高速轉子—支承結構系統(tǒng)動力學的縮尺相似設計方法研究

王立 梁昊天 周標 臧朝平

高速轉子—支承結構系統(tǒng)動力學的縮尺相似設計方法研究

王立1梁昊天2周標2臧朝平2

（1 中國航發(fā)湖南動力機械研究所，株洲 412002；2 南京航空航天大學能源與動力學院，南京 210016）

基于相似理論提出了一種高速轉子—支承結構系統(tǒng)動力學的縮尺相似設計方法。以某型渦軸發(fā)動機燃氣發(fā)生器轉子—支承系統(tǒng)總體結構為研究對象，考慮結構的動力學特性相似，建立了幾何尺寸參數、支承剛度的縮尺比例，使縮尺后的轉子—支承系統(tǒng)與全尺寸的原型相比，具有臨界轉速成比例、轉子振型保持一致的動力學特性；隨后，基于該縮尺模型，指導了供實驗室使用的航空發(fā)動機整機試驗器轉子—支承系統(tǒng)的結構設計；最后，建立了整機試驗器轉子—支承系統(tǒng)的“超模型”并進行仿真計算，結果驗證了該相似設計方法的合理性和有效性。

縮尺模型；相似理論；高速轉子—支承系統(tǒng)；轉子動力學

0 引言

轉子—支承系統(tǒng)是高速旋轉機械如航空發(fā)動機、燃氣輪機的核心部件，直接影響了設備運行的安全性和穩(wěn)定性，其動力學問題一直得到國內外學者廣泛關注。原型試驗是研究高速轉子—支承系統(tǒng)動力學特性的重要手段之一，然而，由于原型測試耗時、搭建原型試驗系統(tǒng)成本巨大，設計開發(fā)縮尺模型以代替原型的測試與仿真，仍是一種低成本、高效的設計與研究方法。

縮尺模型是指能夠模擬大尺寸原型的小尺寸樣件。高速轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺相似設計的理論依據是相似理論，相似理論是闡明自然界和工程中各種相似現象的內在機理的學說[1]，通過相似理論可推導出縮尺模型與原型相似的必要條件。Rayleigh[2]首次利用相似理論中的量綱分析法指導縮尺建模，而量綱分析法至今仍為獲得相似條件的重要方法。

相似理論在振動、沖擊等領域得到廣泛應用。Balawi[3]等人利用系統(tǒng)方程推導了低速沖擊載荷下周向固支盤的相似條件，并建立了盤的縮尺模型。Morton[4]利用量綱分析法推導了沖擊載荷下的碳纖維復合材料梁的相似條件。Luo[5]等人針對帶齒形密封環(huán)的薄壁圓柱殼體進行了動力學相似設計。Torkamani[6]基于相似理論推導了正交加強筋圓柱殼自由振動的相似條件。Rosa[7]利用縮尺金屬板預測了原型金屬板的振動響應，通過原型與縮尺模型振動能量等效的方法獲取相似條件。錢德玲[8]等人設計了可模擬真實高層建筑地震響應的縮尺試驗臺。NASA曾在20世紀50年代利用縮尺模型研究運載火箭（如土星I號、土星V號、泰坦III號等）的動力學問題[9]。

針對旋轉機械的轉子—支承系統(tǒng)，縮尺試驗器常用于研究全尺寸原型的動力學特性。Wu[10]建立了完全幾何相似的轉子—支承系統(tǒng)模型，用于預測全尺寸原型的橫向振動特性。Bax[11]等人設計了一種幾何不相似的汽輪機轉子的縮尺模型，使其臨界轉速與原型相同。Young[12]設計了一種幾何完全相似的船用轉子的縮尺模型，為確保原型與縮尺模型的激勵頻率與固有頻率的比值相同，其長度方向的尺寸比與其徑向方向尺寸比相一致。丁一[13]歸納總結了變態(tài)相似理論，推導了轉子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型的相似準則，對實際發(fā)動機燃氣發(fā)生器和動力渦輪轉子系統(tǒng)進行了動力學相似設計。侯理臻[14]根據相似理論設計了包含葉片飛脫裝置的不平衡試驗系統(tǒng)，以研究大涵道比渦扇發(fā)動機葉片飛脫時的動力學響應。

高轉速轉子—支承系統(tǒng)通常結構復雜，縮尺模型設計時，如果采用完全幾何相似設計，有可能會導致縮尺轉子—支承系統(tǒng)的制造困難，并引入一些實際問題。如幾何縮尺后的部件可能存在一定的強度削弱問題，同時幾何尺寸成比例地降低會導致系統(tǒng)固有頻率和臨界轉速的升高，使得驅動端功率增大，并且需要在極高轉速處進行動平衡，增加了試驗器調試、測試難度與系統(tǒng)運行的危險性。因此，高速轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺相似設計，需要考慮一定的幾何畸變。Luo[5]在設計帶齒形密封環(huán)的薄壁圓柱殼體動力學相似試驗件時，考慮了一定的幾何畸變，以得到等效圓柱殼體。Oshiro[15]利用幾何畸變的模型，準確地預測了全尺寸原型在沖擊載荷下的力學行為。然而，上述研究只針對薄壁殼體等簡單結構進行了幾何畸變相似設計，高速轉子—支承系統(tǒng)幾何畸變相似設計的研究仍然較少。

本文提出了一種針對高速轉子—支承系統(tǒng)的動力學縮尺相似設計方法，用于指導有限試驗條件下使用的航空發(fā)動機整機試驗器轉子—支承系統(tǒng)的設計。該動力學縮尺相似設計方法不但考慮了結構簡化（幾何畸變），且滿足動力學相似，即較低的工作轉速內使其頻率和臨界轉速成比例降低，同時振型保持不變。最終得到的縮尺轉子—支承系統(tǒng)可完全滿足實驗室使用條件。

1 高速轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺相似設計

開展高速轉子—支承系統(tǒng)縮尺動力學相似設計前，應首先明確全尺寸原型的結構和動力學特性。圖1為某型渦軸發(fā)動機燃氣發(fā)生器轉子—支承系統(tǒng)總體結構，總長約0.65m；壓氣機由5級軸流式和1級離心式構成；渦輪由2級軸流式渦輪構成；其工作轉速范圍為30000～45000轉每分鐘；轉子支承在兩個鼠籠式彈性支承上；兩端設計有擠壓油膜阻尼器。該燃氣發(fā)生器轉子為高速柔性轉子，工作轉速內越過前三階臨界轉速，前三階臨界轉速分別為5563rpm、7604rpm和28243rpm，前兩階模態(tài)為剛體模態(tài)，第三階模態(tài)為彎曲振型（見圖2）。

圖1 某型渦軸發(fā)動機燃氣發(fā)生器轉子—支承系統(tǒng)原型

圖2 全尺寸原型前三階振型

縮尺轉子—支承系統(tǒng)應能夠充分反映全尺寸原型的動力學特性，即前三階臨界轉速與全尺寸原型成比例，振型相似?？紤]到實驗室環(huán)境和條件、操作和控制的安全性，擬將縮尺轉子—支承系統(tǒng)的工作轉速降至10000rpm以內。因此提出轉子—支承系統(tǒng)的動力學相似設計目標如下：1）縮尺轉子—支承系統(tǒng)工作轉速內包含三階臨界轉速，前三階頻率和臨界轉速為全尺寸原型的1/4；2）轉子前三階振型應與全尺寸原型保持一致。

為保證動力學相似，縮尺轉子—支承系統(tǒng)應與全尺寸原型具有相同的支承形式，即采用相同形式的滾動軸承，鼠籠式彈性支承并設計有擠壓油膜阻尼器。此外，應對縮尺模型進行適當的結構簡化，有利于制造和組裝。

2 高速轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺相似設計

為實現設計目標，本文采用了一種分步縮尺動力學相似設計的策略。該策略是源于Miao[16]設計的雙轉子系統(tǒng)的縮尺動力學相似試驗件。首先對全尺寸原型（Full-scale Prototype，簡寫為FSP）進行結構簡化，得到動力學等效模型（Dynamically Equivalent Model，簡寫為DEM），然后由動力學等效模型得到動力學縮尺模型（Reduce Scale Model，簡寫為RSM）的參數（幾何、支承剛度等）縮放比例。該策略如圖3所示。

圖3 縮尺動力學相似設計策略流程圖

2.1 全尺寸原型的結構簡化

全尺寸原型的結構簡化應保證結構簡化后的動力學等效模型，其動力學特性（頻率、振型、臨界轉速）應與全尺寸原型一致。動力學等效模型可以避免在隨后的試驗件加工制造時，由于幾何結構的復雜性帶來的高昂的成本，并大大減少后續(xù)相似設計的復雜性。簡化的過程為：減少盤的數目，將多級壓氣機、渦輪簡化為單盤或雙盤，將非均勻截面軸簡化為均勻截面軸。此結構簡化方式會導致一定的幾何畸變。此外，結構簡化時應注意：1）支承位置應與全尺寸原型保持一致；2）軸向剛度、質量分布與全尺寸原型相同。

2.2 轉子—支承系統(tǒng)的動力學相似設計方法

動力學相似設計是基于相似理論建立動力學等效模型與動力學縮尺模型的相似條件，推導幾何尺寸、支承剛度等參數的縮放比例。相似條件可通過量綱分析法與轉子動力學控制方程相結合的方式獲得。

圖4 簡單圓截面轉子示意圖

而Π關系式可以通過方程分析與邊界條件推導得出。由式（1）、（2）可知，除橫向位移（因變量）外，系統(tǒng)存在8個獨立變量（見表1），取質量—長度—時間為基本量綱，則獨立的Π關系式共有5個。

表1 轉子—支承系統(tǒng)獨立物理量

將式（4）代入式（1）、（2）中，得到相似模型的運動方程及邊界條件為

為保證相似前后微分方程及邊界條件的一致性，式（5）、（6）中各項系數應滿足如下關系。

將式（4）代入式（7）、（8）、（9），得到一組Π關系式

表2 轉子—支承系統(tǒng)各主要物理量相似比

3 高速轉子—支承系統(tǒng)動力學相似設計

針對前文中的某型渦軸發(fā)動機燃氣發(fā)生器轉子—支承系統(tǒng)，按照第2節(jié)所述的動力學相似設計策略，開展縮尺動力學相似設計。

3.1 基于全尺寸原型的動力學等效模型

對全尺寸原型進行結構簡化，建立動力學等效模型，如圖5所示。

動力學等效模型由一根均勻圓截面實心軸和三級盤構成，5級軸流式壓氣機簡化為盤1，離心式壓氣機簡化為盤2，2級軸流式渦輪簡化為盤3。盤為均質圓盤，簡化了全尺寸原型的部分復雜幾何結構特征（如葉片、復雜幾何形面等）。動力學等效模型的盤與軸的材料為鋼。盡可能地保證動力學等效模型與全尺寸原型相同的軸向剛度、質量分布及支承位置。

圖5 動力學等效模型示意圖

3.2 基于動力學等效模型的動力學畸變模型

基于結構簡化的動力學等效模型開展相似設計，但嚴格按照該方法進行動力學相似設計可能導致實際構件設計和制造困難。根據表2，在材料參數保持不變的情況下，頻率和臨界轉速的相似比與轉子直徑和長度滿足如下關系

即頻率或臨界轉速的相似比與直徑的相似比成正比，與轉子長度的相似比的平方成反比。因此與可通過減小轉子直徑或增長轉子長度以達到成比例降低頻率或臨界轉速的目的。然而，出于縮尺角度的考慮，往往選擇減小轉子直徑同時保證轉子長度不變，即

這將會引發(fā)實際問題。根據表2，在保證材料參數、軸長不變的情況下，支承剛度的相似比和轉子直徑的相似比滿足如下關系：

即支承剛度的相似比與轉子直徑相似比的四次方成正比。根據第1節(jié)所述的動力學相似設計目標，如果嚴格按照1/4的比例降低臨界轉速，根據式（16）、（17）可得

根據式（18）計算支承剛度的相似比

若支承剛度按照1/256的比例降低，這將會導致極低的支承剛度（支承1相似后的支承剛度為1.52×104N/m，支承2相似后的支承剛度為2.15×104N/m）。該支承剛度將會導致動力學縮尺模型所采用的鼠籠式彈性支承設計（一種彈性支承的設計形式（見圖6）加工困難。針對上述問題，本文提出一種解決方案，即在動力學等效模型的基礎上，引入動力學畸變模型（Dynamically Distorted Model，簡寫為DDM），如圖7所示。

圖6 鼠籠式彈性支承示意圖

圖7 動力學畸變模型示意圖

所謂“動力學畸變模型”是在轉子—支承系統(tǒng)動力學等效模型的基礎上，保持軸長、支承剛度與支承位置不變，優(yōu)化動力學等效模型的個別參數（例如軸徑、盤徑、盤厚等），使其頻率、臨界轉速降低為動力學等效模型的1/2，同時振型保持不變。然后基于動力學畸變模型按照頻率比為1/2的比例進行相似設計以獲得動力學縮尺模型。因此根據式（16）、（17）得到動力學畸變模型與動力學縮尺模型頻率與直徑的相似比

則根據式（18），動力學畸變模型與動力學縮尺模型支承剛度的相似比為

因此最終獲得的動力學縮尺模型的支承剛度為全尺寸原型的1/16（支承1相似后的支承剛度為2.46×105N/m，支承2相似后的支承剛度為3.64×105N/m），而該剛度值對于鼠籠式彈性支承設計與加工較為合理。獲得動力學畸變模型的問題可以描述為由目標函數和約束條件組成的優(yōu)化問題，目標函數、約束條件為如下形式。

圖8 轉子—支承系統(tǒng)動力學畸變模型的有限元模型

表3 動力學畸變模型與全尺寸原型模態(tài)參數對比

3.3 基于動力學畸變模型的縮尺相似模型

建立動力學縮尺模型的有限元模型（見圖10），并計算前三階頻率及臨界轉速。圖11為動力學縮尺模型的Campbell圖，表4為動力學縮尺模型前三階頻率及MAC值。與動力學畸變模型對比，動力學縮尺模型的頻率基本按1/2降低，且前三階振型相關性較好。

與全尺寸原型對比（見表5），動力學縮尺模型的前三階臨界轉速基本按1/4降低，且振型相關性較好。其中，第3階MAC值為0.960，低于前兩階MAC值，第三階臨界轉速比為1/3.84，與相似設計目標的1/4存在一定的誤差。該誤差是由動力學畸變模型引入，因動力學畸變模型是由動力學等效模型經參數優(yōu)化而來，使用優(yōu)化工具計算難免會引入誤差，因此并不能保證動力學畸變模型的前三階頻率和臨界轉速與全尺寸原型相比嚴格按照1/2降低，從而無法使動力學縮尺模型的頻率及臨界轉速與全尺寸原型相比嚴格按照1/4的比例降低。雖然該缺陷導致前三階臨界轉速沒有嚴格按照1/4的比例降低，但大體仍然滿足動力學相似設計目標，該誤差是可以接受的。

圖9 動力學縮尺模型示意圖

圖10 動力學縮尺模型的有限元模型

圖11 動力學縮尺模型的Campbell圖

表4 縮尺模型與畸變模型模態(tài)參數對比

表5 動力學縮尺模型與全尺寸原型對比

4 縮尺轉子—支承系統(tǒng)的結構與效果評估

在高速轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺模型的基礎上，進一步開展結構設計，并基于超模型開展動力學相似效果評估以驗證是否滿足設計目標。

4.1 縮尺轉子—支承系統(tǒng)結構設計

基于相似理論初步設計的縮尺轉子—支承系統(tǒng)，需針對試驗條件進行結構設計，例如：考慮軸承安裝位置、盤軸連接形式、彈性支承結構等等。完成結構設計的轉子—支承系統(tǒng)如圖12所示，盤軸之間采用脹緊套連接；盤上加裝平衡配重安裝孔。轉子支承在鼠籠式彈性支承上，鼠籠的支承剛度按照第3節(jié)轉子—支承系統(tǒng)動力學縮尺模型的支承剛度值進行設計。前后支點分別采用深溝球軸承和圓柱滾子軸承。轉子—支承系統(tǒng)通過鼠籠安裝邊與機匣系統(tǒng)相連。

圖12 縮尺轉子—支承系統(tǒng)結構簡圖

4.2 縮尺轉子—支承系統(tǒng)“超模型”的建立

在設計初期階段，建立零組件的“超模型（Supermodel）”以替代實際樣機應用于實際航空發(fā)動機的結構設計中[18]?！俺Ｐ汀笔侵阜浅＜毣娜S實體有限元模型，在建模過程中保持模型的幾何特征與實際結構一致，且網格密度足夠大，既消除了模型簡化誤差，也最大限度降低了有限元網格劃分的離散誤差，能夠足夠精確地反映結構的動力學特性。關于“超模型”的建模過程詳情可參閱參考文獻[18]。

首先依次建立轉子—支承系統(tǒng)中的轉子組件、鼠籠結構的“超模型”，然后將各子結構的“超模型”裝配后，構成轉子—支承系統(tǒng)組件的“超模型”。這里需要特別指出的是：1）由于盤軸采用脹緊套連接，近似的將盤軸按剛性連接處理；2）忽略盤軸系統(tǒng)的局部特征，例如盤上的不平衡配重安裝孔；3）軸承采用彈簧單元建模，其徑向剛度為108N/m（由軸承制造商提供）；4）鼠籠安裝邊處固支以模擬轉子—支承系統(tǒng)裝機狀態(tài)（見圖13）。

圖13 縮尺轉子—支承系統(tǒng)超模型示意圖

4.3 動力學相似效果評估

計算縮尺轉子—支承系統(tǒng)超模型前三階臨界轉速，并與全尺寸原型振型進行相關性分析（見表6）。與全尺寸原型相比，縮尺轉子—支承系統(tǒng)超模型前三階臨界轉速基本按1/4的比例降低，其振型基本與全尺寸原型基本一致，從而驗證了本文提出的針對高速轉子—支承系統(tǒng)的縮尺動力學相似設計方法的有效性。

圖14 縮尺轉子—支承系統(tǒng)超模型的Campbell圖

表6 縮尺轉子—支承系統(tǒng)超模型的臨界轉速與MAC

5 結論

本文提出了一種針對高速轉子—支承系統(tǒng)的動力學縮尺相似設計方法。應用該方法建立了某型渦軸發(fā)動機燃氣發(fā)生器轉子—支承系統(tǒng)的縮尺動力學相似模型，使其臨界轉速相較于全尺寸原型基本按1/4的比例降低，并保持了振型的相似性。同時，通過動力學相似理論與優(yōu)化工具的綜合運用，有效解決了動力學相似設計需求與幾何、結構參數不完全相似的矛盾，規(guī)避了部分結構參數（如支承剛度）不合理的現象。最后，進一步進行了縮尺轉子—支承系統(tǒng)的結構設計，并建立“超模型”驗證了相似設計的合理性和有效性。

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Reduced-Scale Model Design for a High-Speed Rotor-Bearing System

WANG Li1LIANG Hao-tian2ZHOU Biao2ZANG Chao-ping2

（1 AECC Hunan Aviation Power plant Research Institute, Zhuzhou 412002, China; 2 College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China）

This paper is devoted to developing a similitude design method for reduced-scale model based on similitude theory from a high-speed rotor system prototype. A gas generator for the turboshaft engine is considered as the full-scale prototype, the scaling factors between prototype and relating the critical design parameters such as rotor geometry, support stiffness, etc. are derived; dynamic similitude is assured by proportionally scaling down the three critical speeds while the rotor mode shapes still maintain high correlation between the prototype and downscaled model. The resultant reduced-scale model of the rotor system will practically guide the construction of the essential part of a whole engine dynamics test rig for laboratory use.

Reduced-scale model; similitude theory; high-speed rotor-bearing system; rotor dynamics

V415

A

1006-3919(2021)02-0022-09

10.19447/j.cnki.11-1773/v.2021.02.004

2021-01-08；

2021-03-14

國家自然科學基金(No. 12072146)

王立（1983—），男，高級工程師，研究方向：航空發(fā)動機總體結構；（412002）中國航發(fā)湖南動力機械研究所.