于美妍,楊洪勇,孫玉嬌
(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,山東 煙臺 264025)
多機器人在實際應(yīng)用中發(fā)揮著越來越重要的作用,多機器人編隊控制問題日漸成為學(xué)術(shù)界的研究熱點。但由于機器人構(gòu)造復(fù)雜,多機器人系統(tǒng)涉及的技術(shù)很多,人們比較常用的研究方法是把通信的多個智能體構(gòu)成的計算系統(tǒng)即多智能體系統(tǒng)視為一個分布式網(wǎng)絡(luò),研究多智能體系統(tǒng)的分布式合作。文獻[6]中針對具有干擾的多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問題,提出了帶有不匹配干擾和參數(shù)不確定的一致性控制算法。文獻[7]研究了一類拓?fù)錇檠h(huán)圖的多智能體系統(tǒng)在圓上運動的編隊控制問題。文獻[8]研究了具有比例加微分控制器的連續(xù)一階多時滯多智能體系統(tǒng)的一致性問題。文獻[9]研究了具有事件觸發(fā)控制策略的二階積分器多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題。文獻[10]和[11]研究了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。
在研究多智能體編隊控制問題時,機器人的非線性系統(tǒng)往往比較復(fù)雜,直接得出整個系統(tǒng)的控制器存在一定的困難,而Backstepping方法是把系統(tǒng)進行分解,分別對每個子系統(tǒng)引入虛擬控制量,設(shè)計Lyapunov函數(shù)得到子系統(tǒng)的虛擬控制器,逐步反推得出系統(tǒng)真正的控制律,大大降低了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜程度,因此Backstepping方法被廣泛應(yīng)用于多機器人系統(tǒng)的控制過程中。文獻[12]針對雙輪驅(qū)動移動機器人,采用Backstepping思想設(shè)計了多機器人協(xié)同編隊方法。文獻[13]利用Backstepping方法,針對反饋混沌系統(tǒng),提出了混沌同步一般控制方法。文獻[14]研究的是無狀態(tài)量測的不確定隨機反饋系統(tǒng),結(jié)合Backstepping思想,提出了一種自適應(yīng)模糊控制方法。文獻[15]針對模型不確定性不匹配的液壓系統(tǒng),利用Backstepping方法將擴展?fàn)顟B(tài)觀測器和非線性魯棒控制器綜合起來。文獻[16]首先對飛行器縱向模型分析,然后利用Backstepping思想設(shè)計了高超聲速飛行器的模糊自適應(yīng)控制器。
雖然機器人編隊問題研究已久,但大多數(shù)文獻都是針對機器人的線性運動特點進行研究,文獻[17]結(jié)合事件觸發(fā)策略,對一般線性多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題進行了研究。文獻[18]研究了擁有一般線性動力學(xué)的分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)編隊控制問題。文獻[19]對于具有有向交互拓?fù)涞母唠A線性群集系統(tǒng)的時變輸出編隊控制問題進行研究。Shi[20]等研究了存在時變時延和外部擾動等約束條件的高階線性群系統(tǒng)編隊控制問題。但是,現(xiàn)實世界很多智能體系統(tǒng)動力學(xué)方程并不滿足線性特點,非線性系統(tǒng)在實際應(yīng)用中占有很大比例,據(jù)我們所知,有較少文獻對非線性多智能體系統(tǒng)進行研究。因此結(jié)合上述文獻思想和控制器的設(shè)計方法,本文針對三輪機器人的非線性運動學(xué)特點,研究多智能體編隊控制問題。本文的創(chuàng)新點主要有以下兩點:1)基于機器人領(lǐng)航—跟隨模型,構(gòu)造了系統(tǒng)位姿誤差運動學(xué)方程,將非線性系統(tǒng)編隊控制問題改變成跟隨者對虛擬領(lǐng)航者運動軌跡的追蹤問題,有效地解決了基于領(lǐng)航—跟隨模型的機器人編隊存在的跟隨者對領(lǐng)航者過于依賴的問題。2)運用Backstepping思想,構(gòu)造了一個新的虛擬反饋誤差變量,并基于這個誤差變量設(shè)計了多機器人編隊控制策略,實現(xiàn)了機器人對于預(yù)定軌跡的全局漸進穩(wěn)定,降低了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜程度。
在實際生活中,由于干擾等一系列因素存在,機器人的動力學(xué)模型會很復(fù)雜,為了便于后面的工作,本文做了幾個假設(shè):1)三輪機器人底盤上的3個輪子是間隔120°均勻分布,不考慮生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的角度偏差。2)假定機器人行走的地面具有合適的摩擦力,機器人不會出現(xiàn)打滑的情況。3)由于一個機器人成品由很多復(fù)雜零件構(gòu)成,將三輪機器人視為剛體以便分析。4)三輪機器人底盤重心與幾何中心重合。
本文首先建立以底盤重心為原點的局部坐標(biāo)系,如圖1所示,以輪子A與B的角平分線建立x軸,逆時針90o建立y軸,(vxr,vyr,ωr)與(vxw,vyw,ω)分別是機器人在絕對坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系中的相關(guān)速度向量,Vv=[vAvBvC]T為3個驅(qū)動輪的線速度向量。θ=θw=θr為機器人轉(zhuǎn)動的方位角,ω是三輪機器人的角速度,d是機器人底盤中心到輪中心的距離。
圖1 三輪機器人數(shù)學(xué)模型
根據(jù)圖1可得機器人動力學(xué)模型方程為
(1)
并且(vxr,vyr,ωr)滿足式(2)
(2)
(3)
由圖1,可以得到機器人3個輪子的速度變化公式為
(4)
(5)
(6)
基于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨模型的機器人編隊的基本思想是在全部機器人中選擇一個領(lǐng)航者,帶領(lǐng)所有成員運動,其余機器人作為跟隨者,跟蹤領(lǐng)航者運動。領(lǐng)航者的移動軌跡是已定的,輸入控制也只與自身的信息相關(guān)。
為了解決系統(tǒng)中跟隨者對領(lǐng)航者的過度依賴問題,為每個跟隨機器人分別設(shè)置虛擬領(lǐng)航者,并假設(shè)虛擬領(lǐng)航者的速度以及角速度始終與領(lǐng)航者保持一致。我們可以通過調(diào)整虛擬領(lǐng)航者與領(lǐng)航者之間的距離、角度來構(gòu)造多智能體系統(tǒng)的編隊隊形,然后讓跟隨者按照設(shè)計的控制策略跟蹤虛擬領(lǐng)航者的運動軌跡,實現(xiàn)編隊目標(biāo)。通過這種方法,本文將編隊問題轉(zhuǎn)變成跟隨機器人對虛擬領(lǐng)航者的追蹤問題。
圖2 基于領(lǐng)航—跟隨模式的三角形編隊結(jié)構(gòu)
由Rr的位姿可以得到Rv位姿為
(7)
根據(jù)圖2,得到跟隨機器人R2對于虛擬領(lǐng)航者Rv的跟蹤誤差為
(8)
其中,ex,ey表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的x軸、y軸方向上的誤差,eθ表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的角度誤差。
(9)
定理1針對機器人動力學(xué)模型(1),如果控制輸入ω,v滿足式(10)
(10)
其中,k1>0,k2>0,那么三輪機器人系統(tǒng)可以實現(xiàn)編隊控制。
(11)
當(dāng)eθ→0時,設(shè)計部分李亞普諾夫函數(shù)為
(12)
(13)
(14)
對式(14)求導(dǎo)得:
(15)
(16)
將式(11)、(16)代入式(15)得:
(17)
然后再將式(9)代入式(17)可得:
(18)
結(jié)合式(9)、(10),對ω求導(dǎo)得:
(19)
代入式(18),得:
(20)
將式(20)進行整理,得:
(21)
在編隊開始前,首先要確定的是多機器人系統(tǒng)運動所要保持的隊形。常見的編隊隊形有直線形、三角形、矩形、五邊形等。相對來說,直線形編隊比較簡單,其思想是確定好領(lǐng)航機器人運動軌跡,其它跟隨機器人只需按照固定的距離跟蹤即可。對于三角形、矩形、五邊形編隊隊形稍微復(fù)雜一些,設(shè)計過程中,不僅需要控制好與領(lǐng)航機器人之間的距離,還要控制好兩者之間的角度問題,來保證有規(guī)則的編隊隊形。
本文基于領(lǐng)航—跟隨的方法對理論結(jié)果進行驗證,分別對多機器人系統(tǒng)的矩形編隊、三角形編隊、五邊形編隊進行仿真。
在進行所有編隊時,均設(shè)定k1=1.5,k2=2,領(lǐng)航機器人的初始位姿L0=[2,0,π/3];領(lǐng)航者速度Lv=4,角速度Lω=2。
基于上述參數(shù)設(shè)置,對系統(tǒng)進行仿真,得到的實驗結(jié)果如圖3~圖5所示。
圖3 機器人保持三角形編隊相關(guān)結(jié)果圖
圖4 機器人保持正五邊形編隊相關(guān)圖
圖5 機器人保持長方形編隊相關(guān)圖
圖3a領(lǐng)航機器人沿直線運動,5個跟隨者機器人與領(lǐng)航機器人要進行三角隊形編隊。其中“*”表示領(lǐng)航機器人,“o”代表跟隨機器人。圖中給出了時間在1 s、14 s時各機器人編隊情況。由圖3a可以看出,在剛開始一段時間內(nèi)跟隨機器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機器人,系統(tǒng)沒有達到穩(wěn)定,后期6個機器人維持規(guī)則的正三角隊形持續(xù)移動,說明跟隨機器人追蹤上領(lǐng)航機器人。
圖3b和3c為三角形編隊時的系統(tǒng)位置、角度誤差圖,其中藍(lán)、紅、橘黃、紫、綠線分別表示跟隨機器人1~5的位姿狀態(tài),可以看出,在控制器的控制下,隨著時間的推移,位置以及角度的跟蹤誤差在4 s內(nèi)收斂到0,表明了系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定,證明控制器可以進行有效控制。
圖4a為4個跟隨機器人與領(lǐng)航機器人形成正五邊形編隊軌跡效果圖,與圖3a類似,開始的一段時間,機器人并未保持規(guī)則五邊形運動,后期,跟隨機器人追蹤上領(lǐng)航機器人,保持規(guī)則正五邊形運動。
圖4b和4c是進行正五邊形編隊的誤差系統(tǒng)示例圖,由圖可以看出智能體大約在3 s時,跟隨者與虛擬領(lǐng)航者在x軸、y軸方向上的位置誤差,以及角度誤差便趨于0,達到控制器設(shè)計目標(biāo)。
圖5a為跟隨者機器人與領(lǐng)航機器人運動形成的矩形編隊隊形,由圖5a可以看出,在1 s時跟隨機器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機器人,各機器人沒有保持矩形軌跡運動,但是軌跡在逐漸趨于規(guī)則,14 s時,各跟隨機器人已經(jīng)追蹤上領(lǐng)航機器人并保持編隊隊形持續(xù)運動。
圖5b和5c為矩形編隊時,跟隨機器人與各自領(lǐng)航機器人的誤差圖,根據(jù)圖示,與圖4b和4c類似,智能體大約在3 s時,誤差系統(tǒng)就已經(jīng)為0,說明此時跟隨機器人與領(lǐng)航機器人已經(jīng)保持編隊隊形運動。
本文基于Backstepping方法對三輪機器人編隊控制問題進行研究,提出了新的機器人編隊控制策略。通過仿真實驗可知在控制器的作用下,機器人逐漸形成三角形、矩形、正五邊形編隊,并以很小的誤差保持隊形持續(xù)運動。下一步工作將對具有外部干擾、通信時延等影響的三輪機器人編隊控制問題進行研究。