白噪聲作用下欠阻尼隨機(jī)雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振

朱福成,郭 鋒

(1.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川 綿陽 621000;2.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院,四川 綿陽 621000)

0 引言

隨機(jī)共振是一種出現(xiàn)在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象，即在弱周期力的作用下，由噪聲誘導(dǎo)的系統(tǒng)勢(shì)井間的跳躍同步行為[1]。對(duì)于隨機(jī)非線性系統(tǒng)而言，這種同步依賴于噪聲和周期外力間的協(xié)同作用。因此，系統(tǒng)非線性、驅(qū)動(dòng)力的周期性、噪聲3個(gè)因素是非線性系統(tǒng)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象的必要條件。阻尼指由于外部作用或系統(tǒng)內(nèi)在原因而使振動(dòng)系統(tǒng)振幅逐漸減小的物理現(xiàn)象。對(duì)于足夠大的阻尼力，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)；否則，系統(tǒng)處于臨界阻尼或欠阻尼狀態(tài)。對(duì)于過阻尼條件下的動(dòng)力系統(tǒng)，其慣性項(xiàng)可以忽略。但是，對(duì)于中、小阻尼系統(tǒng)，由于慣性效應(yīng)不可忽略而應(yīng)建立相應(yīng)的欠阻尼模型。自隨機(jī)共振現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以來，過阻尼非線性系統(tǒng)中的隨機(jī)共振受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[2]分析了過阻尼分?jǐn)?shù)階Langevin方程產(chǎn)生隨機(jī)共振的內(nèi)在機(jī)理。文獻(xiàn)[3]研究了過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)在α噪聲作用下出現(xiàn)隨機(jī)共振的不同特征。文獻(xiàn)[4]利用過阻尼Langevin方程來描述企業(yè)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為，認(rèn)為內(nèi)外部資本環(huán)境的隨機(jī)波動(dòng)產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)意義上的最大隨機(jī)激勵(lì)效應(yīng)。文獻(xiàn)[5]～[7]研究發(fā)現(xiàn)過阻尼生物模型中也會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]～[10]將過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振用于故障診斷和微弱信號(hào)檢測(cè)中。同時(shí)，欠阻尼動(dòng)力系統(tǒng)中的隨機(jī)共振也得到了深入研究。文獻(xiàn)[11]研究了二階欠阻尼線性諧振子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，給出了由質(zhì)量及頻率漲落噪聲誘導(dǎo)而出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象的充分必要條件。文獻(xiàn)[12]討論了欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)中噪聲強(qiáng)度、強(qiáng)迫頻率對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[13]研究表明，增加雙值噪聲非對(duì)稱參數(shù)和阻尼參數(shù)可以抑制欠阻尼系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[14]分析了泊松白噪聲作用下耦合欠阻尼雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)共振行為。文獻(xiàn)[15]研究發(fā)現(xiàn)，欠阻尼系統(tǒng)輸出在一二次諧波處的信噪比隨著噪聲強(qiáng)度的增加呈現(xiàn)出先最小后最大的變化規(guī)律。文獻(xiàn)[16]發(fā)現(xiàn)欠阻尼三阱勢(shì)系統(tǒng)存在兩個(gè)臨界阻尼值，分別會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)共振的出現(xiàn)和消失。

上述文獻(xiàn)均基于系統(tǒng)具有確定性勢(shì)能函數(shù)的情形；在某些情況下，環(huán)境的擾動(dòng)會(huì)干擾系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)，從而勢(shì)能函數(shù)應(yīng)該按隨機(jī)勢(shì)能建模。文獻(xiàn)[17]分析了受位置隨機(jī)擾動(dòng)的過阻尼布朗粒子在周期勢(shì)中的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)隨著隨機(jī)勢(shì)幅度的增加，概率流的最大值減小。文獻(xiàn)[18]研究發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)勢(shì)對(duì)輸運(yùn)過程的影響隨隨機(jī)勢(shì)振幅和隨機(jī)勢(shì)相關(guān)長度的增大而增大。文獻(xiàn)[19]研究發(fā)現(xiàn)，隨著雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨機(jī)勢(shì)強(qiáng)度的增加，信噪比存在多個(gè)峰值到?jīng)]有峰值的轉(zhuǎn)變。文獻(xiàn)[20]、[21]研究表明，在隨機(jī)雙穩(wěn)系統(tǒng)的信噪比與噪聲強(qiáng)度、靜態(tài)力的關(guān)系曲線上出現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[22]在具有波動(dòng)勢(shì)壘的蛋白質(zhì)—馬達(dá)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的隨機(jī)共振行為。

1 隨機(jī)雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比

考慮二階隨機(jī)系統(tǒng)(1)

(1)

〈η(t)〉=0,〈η(t1)η(t2)〉=2Dδ(t1-t2)。

(2)

勢(shì)能函數(shù)為

(3)

其中，U0(x)為確定性勢(shì)能部分,ξ(x)為小的態(tài)變量擾動(dòng)，即勢(shì)能U(x)的隨機(jī)部分,其取值為±Δ,沿一維空間隨機(jī)跳躍。ξ(x)可以用一個(gè)隨機(jī)函數(shù)n(x2,x1)表示,它表示在x=x1和x=x2坐標(biāo)范圍內(nèi)在+Δ和-Δ兩個(gè)數(shù)值間跳躍的次數(shù)。n(x,0)服從Poisson分布。

(4)

(5)

其中，L是相關(guān)長度。ξ(x)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為

(6)

對(duì)于單一雙值勢(shì)能，有：

(7)

(8)

(9)

(10)

隨機(jī)勢(shì)ξi(x)的統(tǒng)計(jì)特性為

(11)

(12)

(13)

在極限N→∞下,有：

(14)

容易看出，單一雙值勢(shì)能的統(tǒng)計(jì)特性與Ornstein-Uhlenbeck勢(shì)能類似，本文僅考慮Ornstein-Uhlenbeck勢(shì)能。

(15)

(16)

由方程(16),系統(tǒng)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)概率密度可以表示為

(17)

(18)

設(shè)系統(tǒng)滿足絕熱近似條件[1],即驅(qū)動(dòng)周期力的頻率Ω低于系統(tǒng)在某個(gè)勢(shì)井內(nèi)的弛豫速率,則系統(tǒng)有足夠時(shí)間在一個(gè)周期T=2π/Ω的時(shí)間內(nèi)達(dá)到局域平衡。由式(16),絕熱近似條件下系統(tǒng)在兩穩(wěn)態(tài)E±間的轉(zhuǎn)移率可以表示為

(19)

W±(t)=f(α+βcos(Ωt))

(20)

可展開為

(21)

其中，

(22)

W0是系統(tǒng)(1)僅受噪聲作用時(shí)的Kramers速率。

(23)

(24)

對(duì)系統(tǒng)輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到的系統(tǒng)輸出功率譜可以表示為

S(ω)=S1(ω)δ(ω-Ω)+S2(ω)

(25)

其中等式右端兩項(xiàng)分別為信號(hào)和噪聲的功率譜，系統(tǒng)輸出信噪比(SNR)定義為信號(hào)功率與信號(hào)頻率處噪聲功率的比值，可以表示為

(26)

(27)

在本文后續(xù)的討論中，參數(shù)設(shè)置滿足該條件。

2 討論

當(dāng)阻尼比較小時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。而當(dāng)隨機(jī)擾動(dòng)作用在系統(tǒng)態(tài)變量時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)變成隨機(jī)函數(shù)。本文分析白噪聲作用下欠阻尼隨機(jī)雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象，基于Fokker-Planck方程,我們推導(dǎo)出穩(wěn)態(tài)概率密度的表達(dá)式。利用兩態(tài)理論，求得系統(tǒng)輸出信噪比SNR的解析表達(dá)式。下面，基于式(26)來分析SNR與系統(tǒng)參數(shù)、噪聲參數(shù)及隨機(jī)勢(shì)能參數(shù)的依賴關(guān)系。

由圖1～圖4可見,在信噪比SNR與阻尼系數(shù)γ的關(guān)系曲線上出現(xiàn)了一個(gè)共振峰，即廣義的隨機(jī)共振現(xiàn)象。有必要指出，SNR與阻尼系數(shù)間的單峰現(xiàn)象是一個(gè)新的結(jié)果，在文獻(xiàn)[19]～[23]的欠阻尼系統(tǒng)中沒有研究過。同時(shí)，該非單調(diào)現(xiàn)象與欠阻尼線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的現(xiàn)象顯然不同。對(duì)欠阻尼線性系統(tǒng)而言，系統(tǒng)輸出信號(hào)隨阻尼的增大而單調(diào)減小。該現(xiàn)象可以解釋為系統(tǒng)與噪聲間的非線性作用導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)移率W±與阻尼系數(shù)有關(guān)，從而可能在某個(gè)阻尼系數(shù)時(shí)，輸出信號(hào)達(dá)到最大。由圖1容易發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)參數(shù)a的增大,SNR向小的γ值方向移動(dòng)，故對(duì)于較小的γ值,應(yīng)該參數(shù)a選擇大的值以提升系統(tǒng)輸出信號(hào)。同時(shí)，比較圖1與圖2可見,系統(tǒng)參數(shù)b對(duì)SNR的影響與參數(shù)a對(duì)其影響不同。隨著參數(shù)b增大,共振峰向大的γ值方向移動(dòng),故對(duì)于大的參數(shù)b,較大的阻尼系數(shù)γ可以提升系統(tǒng)輸出性能。圖3表明，對(duì)于較大的噪聲強(qiáng)度D,相對(duì)較大的γ值可以提高系統(tǒng)輸出性能。隨著隨機(jī)勢(shì)幅度Δ的增大，SNR的峰值高度單調(diào)增大，如圖4所示。

參數(shù)b=1,Δ=0.2,D=0.1,L=10,A=0.2,Ω=0.1圖1 系統(tǒng)參數(shù)a取不同值時(shí)信噪比SNR與阻尼系數(shù)γ的關(guān)系曲線

參數(shù)a=1,Δ=0.2,D=0.1,L=10,A=0.2,Ω=0.1圖2 系統(tǒng)參數(shù)b取不同值時(shí)信噪比SNR與阻尼系數(shù)γ的關(guān)系曲線

參數(shù)a=1,b=1,Δ=0.2,L=10,A=0.2,Ω=0.1圖3 噪聲強(qiáng)度D取不同值時(shí)，信噪比SNR與阻尼系數(shù)γ的關(guān)系曲線

參數(shù)a=1,b=1,D=0.1,L=10,A=0.2,Ω=0.1圖4 隨機(jī)勢(shì)能的幅度Δ取不同值時(shí)，信噪比SNR與阻尼系數(shù)γ的關(guān)系曲線

參數(shù)γ=0.1,a=1,b=0.1,L=10,A=0.1,Ω=0.1圖5 隨機(jī)勢(shì)能的幅度Δ取不同值時(shí)，信噪比SNR與噪聲強(qiáng)度D的關(guān)系曲線

參數(shù)a=1,b=0.1,Δ=0.2,L=10,A=0.05,Ω=0.1圖6 阻尼系數(shù)γ取不同值時(shí)，信噪比SNR與噪聲強(qiáng)度D的關(guān)系曲線

參數(shù)γ=0.1,a=1,b=0.1,Δ=0.2,A=0.05,Ω=0.1圖7 隨機(jī)勢(shì)能的相關(guān)長度L取不同值時(shí)，信噪比SNR與噪聲強(qiáng)度D的關(guān)系曲線

參數(shù)b=1,Δ=0.1,D=0.3,L=10,A=0.05,Ω=0.1圖8 阻尼系數(shù)γ取不同值時(shí)，信噪比SNR與系統(tǒng)參數(shù)a的關(guān)系曲線

參數(shù)γ=0.1,a=2,D=0.08,L=10,A=0.1,Ω=0.1圖9 隨機(jī)勢(shì)能的幅度Δ取不同值時(shí)，信噪比SNR與系統(tǒng)參數(shù)b的關(guān)系曲線

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，我們對(duì)采用四階龍格—庫塔法對(duì)方程(1)進(jìn)行了數(shù)值積分,計(jì)算步長為0.001。對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行快速傅里葉變換得到輸出信號(hào)的功率譜，輸出信噪比定義為信號(hào)的頻譜與信號(hào)頻率附近噪聲功率譜的比值，部分仿真結(jié)果見圖1、圖3、圖5和圖8。由這4個(gè)圖可見，本文基于絕熱近似的理論分析結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。

3 結(jié)論

本文研究了白噪聲作用下欠阻尼隨機(jī)雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象。隨機(jī)勢(shì)能用Ornstein-Uhlenbeck噪聲建模?；贠rnstein-Uhlenbeck噪聲的統(tǒng)計(jì)特性和兩態(tài)理論,推導(dǎo)出了系統(tǒng)輸出信噪比的表達(dá)式。分析結(jié)果表明，在信噪比與阻尼系數(shù)的關(guān)系曲線上出現(xiàn)了廣義的隨機(jī)共振現(xiàn)象。在信噪比隨噪聲強(qiáng)度的變化曲線上觀察到了傳統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。而且，隨著系統(tǒng)參數(shù)a和b的增大，信噪比也出現(xiàn)了共振峰。隨著隨機(jī)勢(shì)能相關(guān)長度的增大,信噪比的最大值單調(diào)減?。欢S著隨機(jī)勢(shì)能幅值的增大,信噪比的最大值單調(diào)增大。最后利用龍格—庫塔法對(duì)系統(tǒng)輸出信噪比進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明，理論結(jié)論與數(shù)值分析結(jié)果是一致的。我們認(rèn)為，本文研究的數(shù)學(xué)模型可以拓展雙穩(wěn)系統(tǒng)中隨機(jī)共振的研究范圍；本文的研究結(jié)果對(duì)于具有隨機(jī)勢(shì)能的動(dòng)力系統(tǒng)中的隨機(jī)共振分析具有一定的理論意義和參考價(jià)值。