淺談偏微分方程中的基本方法
——能量法

李 揚(yáng)，舒慕華

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

0 引言

能量法在偏微分方程中廣泛應(yīng)用于研究解的性質(zhì)，即唯一性和穩(wěn)定性.自然界的一切運(yùn)動(dòng)都遵循質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒，而能量法思想來(lái)源于物理學(xué)中的能量守恒律.利用波傳播過(guò)程中能量守恒或能量衰減關(guān)系，形成能量等式或能量不等式.偏微分方程常與物理、化學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)的很多領(lǐng)域有著廣泛的聯(lián)系，常把物理研究中出現(xiàn)的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程［1］，而數(shù)學(xué)物理方程中的三大支柱為橢圓型方程、拋物型方程和雙曲型方程.極值原理或最大模估計(jì)［2］能夠?qū)@幾類方程中一些特殊的偏微分方程進(jìn)行解的唯一性和穩(wěn)定性研究，但是對(duì)于一般形式n維線性偏微分方程或非線性偏微分方程的解的唯一性和穩(wěn)定性處理難度很高，甚至無(wú)法進(jìn)行研究，而能量法能夠很好地處理這幾類線性偏微分方程及非線性偏微分方程，具有更廣泛的適用性.

曹洪鋒［3］等利用傅里葉變換和分離變量法研究熱傳導(dǎo)方程的能量估計(jì)及其應(yīng)用，其主要是針對(duì)一維熱傳導(dǎo)方程的能量不等式；趙天玉等［4］對(duì)n維雙曲型方程解的能量估計(jì)和解的性質(zhì)進(jìn)行研究；王云波［5］基于線性方程解的衰減估計(jì)和能量估計(jì)對(duì)一類高階半線性拋物線方程初值問(wèn)題進(jìn)行研究；胡文燕［6］對(duì)一類橢圓方程的邊值問(wèn)題進(jìn)行討論并對(duì)其解唯一性和穩(wěn)定性進(jìn)行能量估計(jì)；隨后，杜保營(yíng)［7］探討能量估計(jì)在一般形式二階n維雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程（初）邊值問(wèn)題的一些應(yīng)用，主要研究能量積分在幾類線性偏微分方程解的應(yīng)用.

本文對(duì)經(jīng)典的線性橢圓、拋物和雙曲方程給出能量不等式，并據(jù)此分析解對(duì)初始數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性.針對(duì)一類特殊的非線性偏微分方程組，即一維可壓縮Navier-Stokes 方程［8］，采用能量估計(jì)的辦法對(duì)定解問(wèn)題的穩(wěn)定性進(jìn)行討論.本文旨在揭示能量法在偏微分方程研究中廣泛的適用性.此外，能量方法在求解流體力學(xué)中非線性偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，也有諸多重要應(yīng)用［9-12］.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［2］定解條件和定解問(wèn)題.方程的解必須要滿足事先給定的條件叫定解條件，包括初值條件和邊值條件，一個(gè)方程配備上定解條件就構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題.

定義2［2］定解問(wèn)題的穩(wěn)定性.在連續(xù)函數(shù)空間的范數(shù)意義下，若定解問(wèn)題的初始數(shù)據(jù)或邊界數(shù)據(jù)有微小變動(dòng)時(shí)，其相應(yīng)的解的變化也很微小，則稱該定解問(wèn)題的解是穩(wěn)定的.若設(shè)賦范線性空間為Ω，范數(shù)用‖·‖Ω表示，u1和u2分別對(duì)應(yīng)于定解數(shù)據(jù)為φ1和φ2的同一個(gè)定解問(wèn)題的解，則解的穩(wěn)定性可表達(dá)為：

任給ε ＞0，存在δ ＞0，使得只要，就有

特別地，當(dāng)p=q=2 時(shí)，有

稱為帶ε的Cauchy不等式.

定理2［14］Poincare不等式.設(shè)1＜p ＜+∞，Ω為Rn中的有界區(qū)域，u為在?Ω取值為零的光滑函數(shù)，則成立不等式：

定理3［2］散度定理.設(shè)Ω是n維空間中由光滑的曲面Γ所圍成的有界連通區(qū)域，n是?Ω的單位外法向.任取光滑子域G?Ω，對(duì)任一個(gè)光滑向量場(chǎng)，則有Gauss公式.又叫散度定理為：

定理4［2］Green 第一公式.設(shè)Ω?Rn是邊界光滑的有界區(qū)域，n是?Ω的單位外法向.若，在式（3）中取w為uDv，則得到Green第一公式為：

定理5［13］Schwarz不等式.設(shè)f(x)，g(x)在Ω上平方可積，則有：

定理6［15］Gronwall 不等式（微分形式）.設(shè)η(t)是在[0,T]上一個(gè)非負(fù)絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)，對(duì)任意的t滿足微分不等式≤φ(t)η(t)+ψ(t)，其中φ(t)和ψ(t)是[0,T]上的非負(fù)可積函數(shù)，那么不等式

為Gronwall不等式，其對(duì)所有的0 ≤t≤T成立.

定理7［2］疊加原理.設(shè)L為線性偏微分算子，且ui滿足線性方程Lui=fi，i=1,2,…,m，其中m為有限數(shù)或+∞，則它們的線性組合必滿足方程.當(dāng)出現(xiàn)無(wú)窮求和時(shí)，則要求級(jí)數(shù)收斂且滿足L中出現(xiàn)的求偏微商和可交換次序的條件.

2 能量方法在研究線性偏微分方程穩(wěn)定性中的作用

2.1 對(duì)Poisson方程應(yīng)用能量方法

設(shè)Ω?Rn(n≥2)是有界開(kāi)集，?Ω∈C1.考慮Possion方程的Dirichlet問(wèn)題

2.2 對(duì)熱傳導(dǎo)方程應(yīng)用能量方法

考慮熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題［16］：

其中：a ＞0,b ＞0,d ＞0,T ＞0 且t∈[0,T]，Ω是Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域，f(x,t)，φ(x)為適當(dāng)光滑的函數(shù).證明該問(wèn)題的解在平方模意義下，關(guān)于外力項(xiàng)f(x,t)和初始值φ(x)是穩(wěn)定的.

證明將式（9）第1個(gè)方程兩邊同乘以u(píng)，并在Ω×(0,t)上積分得：

對(duì)方程左端利用Green第一公式（4），右邊用Schwarz不等式（5）可得：

對(duì)上式應(yīng)用Gronwall不等式（6）可得：

其中t∈[0,T]，于是得到熱傳導(dǎo)方程的能量估計(jì)：

其中c僅與T有關(guān).

2.3 對(duì)波動(dòng)方程應(yīng)用能量方法

考慮波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題：

設(shè)Ω是Rn中有光滑邊界的有界區(qū)域，f(x,t)，φ(x) 和ψ(x) 為適當(dāng)光滑的函數(shù)，其中T ＞0 且t∈[0,T].證明該問(wèn)題的解在平方模意義下，關(guān)于外力項(xiàng)f(x,t)和初始值φ(x)、ψ(x)是穩(wěn)定的.

證明將式（12）第1個(gè)方程兩邊同乘以u(píng)t，并在Ω上積分得：，即可得：

對(duì)積分等式（13）的左端應(yīng)用散度定理和邊界條件u|?Ω=0,x∈?Ω，右端應(yīng)用Schwarz不等式（5）得：

其中t∈[0,T]，c僅與T有關(guān).

設(shè)u1(x,t)，u2(x,t)為問(wèn)題（12）分別對(duì)應(yīng)于φ1(x,t)、ψ1(x,t)、f1(x,t)和φ2(x,t)、ψ2(x,t)、f2(x,t)的解，令

由疊加原理可得：

對(duì)上面的初邊值問(wèn)題應(yīng)用能量估計(jì)式（14）可得：

對(duì)一切t∈[0,T]都成立，即證得齊次波動(dòng)方程的解對(duì)外力項(xiàng)f(x,t)和初始值φ(x)、ψ(x)在平方模意義下的穩(wěn)定性.

3 能量方法在求解非線性偏微分方程穩(wěn)定性中的應(yīng)用

3.1 對(duì)一維可壓縮Navier-Stokes方程組應(yīng)用能量方法

在[0,1]×[0,T]上考慮一維可壓縮Navier-Stokes方程組的初邊值問(wèn)題：

其中：x∈[0,1]，t∈[0,T].證明該問(wèn)題的解在平方模意義下對(duì)初始值具有連續(xù)依賴性，即是穩(wěn)定的.

證明首先，由式（15）的第1 個(gè)方程可以將第2 個(gè)方程改寫(xiě)為：ρ(ut+u·ux)+(ργ)x=μ·uxx.假設(shè)(ρ0,1,u0,1) 和(ρ0,2,u0,2)為問(wèn)題（15）的兩個(gè)光滑初始值，且0 ＜m≤ρ0,1,ρ0,2≤M＜∞.

由流體力學(xué)中的經(jīng)典結(jié)果知對(duì)應(yīng)地存在2 個(gè)光滑解，分別為(ρ1,u1) 和(ρ2,u2)，且0＜m1≤ρ1,ρ2≤M1＜∞.

于是可得：

將式（16）中的兩個(gè)方程作差可得：(ρ1-ρ2)t+[ρ1(u1-u2)+u2(ρ1-ρ2)]x=0.兩邊同乘以(ρ1-ρ2)，并在(0,1) 上積分可得：

接下來(lái)，將式（18）右端4項(xiàng)逐一進(jìn)行估計(jì)，下文中所有的Lp均表示Lp((0,1))，其中1 ≤p≤∞.

由式（18）右端第1項(xiàng)有：

由Poincare不等式（2）得：

由式（18）右端第2項(xiàng)有：

由式（18）右端第3項(xiàng)有：

由式（18）右端第4項(xiàng)有：

綜上可得：

將式（17）中的2個(gè)方程作差可得：

對(duì)上式兩邊同乘以(u1-u2)，并在(0,1) 上積分可得：

對(duì)式（20）左端6項(xiàng)逐一進(jìn)行估計(jì).

由式（20）左端第1項(xiàng)注意到：

于是有：

對(duì)上式右端第2項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)有：

由式（20）左端第2項(xiàng)有：

由式（20）左端第3項(xiàng)有：

由式（20）左端第4項(xiàng)有：

由式（20）左端第5項(xiàng)有：

由式（20）左端第6項(xiàng)有：

由式（20）右端進(jìn)行估計(jì)可得：

綜上分析可得：

式（19）和式（21）相加，并取ε充分小，可得：

對(duì)上式應(yīng)用Gronwall不等式可得：

由上式即可證得一維可壓縮Navier-Stokes方程組初邊值問(wèn)題的解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，即穩(wěn)定性.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)線性偏微分方程和非線性偏微分方程做出能量估計(jì)，具體包括Poisson方程、熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程、一維可壓縮Navier-Stokes 方程組.利用能量法分析方程的解對(duì)初始數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性，由此揭示能量法在偏微分方程研究中的普適性.事實(shí)上，能量法在偏微分方程的理論研究中還有諸多重要應(yīng)用，尤其是在非線性偏微分方程解的存在性和解的最優(yōu)衰減估計(jì).