隨機(jī)環(huán)境中的泊松過(guò)程

單超超，呂 平

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

20世紀(jì)80年代初,Cogburn[1-2]首次將環(huán)境因素引入馬氏鏈中,豐富并拓展了經(jīng)典馬氏鏈的理論體系.其后，得益于Hu[3-4]及其合作者們對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬爾可夫過(guò)程的推廣和歸納整理，形成了一套完整的隨機(jī)環(huán)境中馬氏過(guò)程的理論體系，使得目前對(duì)隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)過(guò)程的研究有了較好的理論支撐和依據(jù)，其中不乏隨機(jī)環(huán)境中馬氏過(guò)程的分支.Palau等[5]研究了被布朗運(yùn)動(dòng)干擾的隨機(jī)環(huán)境下連續(xù)狀態(tài)分支過(guò)程，該過(guò)程以隨機(jī)微分方程的唯一強(qiáng)解來(lái)構(gòu)造，精確地給出其滅絕和爆炸概率，并給出了在非滅絕條件下的遷徙過(guò)程. Kuhlbusch[6]用鞅的方法來(lái)研究隨機(jī)環(huán)境中的分支過(guò)程，推廣了隨機(jī)環(huán)境下一般分支過(guò)程和加權(quán)分支過(guò)程的早期研究結(jié)果.胡迪鶴[7]引進(jìn)了隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣、隨機(jī)密度矩陣，進(jìn)而引進(jìn)了隨機(jī)生滅q-矩陣及隨機(jī)環(huán)境中的生滅過(guò)程概念，構(gòu)造性地證明了隨機(jī)環(huán)境中生滅過(guò)程的存在性.呂平等[8]引進(jìn)了隨機(jī)環(huán)境中一致馬氏過(guò)程，給出隨機(jī)環(huán)境中分枝q-過(guò)程存在性和唯一性的充分條件，證明了任意隨機(jī)分枝轉(zhuǎn)移密度矩陣都是零流入的.本文在前人工作基礎(chǔ)上，引進(jìn)隨機(jī)環(huán)境中的泊松過(guò)程模型，推導(dǎo)出其轉(zhuǎn)移概率，討論了該過(guò)程與均勻分布和Γ分布之間的特殊關(guān)系，證明了當(dāng)環(huán)境過(guò)程為坐標(biāo)過(guò)程時(shí)隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程是一類特殊的隨機(jī)環(huán)境中馬氏過(guò)程，最后給出該過(guò)程的隨機(jī)Kolmogorov方程.這些對(duì)后續(xù)研究隨機(jī)環(huán)境中的排隊(duì)過(guò)程、生滅過(guò)程都有著重要意義.

1 符號(hào)及定義

令X是一個(gè)可數(shù)集，(Θ,B)是一個(gè)抽象的可測(cè)空間，R+=[0,∞),N={0,1,2,…},Θ表示環(huán)境，B是由Θ生成的σ代數(shù).Θ*是從R+到Θ上的函數(shù)集，對(duì)每個(gè)θ*∈Θ*,s≥0,t>0,θ*[s,s+t)為θ*在[s,s+t)上的局限.

定義1令p(·;·,·)∶Θ*(re)×X ×X→[0,1]，如果

1)任意固定的s≥0,t>0和i,j∈X，p(θ*[s,s+t);i,j)作為θ*[s,s+t)的函數(shù)，關(guān)于(B[s,s+t))*可測(cè)；

3)滿足隨機(jī)Kolmogorov-Chapman方程：?θ*∈Θ*,s≥0,t>0,u>0,i,j∈X有

則稱p為Θ*上的隨機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù).如果p(θ*[s,s+t);i,j)不依賴于s(對(duì)每個(gè)θ*∈Θ*,t>0,i,j∈X)，則稱隨機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù)p是時(shí)齊的.

定義2設(shè)X=N，(Θ,B)是任一抽象可測(cè)空間，X*={Xt,t∈R+}，ξ*={ξt,t∈R+}是概率空間(Ω,F,P)上分別取值于X和Θ的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，p為Θ*上時(shí)齊的隨機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù).如果滿足

1)X0=0;Xs≤Xs+t(?s≥0,t>0);

2)對(duì)?θ*,s≥0,t>0,i,j∈X，有

P(Xs+t-Xs=i,Xs-X0=j|ξ*[0,s+t)=θ*[0,s+t))=

P(Xs+t-Xs=i|θ*[s,s+t))P(Xs-X0=j|θ*[0,s))；

3)當(dāng)t↓0時(shí)，對(duì)?i有

則稱X*是一個(gè)具有隨機(jī)環(huán)境ξ*的泊松過(guò)程.

注1記號(hào)λ(θ*(0))首次出現(xiàn)在文[7]，因?yàn)殡S機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù)關(guān)于時(shí)間t是時(shí)齊的，于是用0時(shí)刻的環(huán)境來(lái)描述，所以該記號(hào)在這里是合理的.

P(Xs+t=y|Xs=x,Xu,u∈[0,s))=p(θ;x,y)，

滿足定義2的條件，因此現(xiàn)在該排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)過(guò)程為隨機(jī)環(huán)境中的泊松過(guò)程.

下面著手推導(dǎo)隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的具體轉(zhuǎn)移概率.注意到X0=0, 有

于是

P0(θ*,t+h)=P{Xt+h=0|θ*[0,t+h)}=P{Xt+h-X0|θ*[0,t+h)}=

P{Xt-X0=0,Xt+h-Xt=0|θ*[0,t+h)}=

P{Xt-X0=0|θ*[0,t)}P{Xt+h-Xt=0|θ*[t,t+h)}=

P0(θ*,t)[1-λ(θ*)h+o(h)],

因此

(1)

對(duì)式(1)兩端取極限，令h→0，得

對(duì)t積分得到

P0(θ*,t)=k(θ*)e-λ(θ*)t.

(2)

因?yàn)镻0(θ*,0)=1,代入式(2)得，對(duì)?θ*∈Θ*有k(θ*)≡1，于是P0(θ*,t)=e-λ(θ*)t.

類似地，當(dāng)n≥1時(shí)，

Pn(θ*,t+h)=P{Xt+h=n|θ*[0,t+h)}=P{Xt+h-X0=n|θ*[0,t+h)}=

P{Xt-X0=n,Xt+h-Xt=0|θ*[0,t+h)}+

P{Xt-X0=n-1,Xt+h-Xt=1|θ*[0,t+h)}+

Pn(θ*,t)P0(θ*,h)+Pn-1(θ*,t)P1(θ*,h)+o(h)=

(1-λ(θ*)h)Pn(θ*,t)+λ(θ*)hPn-1(θ*,t)+o(h),

于是

(3)

對(duì)式(3)兩端取極限，令h→0，得

從而

因此

P1(θ*,t)=(λ(θ*)t+c(θ*))e-λ(θ*)t.

(4)

將P1(θ*,0)=0代入式(4)得，對(duì)?θ*∈Θ*有c(θ*)≡0，因此

P1(θ*,t)=λ(θ*)te-λ(θ*)t.

對(duì)t積分得

(5)

將Pn(θ*,0)=0代入式(5)得，對(duì)?θ*∈Θ*有c(θ*)≡0，因此

成立，即隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率為

(6)

2 主要結(jié)果

本節(jié)將根據(jù)上文推導(dǎo)出的隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率，進(jìn)一步討論隨機(jī)環(huán)境ξ*中的泊松過(guò)程X*具有的一些特殊性質(zhì).因?yàn)榻?jīng)典的泊松過(guò)程有平穩(wěn)獨(dú)立增量，事件在[0,t]的任何相同長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率都是相等的.那么，在[0,t]內(nèi)事件A只發(fā)生一次的前提下，A發(fā)生的時(shí)刻在[0,t]上是均勻分布的.由此，可推導(dǎo)出如下命題：

命題1(隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程與均勻分布的關(guān)系) 設(shè)X*是一個(gè)具有隨機(jī)環(huán)境ξ*的泊松過(guò)程，若在時(shí)間段[0,t]內(nèi)只出現(xiàn)一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，記T是其到達(dá)的時(shí)間，那么對(duì)?ξ*,T～U[0,t].

證明因?yàn)閇0,t]內(nèi)只出現(xiàn)一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，所以Xt=1.由式(6)知，對(duì)?θ*∈Θ*，當(dāng)s

由θ*的任意性知，T服從[0,t]上的均勻分布，對(duì)?ξ*.

通過(guò)對(duì)泊松過(guò)程樣本路徑的研究，發(fā)現(xiàn)它是一條跳躍度為1的階梯函數(shù).又根據(jù)泊松過(guò)程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性，可推導(dǎo)出事件發(fā)生的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.進(jìn)一步，根據(jù)指數(shù)分布是特殊的Γ分布及Γ分布的可加性，易得第n次事件發(fā)生的時(shí)刻服從參數(shù)為n和λ的Γ分布.在隨機(jī)環(huán)境下的泊松過(guò)程模型中，通過(guò)對(duì)達(dá)到時(shí)刻和時(shí)間間隔分布函數(shù)的研究，得到如下命題：

命題2(隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程與Γ分布的關(guān)系) 設(shè)X*是一個(gè)具有隨機(jī)環(huán)境ξ*的泊松過(guò)程，Tk表示第k個(gè)事件的到達(dá)時(shí)刻，Z1=T1，Zk=Tk-Tk-1(k=2,3,4,…)，則Tk～Γ(k,λ(θ*)),Zk～Γ(1,λ(θ*)),?θ*∈Θ*.

證明注意到在隨機(jī)環(huán)境θ*下，事件Tk≤t與事件Xt≥k是等價(jià)的.因此對(duì)?θ*∈Θ*，t>0，有

由此得到

從而

于是

因此，對(duì)?θ*∈Θ*，隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的第k個(gè)事件的到達(dá)時(shí)刻服從參數(shù)為k和λ(θ*)的Γ分布.

接著考察隨機(jī)環(huán)境ξ*=θ*下Zk的概率分布.假定Tk-1時(shí)刻的觀測(cè)值是sk-1，于是事件[Zk>t|ξ*=θ*]等價(jià)于事件[Tk>Tk-1+t|Tk-1=sk-1,ξ*=θ*]，也等價(jià)于事件[Xsk-1+t-Xsk-1=0|ξ*=θ*].因此

P(Zk>t|Tk-1=sk-1,ξ*=θ*)=P(Xsk-1+t-Xsk-1=0|ξ*=θ*)=e-λ(θ*)t,

于是可得隨機(jī)環(huán)境ξ*=θ*下時(shí)間間隔Zk的分布函數(shù)

因此隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的時(shí)間間隔長(zhǎng)度Zk在ξ*=θ*下服從參數(shù)為1和λ(θ*)的Γ分布.

從經(jīng)典馬氏過(guò)程的研究看出，如果有一個(gè)隨機(jī)因素干擾原隨機(jī)過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率，原過(guò)程未必還有經(jīng)典的馬爾可夫性.Hu在文[3]中首次引入隨機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù)p(·;·,·)以及隨機(jī)環(huán)境中的馬氏過(guò)程模型.將環(huán)境因素引入經(jīng)典的泊松過(guò)程，并且假設(shè)接下來(lái)考慮環(huán)境過(guò)程為坐標(biāo)過(guò)程，有如下定理：

定理1隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程是依時(shí)的隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過(guò)程(MPTRE).

證明由定義2及MPTRE的定義知，只需證明?s≥0,t>0,u>0,A∈A,B∈B,有

P(Xs+t∈A,θs+t∈B|Xu,u∈[0,s],θv,v∈(0,s+t))=

P(θ*[s,s+t);Xs,A)P(θs+t∈B|θv,v∈(0,s+t)),a.s..

(7)

設(shè)A={j},Xs=i(i≤j)，于是

P(Xs+t∈{j},θs+t∈B|Xu,u∈[0,s],θv,v∈(0,s+t))=

P(Xs+t-Xs=j-i,θs+t∈B|θv,v∈(0,s+t))=

P(Xs+t-Xs=j-i|θv,v∈(0,s+t))P(θs+t∈B|θv,v∈(0,s+t))=

P(θ*[s,s+t);Xs,{j})P(θs+t∈B|θv,v∈(0,s+t)),a.s..

因此，隨機(jī)環(huán)境中的泊松過(guò)程是依時(shí)的隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過(guò)程.

如果將式(7)替換為

P(Xs+t∈A,θ*[s+t,∞)∈B[s+t,∞)|Xu,u∈[0,s],θv,v∈(0,s+t))=

P(θ*[s,s+t);Xs,A)P(θ*[s+t,∞)∈B[s+t,∞)|θv,v∈(0,s+t)),a.s.,

(8)

其中A∈A,B[s+t,∞)∈B*[s+t,∞),t>0,s,s+t∈[0,∞)，則稱(X*,θ*)為依時(shí)的一致的隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過(guò)程(UMPTRE).同樣的，若隨機(jī)環(huán)境中的泊松過(guò)程滿足式(8)，則稱X*為依時(shí)的一致的隨機(jī)環(huán)境ξ*中的泊松過(guò)程.

Hu在文[4]中給出了隨機(jī)環(huán)境中馬氏過(guò)程的Kolmogorov微分方程，隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程作為一類特殊的隨機(jī)環(huán)境中馬氏過(guò)程，下文將討論隨機(jī)環(huán)境中泊松過(guò)程的Kolmogorov方程.

定理2(隨機(jī)Kolmogorov方程) 設(shè)X*是一個(gè)具有隨機(jī)環(huán)境ξ*的泊松過(guò)程，且對(duì)任意的θ*∈Θ*,λ(θ*)<∞，則對(duì)?θ*∈Θ*,s≥0,t>0,i,j∈X有

1)隨機(jī)Kolmogorov向后方程

證明1)根據(jù)定義1的3)有

變形得到

(1-p(θ*,h;i,i))p(θ*,t;i,j).

(9)

對(duì)式(9)兩端取極限，令h→0，得

(10)

考慮到泊松過(guò)程狀態(tài)是無(wú)限的，為此首先需要解決極限與求和運(yùn)算順序的交換問(wèn)題.對(duì)固定的正整數(shù)M∈N，有

根據(jù)M的任意性有

又因?yàn)?/p>

同樣地，根據(jù)M的任意性有

因此

于是可將式(10)變形得到

(11)

又根據(jù)定義2的3)，對(duì)?k∈X有

(12)

代入式(11)有

因此，隨機(jī)Kolmogorov向后方程得證.

2)類似地，根據(jù)定義1的3)有

變形可得

于是有

(13)

又根據(jù)假設(shè)，式(13)中極限與求和運(yùn)算順序可交換，因此式(13)可變?yōu)?/p>

(14)

最后利用式(12)的結(jié)果代入式(14)得到

因此，隨機(jī)Kolmogorov向前方程得證.

注2因?yàn)殡S機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù)關(guān)于時(shí)間t是時(shí)齊的，隨機(jī)轉(zhuǎn)移函數(shù)關(guān)于t的可導(dǎo)性無(wú)特殊要求.