復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)方法嘗試與探討

齊永奇 張濤

摘 要：復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是測控專業(yè)的基礎(chǔ)課程。在抗擊新冠肺炎疫情背景下，針對(duì)該課程在測控專業(yè)的教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問題，教師可以嘗試采用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)提前布置預(yù)習(xí)，在直播課中側(cè)重于重難點(diǎn)的突破，課后進(jìn)行練習(xí)反饋、討論答疑;教學(xué)評(píng)價(jià)采用多樣化以及更注重過程的方式等進(jìn)行教學(xué)方法的改革與探索。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換;教學(xué)改革;平行教學(xué)模式;線上教學(xué)

復(fù)變函數(shù)與積分變換作為高等數(shù)學(xué)微積分的重要內(nèi)容，是高校工科學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)知識(shí)，其理論與方法廣泛應(yīng)用于理工類學(xué)習(xí)諸多領(lǐng)域。作為測控專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和方法廣泛應(yīng)用于電路、信號(hào)分析、控制等并為其提供必要的數(shù)學(xué)工具。由于該課程理論和公式較多、內(nèi)容抽象，課程比較難以掌握，針對(duì)目前教育現(xiàn)狀，基于全球網(wǎng)絡(luò)時(shí)代背景，課題組嘗試進(jìn)行了多種教學(xué)改革探索。面對(duì)2020年突如其來的新冠肺炎疫情，基于多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和該課程教學(xué)中存在的問題，本研究嘗試進(jìn)行了平行教學(xué)的多形式、多類別的教學(xué)模式探討，供相關(guān)學(xué)者討論和參考。

一、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中存在的問題

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程作為筆者所在學(xué)校測控專業(yè)的一門核心專業(yè)基礎(chǔ)必修課程，屬于前位課也是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，其理論和方法為后續(xù)專業(yè)課程如電路分析、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理、數(shù)字信號(hào)處理等提供必要的數(shù)學(xué)工具，如拉氏變換應(yīng)用控制理論的傳遞函數(shù)，極點(diǎn)、留數(shù)理論應(yīng)用于時(shí)域分析等，所以學(xué)好本課程對(duì)于掌握專業(yè)知識(shí)具有重大的理論和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。但在實(shí)際的教學(xué)中，目前該課程教學(xué)存在諸多問題。

（一）教學(xué)模式落后且課時(shí)緊

復(fù)變函數(shù)與積分變換作為數(shù)學(xué)類課程，由于理論公式推導(dǎo)較多、大量的例題需要講解等，大多采取課堂板書的模式，基本上屬于“灌輸式”教學(xué)。加之目前大多數(shù)高校進(jìn)行了課程壓縮（筆者所在學(xué)校為48學(xué)時(shí)），導(dǎo)致該課程課時(shí)十分緊張，板書課堂教學(xué)也特別緊張?，F(xiàn)有課時(shí)講解基本定理、公式和例題尚不充足，更無法組織大范圍的討論，因此師生基本無互動(dòng)機(jī)會(huì)，導(dǎo)致教學(xué)氛圍不夠活躍，學(xué)生時(shí)常感到枯燥無味、毫無興趣，教師很難達(dá)到預(yù)期教學(xué)目標(biāo)。

（二）缺乏應(yīng)用背景且重難點(diǎn)難以突破

根據(jù)專業(yè)體系安排，復(fù)變函數(shù)與積分變換課程往往在大二的第三或第四學(xué)期開設(shè)。但在此期間，學(xué)生往往認(rèn)識(shí)不到該課程對(duì)后續(xù)課程應(yīng)用的重要性，面對(duì)一些理論和公式往往感到似懂非懂，像聽天書，無法理解其精髓及應(yīng)用背景。同時(shí)，一些重點(diǎn)、難點(diǎn)難以突破，有些例題教師講過后學(xué)生還一知半解，加之缺乏實(shí)際應(yīng)用的背景和實(shí)踐操作，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果很不理想。

（三）評(píng)價(jià)體系不夠合理

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程往往以平時(shí)成績（占比為30%—40%）和期末成績（占比為60%—70%）作為考核標(biāo)準(zhǔn)。平時(shí)成績主要由平時(shí)考勤和作業(yè)來衡量。但因?yàn)閷W(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)該課程時(shí)并未認(rèn)識(shí)到該課程對(duì)后續(xù)課程的重要性，往往未能掌握該課程理論的精髓。作為考試課，學(xué)生大多會(huì)在考前進(jìn)行沖刺。因此，即使有的學(xué)生考試成績不錯(cuò)，但后期學(xué)習(xí)專業(yè)課時(shí)或已經(jīng)忘記或?qū)υ撜n程仍是似懂非懂，無法將所學(xué)的理論靈活運(yùn)用到后續(xù)課程具體實(shí)例之中。

二、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程在線教學(xué)探索

面對(duì)突如其來的新冠肺炎疫情，基于筆者所在學(xué)校推出的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中存在的問題，為使學(xué)生掌握該課程的重難點(diǎn)及其應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣等，筆者進(jìn)行了如下嘗試和探討：

（一）借網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)提前預(yù)習(xí)，熟悉課程重難點(diǎn)

為突破教學(xué)重難點(diǎn)，充分利用學(xué)校推出的華水學(xué)堂網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，教師提前將制作好的教學(xué)視頻、授課PPT、課程重難點(diǎn)及其突破分析、典型例題詳解、煩瑣公式的推導(dǎo)、與后續(xù)課程應(yīng)用聯(lián)系等相關(guān)教學(xué)資料提前發(fā)布，并通知學(xué)生預(yù)習(xí)，然后提出問題，必要時(shí)可組織學(xué)生分組討論。比如，在洛朗級(jí)數(shù)的公式推導(dǎo)、離散傅里葉變換的推導(dǎo)教學(xué)過程中，教師可以讓學(xué)生提前觀看視頻完成預(yù)習(xí)，這樣不僅可使學(xué)生熟悉課程的重難點(diǎn)，同時(shí)也可激發(fā)學(xué)生的求知欲，提前預(yù)習(xí)課堂的例題和習(xí)題，也可在一定程度上彌補(bǔ)教學(xué)學(xué)時(shí)不足等缺陷。學(xué)生通過提前預(yù)習(xí)華水學(xué)堂課程視頻、相關(guān)理論的應(yīng)用背景資料，就會(huì)理解相關(guān)理論與后續(xù)課程的聯(lián)系，如拉氏變換對(duì)后續(xù)課程控制理論傳遞函數(shù)的應(yīng)用等，從而表現(xiàn)出極大的興趣。

（二）網(wǎng)絡(luò)直播授課集中重難點(diǎn)突破

雖然學(xué)生通過提前預(yù)習(xí)對(duì)理論重難點(diǎn)有了一定了解，但因?yàn)樵撜n程比較抽象，尤其是理論、公式推導(dǎo)煩瑣，例題難以理解，學(xué)生僅僅通過自學(xué)網(wǎng)絡(luò)視頻及課程相關(guān)資料是很難掌握重難點(diǎn)及其理論實(shí)際應(yīng)用的，所以教師必須在直播授課中，針對(duì)重難點(diǎn)及相關(guān)理論應(yīng)用，有針對(duì)性地進(jìn)一步分析、詳細(xì)講解，力求使學(xué)生融會(huì)貫通。而對(duì)于易懂的內(nèi)容、定義及定理，教師則不必詳細(xì)講解。這樣就需要教師事先了解學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)等，以便有針對(duì)性地進(jìn)行準(zhǔn)備，如重點(diǎn)的講解和理解滲透、難點(diǎn)的突破、相關(guān)理論與后續(xù)課程聯(lián)系等，對(duì)課堂有整體構(gòu)思，把控課堂教學(xué)節(jié)奏。

（三）利用習(xí)題及單元測試答疑討論鞏固理解

對(duì)數(shù)學(xué)類課程來說，鞏固練習(xí)至關(guān)重要。為此，復(fù)變函數(shù)與積分變換課結(jié)束后，教師都會(huì)針對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)在華水學(xué)堂網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)發(fā)布一些習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)鞏固。根據(jù)作業(yè)出現(xiàn)的問題和學(xué)生的疑惑，學(xué)生可以（分組）網(wǎng)上討論，必要時(shí)教師進(jìn)行引導(dǎo)解惑。每個(gè)章節(jié)學(xué)習(xí)后都會(huì)進(jìn)行章節(jié)測試，以及專題測試、期中測試等。只有經(jīng)過反復(fù)練習(xí)，學(xué)生才有可能真正理解和掌握重難點(diǎn)。針對(duì)普遍存在的問題，教師可在直播課中進(jìn)行集中講解，為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果，可對(duì)測試設(shè)計(jì)一定的分?jǐn)?shù)線（如設(shè)定80分）。如果學(xué)生達(dá)不到要求，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)退回，學(xué)生重新進(jìn)行測試。學(xué)生也可在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給教師留言，教師在線進(jìn)行解答。同時(shí)，借助網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)也會(huì)增加學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間的溝通，提高教學(xué)效果。

（四）教學(xué)評(píng)價(jià)多樣化且更注重過程評(píng)價(jià)

與先前側(cè)重結(jié)果的考核方式不同，為提高教學(xué)質(zhì)量，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)評(píng)價(jià)更應(yīng)側(cè)重學(xué)習(xí)過程，更應(yīng)多樣化。筆者所在學(xué)校的學(xué)生復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的最終成績=平時(shí)成績（20%）+視頻學(xué)習(xí)成績（20%）+單元測試成績（20%）+考試成績（40%）。視頻成績主要來自華水學(xué)堂系統(tǒng)給出的成績，包括視頻的學(xué)習(xí)完成情況、學(xué)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)次數(shù)等要素。平時(shí)成績=考勤（10%）+課堂預(yù)習(xí)及測驗(yàn)（30%）+課后作業(yè)（60%）。期末成績=期中成績（40%）+期末考試（60%）。單元測試成績=單元測試（60%，取平均值）+討論情況（30%）。

采用多種方式、多項(xiàng)目的考核方法，不僅使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、鞏固課程相關(guān)理論和知識(shí)點(diǎn)，提高了教學(xué)質(zhì)量，也極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

三、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)改革分析總結(jié)

在新冠肺炎疫情期間，針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程存在的問題及課程特點(diǎn)，筆者所在學(xué)校對(duì)測控專業(yè)2018級(jí)教學(xué)進(jìn)行了教學(xué)改革。該模式具有顯著的優(yōu)點(diǎn)，通過提前預(yù)習(xí)、熟悉重難點(diǎn)，明確目標(biāo)任務(wù)，使直播課更能側(cè)重于重難點(diǎn)突破，同時(shí)通過平時(shí)鞏固練習(xí)、討論、測試等多種手段，使學(xué)生感到課程的可操作和挑戰(zhàn)性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。雖然期末考試難度相當(dāng)，但2018級(jí)學(xué)生成績較2017級(jí)明顯有所提高。（見圖1）

學(xué)生不僅學(xué)習(xí)成績有所提高，也在學(xué)習(xí)過程中了解了復(fù)變函數(shù)與積分變換與后續(xù)課程的聯(lián)系，學(xué)習(xí)興趣和熱情得以激發(fā)，同時(shí)應(yīng)用創(chuàng)新能力也得以提高。因此，學(xué)生對(duì)該模式普遍比較滿意，在期末針對(duì)測控專業(yè)2018級(jí)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及效果進(jìn)行的問卷調(diào)查（共88份）中，學(xué)生評(píng)價(jià)較好。（見表1）

當(dāng)然，在教學(xué)過程中，筆者也發(fā)現(xiàn)了一些不足，主要是線上教學(xué)受網(wǎng)絡(luò)環(huán)境影響較大，線上和線下預(yù)習(xí)、練習(xí)、討論等環(huán)節(jié)增加了師生的負(fù)擔(dān)，作業(yè)抄襲現(xiàn)象不容易控制等，希望在今后的教學(xué)實(shí)踐中該教學(xué)模式能夠逐步完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]高艷輝.復(fù)變函數(shù)與積分變換課程在幾門工科類專業(yè)課中的應(yīng)用[J].教育現(xiàn)代化，2019（3）.

[2]宋東哲，吳丹陽，高彥偉.工科復(fù)變函數(shù)與積分變換慕課的實(shí)踐與探索[J].吉林廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2019（8）.

[3]曾喬.基于網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)模式分析[J].無線互聯(lián)科技，2020（8）.

[4]文歡，李欣欣，徐靜，等.慕課背景下的混合式教學(xué)模式探索—以復(fù)變函數(shù)與積分變換課程為例[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2015（23）.

[5]王波，于躍.自動(dòng)化專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)方法淺析[J].教育教學(xué)論壇，2020（2）.

責(zé)編：嘉 悅

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校優(yōu)秀基層教學(xué)組織（編號(hào)：2019-728-62）

作者簡介：齊永奇（1972— ），男，華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)樾畔⒉杉c處理;張濤（1980— ），男，華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院講師，博士，研究方向?yàn)閳D像處理與智能控制。