基于Backstepping的三輪機器人編隊控制

于美妍，楊洪勇，孫玉嬌

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺 264025)

0 引言

多機器人在實際應(yīng)用中發(fā)揮著越來越重要的作用，多機器人編隊控制問題日漸成為學(xué)術(shù)界的研究熱點。但由于機器人構(gòu)造復(fù)雜，多機器人系統(tǒng)涉及的技術(shù)很多，人們比較常用的研究方法是把通信的多個智能體構(gòu)成的計算系統(tǒng)即多智能體系統(tǒng)視為一個分布式網(wǎng)絡(luò)，研究多智能體系統(tǒng)的分布式合作。文獻[6]中針對具有干擾的多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問題，提出了帶有不匹配干擾和參數(shù)不確定的一致性控制算法。文獻[7]研究了一類拓?fù)錇檠h(huán)圖的多智能體系統(tǒng)在圓上運動的編隊控制問題。文獻[8]研究了具有比例加微分控制器的連續(xù)一階多時滯多智能體系統(tǒng)的一致性問題。文獻[9]研究了具有事件觸發(fā)控制策略的二階積分器多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題。文獻[10]和[11]研究了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。

在研究多智能體編隊控制問題時，機器人的非線性系統(tǒng)往往比較復(fù)雜，直接得出整個系統(tǒng)的控制器存在一定的困難，而Backstepping方法是把系統(tǒng)進行分解，分別對每個子系統(tǒng)引入虛擬控制量，設(shè)計Lyapunov函數(shù)得到子系統(tǒng)的虛擬控制器，逐步反推得出系統(tǒng)真正的控制律，大大降低了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜程度，因此Backstepping方法被廣泛應(yīng)用于多機器人系統(tǒng)的控制過程中。文獻[12]針對雙輪驅(qū)動移動機器人，采用Backstepping思想設(shè)計了多機器人協(xié)同編隊方法。文獻[13]利用Backstepping方法，針對反饋混沌系統(tǒng)，提出了混沌同步一般控制方法。文獻[14]研究的是無狀態(tài)量測的不確定隨機反饋系統(tǒng)，結(jié)合Backstepping思想，提出了一種自適應(yīng)模糊控制方法。文獻[15]針對模型不確定性不匹配的液壓系統(tǒng)，利用Backstepping方法將擴展?fàn)顟B(tài)觀測器和非線性魯棒控制器綜合起來。文獻[16]首先對飛行器縱向模型分析,然后利用Backstepping思想設(shè)計了高超聲速飛行器的模糊自適應(yīng)控制器。

雖然機器人編隊問題研究已久，但大多數(shù)文獻都是針對機器人的線性運動特點進行研究，文獻[17]結(jié)合事件觸發(fā)策略，對一般線性多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題進行了研究。文獻[18]研究了擁有一般線性動力學(xué)的分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)編隊控制問題。文獻[19]對于具有有向交互拓?fù)涞母唠A線性群集系統(tǒng)的時變輸出編隊控制問題進行研究。Shi[20]等研究了存在時變時延和外部擾動等約束條件的高階線性群系統(tǒng)編隊控制問題。但是，現(xiàn)實世界很多智能體系統(tǒng)動力學(xué)方程并不滿足線性特點，非線性系統(tǒng)在實際應(yīng)用中占有很大比例，據(jù)我們所知，有較少文獻對非線性多智能體系統(tǒng)進行研究。因此結(jié)合上述文獻思想和控制器的設(shè)計方法，本文針對三輪機器人的非線性運動學(xué)特點，研究多智能體編隊控制問題。本文的創(chuàng)新點主要有以下兩點：1)基于機器人領(lǐng)航—跟隨模型，構(gòu)造了系統(tǒng)位姿誤差運動學(xué)方程，將非線性系統(tǒng)編隊控制問題改變成跟隨者對虛擬領(lǐng)航者運動軌跡的追蹤問題，有效地解決了基于領(lǐng)航—跟隨模型的機器人編隊存在的跟隨者對領(lǐng)航者過于依賴的問題。2)運用Backstepping思想，構(gòu)造了一個新的虛擬反饋誤差變量，并基于這個誤差變量設(shè)計了多機器人編隊控制策略，實現(xiàn)了機器人對于預(yù)定軌跡的全局漸進穩(wěn)定，降低了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜程度。

1 三輪機器人的動力學(xué)模型

在實際生活中，由于干擾等一系列因素存在，機器人的動力學(xué)模型會很復(fù)雜，為了便于后面的工作，本文做了幾個假設(shè)：1)三輪機器人底盤上的3個輪子是間隔120°均勻分布，不考慮生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的角度偏差。2)假定機器人行走的地面具有合適的摩擦力，機器人不會出現(xiàn)打滑的情況。3)由于一個機器人成品由很多復(fù)雜零件構(gòu)成，將三輪機器人視為剛體以便分析。4)三輪機器人底盤重心與幾何中心重合。

本文首先建立以底盤重心為原點的局部坐標(biāo)系，如圖1所示，以輪子A與B的角平分線建立x軸，逆時針90o建立y軸，(vxr,vyr,ωr)與(vxw,vyw,ω)分別是機器人在絕對坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系中的相關(guān)速度向量，Vv=[vAvBvC]T為3個驅(qū)動輪的線速度向量。θ=θw=θr為機器人轉(zhuǎn)動的方位角，ω是三輪機器人的角速度，d是機器人底盤中心到輪中心的距離。

圖1 三輪機器人數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖1可得機器人動力學(xué)模型方程為

(1)

并且(vxr,vyr,ωr)滿足式(2)

(2)

(3)

由圖1，可以得到機器人3個輪子的速度變化公式為

(4)

(5)

(6)

2 機器人的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨模型

基于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨模型的機器人編隊的基本思想是在全部機器人中選擇一個領(lǐng)航者，帶領(lǐng)所有成員運動，其余機器人作為跟隨者，跟蹤領(lǐng)航者運動。領(lǐng)航者的移動軌跡是已定的，輸入控制也只與自身的信息相關(guān)。

為了解決系統(tǒng)中跟隨者對領(lǐng)航者的過度依賴問題，為每個跟隨機器人分別設(shè)置虛擬領(lǐng)航者，并假設(shè)虛擬領(lǐng)航者的速度以及角速度始終與領(lǐng)航者保持一致。我們可以通過調(diào)整虛擬領(lǐng)航者與領(lǐng)航者之間的距離、角度來構(gòu)造多智能體系統(tǒng)的編隊隊形，然后讓跟隨者按照設(shè)計的控制策略跟蹤虛擬領(lǐng)航者的運動軌跡，實現(xiàn)編隊目標(biāo)。通過這種方法，本文將編隊問題轉(zhuǎn)變成跟隨機器人對虛擬領(lǐng)航者的追蹤問題。

圖2 基于領(lǐng)航—跟隨模式的三角形編隊結(jié)構(gòu)

由Rr的位姿可以得到Rv位姿為

(7)

根據(jù)圖2，得到跟隨機器人R2對于虛擬領(lǐng)航者Rv的跟蹤誤差為

(8)

其中,ex，ey表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的x軸、y軸方向上的誤差，eθ表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的角度誤差。

(9)

3 基于Backstepping控制器設(shè)計

定理1針對機器人動力學(xué)模型(1)，如果控制輸入ω,v滿足式(10)

(10)

其中,k1>0，k2>0，那么三輪機器人系統(tǒng)可以實現(xiàn)編隊控制。

(11)

當(dāng)eθ→0時，設(shè)計部分李亞普諾夫函數(shù)為

(12)

(13)

(14)

對式(14)求導(dǎo)得：

(15)

(16)

將式(11)、(16)代入式(15)得：

(17)

然后再將式(9)代入式(17)可得：

(18)

結(jié)合式(9)、(10)，對ω求導(dǎo)得：

(19)

代入式(18)，得：

(20)

將式(20)進行整理，得：

(21)

4 實驗驗證

在編隊開始前，首先要確定的是多機器人系統(tǒng)運動所要保持的隊形。常見的編隊隊形有直線形、三角形、矩形、五邊形等。相對來說，直線形編隊比較簡單，其思想是確定好領(lǐng)航機器人運動軌跡，其它跟隨機器人只需按照固定的距離跟蹤即可。對于三角形、矩形、五邊形編隊隊形稍微復(fù)雜一些，設(shè)計過程中，不僅需要控制好與領(lǐng)航機器人之間的距離，還要控制好兩者之間的角度問題，來保證有規(guī)則的編隊隊形。

本文基于領(lǐng)航—跟隨的方法對理論結(jié)果進行驗證，分別對多機器人系統(tǒng)的矩形編隊、三角形編隊、五邊形編隊進行仿真。

4.1 參數(shù)設(shè)置

在進行所有編隊時，均設(shè)定k1=1.5，k2=2，領(lǐng)航機器人的初始位姿L0=[2,0,π/3]；領(lǐng)航者速度Lv=4，角速度Lω=2。

4.2 編隊仿真

基于上述參數(shù)設(shè)置，對系統(tǒng)進行仿真，得到的實驗結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 機器人保持三角形編隊相關(guān)結(jié)果圖

圖4 機器人保持正五邊形編隊相關(guān)圖

圖5 機器人保持長方形編隊相關(guān)圖

圖3a領(lǐng)航機器人沿直線運動，5個跟隨者機器人與領(lǐng)航機器人要進行三角隊形編隊。其中“*”表示領(lǐng)航機器人，“o”代表跟隨機器人。圖中給出了時間在1 s、14 s時各機器人編隊情況。由圖3a可以看出，在剛開始一段時間內(nèi)跟隨機器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機器人，系統(tǒng)沒有達到穩(wěn)定，后期6個機器人維持規(guī)則的正三角隊形持續(xù)移動，說明跟隨機器人追蹤上領(lǐng)航機器人。

圖3b和3c為三角形編隊時的系統(tǒng)位置、角度誤差圖，其中藍(lán)、紅、橘黃、紫、綠線分別表示跟隨機器人1～5的位姿狀態(tài)，可以看出，在控制器的控制下，隨著時間的推移，位置以及角度的跟蹤誤差在4 s內(nèi)收斂到0，表明了系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定，證明控制器可以進行有效控制。

圖4a為4個跟隨機器人與領(lǐng)航機器人形成正五邊形編隊軌跡效果圖，與圖3a類似，開始的一段時間，機器人并未保持規(guī)則五邊形運動，后期，跟隨機器人追蹤上領(lǐng)航機器人，保持規(guī)則正五邊形運動。

圖4b和4c是進行正五邊形編隊的誤差系統(tǒng)示例圖，由圖可以看出智能體大約在3 s時，跟隨者與虛擬領(lǐng)航者在x軸、y軸方向上的位置誤差，以及角度誤差便趨于0，達到控制器設(shè)計目標(biāo)。

圖5a為跟隨者機器人與領(lǐng)航機器人運動形成的矩形編隊隊形，由圖5a可以看出，在1 s時跟隨機器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機器人，各機器人沒有保持矩形軌跡運動，但是軌跡在逐漸趨于規(guī)則，14 s時，各跟隨機器人已經(jīng)追蹤上領(lǐng)航機器人并保持編隊隊形持續(xù)運動。

圖5b和5c為矩形編隊時，跟隨機器人與各自領(lǐng)航機器人的誤差圖，根據(jù)圖示，與圖4b和4c類似,智能體大約在3 s時,誤差系統(tǒng)就已經(jīng)為0，說明此時跟隨機器人與領(lǐng)航機器人已經(jīng)保持編隊隊形運動。

5 結(jié)語

本文基于Backstepping方法對三輪機器人編隊控制問題進行研究，提出了新的機器人編隊控制策略。通過仿真實驗可知在控制器的作用下，機器人逐漸形成三角形、矩形、正五邊形編隊，并以很小的誤差保持隊形持續(xù)運動。下一步工作將對具有外部干擾、通信時延等影響的三輪機器人編隊控制問題進行研究。