數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

呂春梅

【摘要】數(shù)學(xué)是一門極為注重教學(xué)方法的學(xué)科，倘若教師的教學(xué)方法存在問題，不僅會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，還容易使學(xué)生產(chǎn)生諸多負(fù)面情緒，影響數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想，能夠利用數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。基于此，本文闡述了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，旨在為廣大數(shù)學(xué)教師提供一些新的教學(xué)思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是高中階段的一門重要學(xué)科，對學(xué)生的畢業(yè)、升學(xué)起到了關(guān)鍵性作用。學(xué)生在日常生活和未來工作中都需要掌握一定的數(shù)學(xué)能力。然而，部分學(xué)生未能養(yǎng)成良好的、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱已經(jīng)成為不爭的事實(shí)。這對他們汲取數(shù)學(xué)新知，提升自身數(shù)學(xué)能力，提高自身綜合素質(zhì)制造了很多困難。對此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時應(yīng)加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)滲透，將嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論知識與直觀的圖形進(jìn)行融合，簡化難點(diǎn)知識，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)深度，從而促使他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果得到有效提升。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念闡述

顧名思義，數(shù)形結(jié)合思想指的是在處理數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用幾何圖形來展現(xiàn)抽象代數(shù)關(guān)系或數(shù)學(xué)表達(dá)式的一種思想。其能夠?qū)崿F(xiàn)集合與代數(shù)的有效融合，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想，有著巨大的應(yīng)用價值與作用。從整體角度而言，數(shù)學(xué)主要由數(shù)和形兩部分構(gòu)成。其中，數(shù)指的是數(shù)量關(guān)系，形則代指空間幾何。在數(shù)學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生如果需要解答數(shù)量關(guān)系或空間圖形方面的問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想，將問題中的數(shù)量關(guān)系或空間圖形進(jìn)行對應(yīng)轉(zhuǎn)變，從而簡化數(shù)學(xué)問題，從而更加便捷和深刻地領(lǐng)略相關(guān)知識點(diǎn)的內(nèi)涵，達(dá)到獲得正解、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的[1]。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意義

（一）激發(fā)數(shù)學(xué)興趣

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的不竭動力，是他們的良師益友。當(dāng)學(xué)習(xí)興趣濃厚時，學(xué)生會更加專注和熱情地學(xué)習(xí)或鉆研知識。而數(shù)學(xué)作為一門形式化和符號化極強(qiáng)的學(xué)科，有著較強(qiáng)的復(fù)雜性與抽象性，學(xué)習(xí)起來非常乏味，這也是眾多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣低下的主要原因。學(xué)生的思維正處于懵懂的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，有著較強(qiáng)的形象化特征，在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識時，極容易產(chǎn)生厭惡或畏難情緒，影響其學(xué)習(xí)效果的提升。而教師倘若將數(shù)形結(jié)合思想滲入教學(xué)，便可使圖形問題代數(shù)化、代數(shù)問題圖形化，從而讓學(xué)生更加形象與立體地領(lǐng)悟相關(guān)知識點(diǎn)的要義，在降低學(xué)習(xí)難度的同時，能夠激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣[2]。

（二）深化概念認(rèn)知

學(xué)生想要學(xué)好數(shù)學(xué)，理解相關(guān)概念是關(guān)鍵。良好的概念理解和記憶能力，能夠提升學(xué)生對各數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的掌握能力，幫助他們逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。而只有明確相關(guān)概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，學(xué)生才能對其進(jìn)行精準(zhǔn)的理解、記憶和運(yùn)用。教師將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到教學(xué)中，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念形象化、直觀化、具體化地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，促使他們更加輕松地掌握數(shù)學(xué)相關(guān)概念，深化他們對知識點(diǎn)的認(rèn)知，從而有序地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力。

（三）提高解題水平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)離不開解題。通過解題，學(xué)生不但能獲得知識與解題思路，而且能夠獲得數(shù)學(xué)思維與能力的提升。在教學(xué)實(shí)踐中，教師能夠清楚地發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在面對圖形或代數(shù)題目時經(jīng)常會不知所措，進(jìn)而造成自信心受挫，阻礙數(shù)學(xué)教學(xué)的順利開展。教師將數(shù)形結(jié)合思想與解題教學(xué)進(jìn)行融合，能夠幫助學(xué)生更加輕松地認(rèn)知圖形和代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，厘清解題思路，促使學(xué)生的抽象思維和邏輯思維得到良好的發(fā)展，推動學(xué)生多向思維習(xí)慣的養(yǎng)成，進(jìn)而為其數(shù)學(xué)綜合能力的提升奠定基礎(chǔ)[3]。

三、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略

（一）在集合模塊中的應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)模塊的理論基礎(chǔ)，還是高考的一個必考知識點(diǎn)。因此，集合教學(xué)非常重要。而集合知識較為抽象，對學(xué)生的邏輯思維有較高的要求，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了很多困難。對此，數(shù)學(xué)教師可將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于集合教學(xué)，教會學(xué)生運(yùn)用圖形替代抽象的數(shù)域關(guān)系，幫助他們構(gòu)建集合思維框架。

具體來說，數(shù)形結(jié)合思想在集合模塊的運(yùn)用可分為兩個部分。第一，韋恩圖的運(yùn)用。例如，在求證兩個已知條件集合之間的關(guān)系時，教師可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助韋恩圖，以正方形表示最大數(shù)域，用圓形表示集合。如此一來，學(xué)生便能直觀看出兩個集合之間的關(guān)系了。第二，數(shù)軸的運(yùn)用。在教學(xué)題目：|x-5|+|x-1|=4，求x的取值范圍這一類型的習(xí)題時，教師可利用數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)軸法直觀且便捷地得出x在1～5之間的答案。

（二）在函數(shù)模塊中的應(yīng)用

函數(shù)是極為重要的數(shù)學(xué)模塊，也是學(xué)習(xí)難度較高的模塊。在講授該部分知識點(diǎn)時，教師應(yīng)合理采取教學(xué)方法，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，以此把代數(shù)知識幾何化展現(xiàn)，從而讓學(xué)生能夠輕松認(rèn)識函數(shù)模塊的要義，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，促使他們處理函數(shù)問題的能力得到有序化培養(yǎng)[4]。

例如，在講授二次函數(shù)時，教師可將數(shù)形結(jié)合思想與求值域的知識點(diǎn)教學(xué)進(jìn)行融合，即所謂的配方法。首先，教師要對函數(shù)進(jìn)行配方，然后依據(jù)圖象確定點(diǎn)的取值范圍在不在所求范圍之內(nèi)。此時，教師常常會遇到兩種情況：其一，定點(diǎn)的取值范圍是整個實(shí)數(shù)取值范圍。這時，教師可根據(jù)表達(dá)式中a的正負(fù)值來繪制出圖象，如果a大于0，則答案為[N，+∞），反之答案為（-∞，N]。其二，函數(shù)存有確定定義域。這時，如果頂點(diǎn)在所求取值范圍內(nèi)，教師就要對函數(shù)的頂點(diǎn)值及所求取值范圍的兩個端點(diǎn)值進(jìn)行計(jì)算，按兩個數(shù)值的大小，確定函數(shù)的最大值及最小值。如果頂點(diǎn)不在所求值范圍之內(nèi)，教師可依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性特征，通過端點(diǎn)值代入的方法求得值域。

（三）在幾何模塊中的應(yīng)用

幾何同樣是一個非常重要的數(shù)學(xué)模塊。學(xué)生普遍缺乏空間思維，學(xué)習(xí)該部分知識點(diǎn)時，常常會出現(xiàn)無法解決相關(guān)問題的現(xiàn)象。對此，教師可加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透，使幾何知識轉(zhuǎn)化為代數(shù)知識，促使學(xué)生充分體悟幾何中各個元素的要義，幫助他們逐步構(gòu)建幾何框架，實(shí)現(xiàn)教學(xué)有效性的提高[5]。

例如，在講授“求橢圓離心率”的知識點(diǎn)時，教師可利用數(shù)形結(jié)合思想，將橢圓問題代數(shù)化，指引學(xué)生逐步構(gòu)建不等式關(guān)系，利用代數(shù)知識解答不等式，最后再將其轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀握Z言。這樣不但能降低離心率求解的難度，而且能讓學(xué)生的解題速度與正確率得到有效提升，從而深化他們對幾何知識及數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，讓他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及綜合能力得到良好的培養(yǎng)。

又如，在講授“直線與圓位置關(guān)系”時，教師可指引學(xué)生運(yùn)用相關(guān)公式求得正解。首先，教師可指引學(xué)生利用所學(xué)知識求出Ax+By+C=0，則直線到（a，b）圓心的垂線距離為d。然后，教師可讓他們對比圓的半徑R與d之間的數(shù)量關(guān)系。此時，如果R小于d，則直線與圓相離;如果R等于d，則直線與圓相切;如果R大于d，則直線與圓相交。

（四）在不等式模塊中的應(yīng)用

不等式模塊是數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)，尤其是線性規(guī)劃問題。很多學(xué)生在解答該類型問題時經(jīng)常出錯，進(jìn)而極易出現(xiàn)自信心或?qū)W習(xí)興趣下降的現(xiàn)象，影響教學(xué)效果。對此，教師應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透。

例如，在處理目標(biāo)函數(shù)為斜率型的問題時，即函數(shù)類型為Z=y-b/x-a。由于其表達(dá)式與直線斜率表達(dá)式極為相似，教師可指引學(xué)生將其表達(dá)式理解成可行域的解（x，y）到定點(diǎn)（a，b）的斜率，然后畫出可行域，并在坐標(biāo)系中標(biāo)出定點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，b），進(jìn)而選取可行解，并與A連接，求出斜率范圍。此時，教師可根據(jù)表達(dá)式前符號的正負(fù)，得出目標(biāo)函數(shù)的最大值的最優(yōu)解和最小值的最優(yōu)解。

（五）在統(tǒng)計(jì)模塊中的應(yīng)用

在教學(xué)實(shí)踐中，教師可將數(shù)學(xué)結(jié)合思想與統(tǒng)計(jì)模塊教學(xué)進(jìn)行深度融合，指引學(xué)生將相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為便于理解和觀看的圖形，或者將統(tǒng)計(jì)圖形轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生對該部分知識點(diǎn)的掌握度，實(shí)現(xiàn)教學(xué)有效性的提高。

例如，在統(tǒng)計(jì)模塊教學(xué)中，教師可指引學(xué)生依據(jù)班內(nèi)學(xué)生的愛好、屬相、家庭人數(shù)等真實(shí)數(shù)據(jù)來制作相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖，從而在深化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的同時，培養(yǎng)其學(xué)以致用意識，促使其數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力得到有效提升。

總之，數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想與手段，對數(shù)學(xué)教學(xué)效果的提升具有很大的推動作用。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，逐步培養(yǎng)其數(shù)形結(jié)合思想及多維度思考意識，從而為其數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提升打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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