非自治Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子

張曉雨，姜金平

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

本文受文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[6]的啟發(fā)，研究了當(dāng)含有外力項(xiàng)g(x,t)時(shí)，如下有界區(qū)域上非自治Cahn-Hilliard方程指數(shù)吸引子的存在性：

ut+v△2u=△f(u)+g(x,t)，(x,t)∈Ω×(0,∞)，

(1)

u=△u=0，(x,t)∈Ω×(0,∞)，

(2)

u(x,τ)=uτ(x)，t>τ0。

(3)

其中Ω?Rn(n≤3)是具有光滑邊界的有界區(qū)域，g(x,t)是依賴于時(shí)間t的外力項(xiàng)，是關(guān)于t的幾乎周期函數(shù)，當(dāng)g(x,t)=0時(shí)，是自治Cahn-Hilliard方程。

非線性項(xiàng)f滿足：

f′(u)>-k,F(u)>u，

(4)

存在0<γ≤β≤∞使得

|f′(u)|≤k1(1+|u|β)，

|f″(u)|≤k2(1+|u|γ)。

(5)

1 預(yù)備知識

本文用C,C0,C1,C2…表示依賴于Ω和n的常數(shù)，令H=L2(Ω)，Lp(Ω)和Hs(Ω)中的范數(shù)分別記作|·|p和‖·‖S，特別地，|·|=|·|2，‖·‖=‖·‖2。Cb(Ω×R,X)表示在Ω×R上且取值于X上的有界連續(xù)函數(shù)的全體，B(X)表示X中的有界集合的全體，

(，·，)表示H的內(nèi)積，A=-△。

定義1[6]設(shè)X是一個(gè)度量空間，半群S(t)：X→X，集合M?X，如果滿足：

1)緊集M?X，并有有限分形維數(shù)；

2)集合M是正不變集，即S(t)M?M；

3)集合M是一個(gè)指數(shù)吸收集，即存在一個(gè)常數(shù)l>0，使得對任意有界子集B?X，存在一個(gè)常數(shù)k=k(B)>0，使得dist(S(t)B,M)≤ke-lt。

則M稱是半群S(t)的指數(shù)吸引子。

定理1[3]設(shè)X是一個(gè)Banach空間，S(t)是X上的半群，如果滿足：

1)S(t)存在一個(gè)有界吸收集B?X；

?x∈B,t≥T。

則S(t)存在指數(shù)吸引子。

2 指數(shù)吸引子的存在性

定理2 設(shè)f(u)滿足條件(4)和(5)，g(x,t)∈Cb(Ω×R,H)，則方程(1)—(3)存在唯一解U∈V。

定理2的證明詳見文獻(xiàn)[8]。

定理3 設(shè)g(x,t)∈Cb(Ω×R,H)且條件(4)和(5)被滿足，半群S(t)在空間V中有有界吸收集，即對中任意的有界集B，存在t1(B)>0,ρ1>0，使得?u1∈B有：

|u1(t)|2≤ρ12，?t≥t1。

(6)

證明用u1與方程(1)作內(nèi)積，可得：

(△f(u),u1)+(g(x,t),u1)。

(7)

又(g(x,t),u1)≤|g‖u1|≤

(8)

再結(jié)合式(5)，可以得到：

(9)

對式(9)進(jìn)行整理得:

(10)

結(jié)合Poincare不等式，可得

(11)

利用Gronwall引理，得到

|u1(t)|2≤ρ12，?t≥t1。

(12)

定理4 設(shè)f滿足式(2)和式(3)，g∈Cb(Ω×R,H)，那么S(t)在V上存在指數(shù)吸引子。

令Vm=span{ω1,ω2，…,ωm}?V，Pm:V→Vm是一個(gè)正交投影算子，對于任意u∈N，記

u=Pmu+(I-Pm)u=u1+u2。

用-△u2與式(1)作內(nèi)積，可得

(△f(u),-△u2)+g(x,t),-△u2)。

(13)

因?yàn)?△f(u),-△u2)=(▽f(u),▽△u)=

(14)

(15)

把式(14)和式(15)代入(13)可以得到

(16)

由引理2及Poincare不等式，可以得到：

利用Gronwall引理，則有

當(dāng)m→∞時(shí)，λm→∞。

定理5 設(shè)在有界區(qū)域上f滿足條件(4)和(5)，g∈Cb(Ω×R,X)，那么在滿足方程(1)—(3)的條件下，半群S(t)在V上有指數(shù)吸引子。