母線為10，再得圓錐的側(cè)面積=6×10π=60π。故選D。

例5 如圖8，矩形紙片ABCD中，AD=6cm。把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則AB的長(zhǎng)為（）。

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

【解析】本題需理解圓錐側(cè)面與底面的關(guān)系，即側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)=底面圓的周長(zhǎng)。

∵弧長(zhǎng)[AF]=[14]?2π?AB，圓的周長(zhǎng)為π?DE，

∴[14]?2π?AB=π?DE，AB=2DE。

∵AE+ED=AD=6，AB=AE，

∴AB=4。

故選B。

從上述例題可見，要想解決圓中的線、角問題，還要善于添加合適的輔助線。常見的輔助線有：連半徑、作弦心距、構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角、連過切點(diǎn)的半徑等。因此，我們?nèi)绻苁煜A中的基本圖形，做到心中有圖，再結(jié)合常見的數(shù)學(xué)思想方法，那么一定能輕松破解圓中的易錯(cuò)問題。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)）