改進(jìn)收斂因子和變異策略的灰狼優(yōu)化算法

林梅金，汪震宇

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣東佛山 528225）

受到灰狼捕獵行為的啟發(fā)，Mirjalili 等人［1］提出了一種新的群智能優(yōu)化算法—灰狼優(yōu)化算法（GWO）。該算法具有易于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快和尋優(yōu)性能好的優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)緩存、生產(chǎn)調(diào)度和圖像處理等領(lǐng)域［2］。然而在處理復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，GWO 仍存在收斂速度慢和容易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)。為了解決這些問題，學(xué)者們對GWO 算法做了很多改進(jìn)［3-4］。

為了進(jìn)一步提升GWO 算法的優(yōu)化性能，本文提出了一種基于改進(jìn)收斂因子和變異策略的新型灰狼優(yōu)化算法。仿真結(jié)果表明，所提算法不僅能提高GWO 算法的收斂速度，而且能提升其尋優(yōu)精度。

1 灰狼優(yōu)化算法

在GWO 算法中，每只灰狼都代表著優(yōu)化問題的一個(gè)潛在解，其中最優(yōu)解、優(yōu)解、次優(yōu)解和候選解分別被稱為α 狼、β 狼、δ 狼和ω 狼，獵物的位置對應(yīng)著全局最優(yōu)解。在利用GWO 算法求解優(yōu)化問題時(shí)，假設(shè)優(yōu)化問題維度為D，狼群整體數(shù)量為N，第i 只灰狼所在的D 維空間位置可以用xi=（xi1，xi2，…xiD）來表示。在搜索過程中，灰狼群體的狩獵行為可表示為

其中，xp（t）表示在第t 次迭代時(shí)獵物的位置；xi（t）表示第t 次迭代時(shí)灰狼的位置；A和C是GWO 算法中的兩個(gè)參數(shù)向量，可表示為

其中，r1和r2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；a 被稱為收斂因子，在迭代過程中，其值從2 線性減小到0，有

其中，t 表示當(dāng)前算法迭代次數(shù)，tmax表示算法的最大迭代次數(shù)。

灰狼群體中的其他個(gè)體xi根據(jù)α 狼、β 狼和δ 狼的位置更新自身位置，即

其中，A1、A2和A3含義與A 相同，C1、C2和C3含義與C 相同。

2 改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法

為了進(jìn)一步提高GWO 算法的性能，從控制參數(shù)調(diào)整和位置更新策略兩方面對GWO 算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種基于反余弦收斂因子和變異策略的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法（CMGWO）。

2.1 反余弦收斂因子

在GWO 算法中，參數(shù)向量A 在平衡全局探索能力和局部開發(fā)能力之間發(fā)揮著重要的作用。由式（1）可以看出，當(dāng)│A│＜1 時(shí)，灰狼群體將縮小狩獵范圍進(jìn)行精確搜索，此時(shí)對應(yīng)算法的局部開發(fā)能力；當(dāng)│A│≥1 時(shí)，灰狼群體將擴(kuò)大狩獵范圍，此時(shí)對應(yīng)算法的全局探索能力。由式（2）可知，參數(shù)向量A 的大小主要取決于收斂因子a，即a 的取值將影響整個(gè)GWO 算法的全局探索能力與局部開發(fā)能力。由式（4）可以看出，收斂因子a 采用線性遞減策略由2 逐漸減小到0。然而，GWO 算法在尋優(yōu)過程中會發(fā)生非線性變化，收斂因子的線性遞減策略在一定程度上限制了GWO 算法的尋優(yōu)能力。受反余弦函數(shù)的啟發(fā)，提出一種基于反余弦收斂因子的控制參數(shù)調(diào)整策略，具體更新可表示為

該策略可以非線性地調(diào)整自身取值，在搜索前期，能夠生成較大的值以保證GWO 算法的全局探索能力，加快算法收斂速度；在搜索后期，能夠生成較小的值以增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力，提高解的精度。

2.2 位置變異策略

在GWO 算法中，狼群個(gè)體主要跟隨最優(yōu)解α 狼來更新自己的位置。由式（5）～（8）可以看出，在進(jìn)化后期的搜索過程中，基于最優(yōu)個(gè)體保存策略，狼群個(gè)體將會大量聚集于α 狼周圍，導(dǎo)致狼群搜索多樣性的缺失。尤其當(dāng)α 狼不能尋找到全局最優(yōu)解而陷入局部最優(yōu)解時(shí)，將會使得整個(gè)算法陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致算法早熟收斂和尋優(yōu)精度下降。為了解決這一問題，受粒子群優(yōu)化算法和差分進(jìn)化算法的啟發(fā)，充分利用灰狼個(gè)體之間的差異信息，設(shè)計(jì)了一種新的位置變異策略，具體可表達(dá)為

其中，c∈［0，1］為隨機(jī)系數(shù)，r3為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。

由式（10）可以看出，所提位置變異策略充分考慮了狼群個(gè)體中的信息，借鑒β 狼和δ 狼之間的差異性，提高了種群搜索的多樣性；同時(shí)利用最優(yōu)個(gè)體α 狼與當(dāng)前灰狼個(gè)體位置之間的差異性信息，增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)解的能力。

2.3 改進(jìn)算法步驟

由此可得出改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法（CMGWO）的步驟為：1）設(shè)置CMGWO 算法的相關(guān)參數(shù)，狼群規(guī)模N、優(yōu)化問題維度D、狼群搜索范圍［xmin，xmax］、算法最大迭代次數(shù)tmax；2）在給定的狼群搜索范圍［xmin，xmax］隨機(jī)生成初始群體；3）計(jì)算每個(gè)灰狼的適應(yīng)度值（fx）i，根據(jù)適應(yīng)度值的大小，確定α 狼、β 狼和δ 狼，并將各自的位置分別記為xα、xβ和xδ；4）根據(jù)式（5）～（8）更新灰狼個(gè)體的位置；5）結(jié)合式（9）和（2）更新參數(shù)向量A，并根據(jù)式（3）更新參數(shù)向量C；6）根據(jù)式（10）更新灰狼個(gè)體的位置；7）判斷算法是否達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)tmax，如果達(dá)到，算法終止，輸出最優(yōu)結(jié)果；否則，跳轉(zhuǎn)至步驟3）。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證CMGWO 算法的性能，本文選取16 個(gè)典型的benchmark 測試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對比，表1 給出了16 個(gè)函數(shù)的相關(guān)信息。其中f1～f9是單峰優(yōu)化函數(shù)，f10～f16是多峰優(yōu)化函數(shù)。

表1 測試函數(shù)

從兩個(gè)不同的方面設(shè)置了對比實(shí)驗(yàn)：1）比較CMGWO 與RMDE［5］，GWO［1］和WOA［6］在16 個(gè)測試函數(shù)上的收斂精度收斂速度；2）比較CMGWO 與NGWO［3］、PSO_GWO［7］、mGWO［8］、EGWO［9］和LGWO［4］在8 個(gè)測試函數(shù)上的收斂精度。

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

各算法的參數(shù)具體設(shè)置如下：1）PSO 算法參數(shù)設(shè)置包括學(xué)習(xí)因子與慣性權(quán)重；2）RMDE 算法參數(shù)設(shè)置包括交叉算子和最大概率系數(shù)；3）GWO 算法、WOA 算法、NGWO 算法、PSO_GWO 算法、mGWO 算法、EGWO 算法和LGWO 算法的參數(shù)設(shè)置與原文獻(xiàn)相同。

3.2 與RMDE、GWO 和WOA 性能對比

為了驗(yàn)證CMGWO 的性能，將其分別與RMDE、GWO 和WOA 進(jìn)行對比。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30 次，取結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。表2 給出了所有算法在16 個(gè)測試函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果。

從表2 可以看出，所提CMGWO 算法在16 個(gè)函數(shù)上均取得了最好的函數(shù)優(yōu)化結(jié)果，特別是在f1、f2、f5～f8、f10～f14、f16這12 個(gè)測試函數(shù)上，CMGWO 算法能夠搜索到理論極值。而且，在f3和f4這2 個(gè)測試函數(shù)上，CMGWO 搜索到的最優(yōu)解已經(jīng)很接近于理論極值了。RMDE、GWO 和WOA 在16 個(gè)測試函數(shù)函數(shù)上均未能搜索到全局最優(yōu)解。

為了更加直觀地展示各種算法在收斂速度方面上的差異，圖1 依次給出了所有算法在8 個(gè)測試函數(shù)上的收斂曲線。從圖1 可以看到，CMGWO 算法在這8 個(gè)測試函數(shù)上收斂速度都是最快的。綜上所述，與RMDE、GWO 和WOA 這3 種優(yōu)化算法相比，CMGWO 算法有著更高的收斂精度和收斂速度。

圖1 4 種優(yōu)化算法在8 個(gè)測試函數(shù)上的收斂曲線

3.3 與NGWO、PSO_GWO、mGWO、EGWO 和LGWO 性能對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提CMGWO 算法的尋優(yōu)性能，將其分別與5 種改進(jìn)GWO 算法進(jìn)行對比。為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，5 種改進(jìn)GWO 算法的函數(shù)優(yōu)化結(jié)果均來自于各自的原文獻(xiàn)。同時(shí)為了更加可靠地評價(jià)算法的優(yōu)化性能，只選取了這5 種改進(jìn)算法在共同的8 個(gè)測試函數(shù)上的測試結(jié)果。每個(gè)算法均獨(dú)立運(yùn)行30 次，取30 次后的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，如表3 所示。

表3 CMGWO 與NGWO、PSO_GWO、mGWO、EGWO 和LGWO 結(jié)果對比

從表3 可知，CMGWO 算法在7 個(gè)測試函數(shù)上（f1、f3～f5、f12～f14）都能取得最好的優(yōu)化結(jié)果，特別是在f1、f5、f12～f14這5 個(gè)函數(shù)上能夠?qū)ふ业嚼碚摌O值，在f3和f4這兩個(gè)測試函數(shù)上很接近于理論極值。僅在測試函數(shù)f10上，優(yōu)化結(jié)果差于PSO_GWO 和EGWO。NGWO 和mGWO 算法僅能在f13和f14這2 個(gè)測試函數(shù)上搜索到理論極值。PSO_GWO 算法僅在f10這個(gè)測試函數(shù)上取得了最好的優(yōu)化結(jié)果但未能搜索到理論極值。EGWO 和LGWO 在8 個(gè)測試函數(shù)上均未能取得最好的優(yōu)化結(jié)果。

綜上所述，與5 種已有的典型改進(jìn)GWO 算法相比，CMGWO 算法在8 個(gè)測試函數(shù)上有著更好的表現(xiàn)，能夠進(jìn)一步增強(qiáng)GWO 跳出局部最優(yōu)解的能力。

4 小結(jié)

針對GWO 算法存在的不足，本文提出了一種基于改進(jìn)收斂因子和變異策略的新型灰狼優(yōu)化算法（CMGWO），并在16 個(gè)測試函數(shù)上進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，與3 種智能優(yōu)化算法和5 種典型改進(jìn)GWO 算法相比，所提出的CMGWO 算法具有更快的收斂速度和更高的收斂精度。