離散alpha偏正態(tài)分布：性質(zhì)和參數(shù)估計

魏正元，彭天奎，周曉婭，劉 美

（重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054）

2010年，Elal-Olivero［1］首次提出了alpha偏正態(tài)分布（ASN），記為X～ASN（α），它比正態(tài)分布和偏正態(tài)分布（SN）［2］更靈活，其概率密度函數(shù)和生存函數(shù)如下：

式中：參數(shù)α控制該分布的偏度和峰度，等式（1）的圖像隨著參數(shù)α的改變可以呈單峰和雙峰的形狀，因此用ASN分布來擬合雙峰有偏的數(shù)據(jù)是可行的。然而，由于所觀測到的樣本幾乎都是離散的，用連續(xù)分布來擬合樣本可能會出現(xiàn)一些偏差，那么，使用ASN分布的離散對應(yīng)物來擬合離散數(shù)據(jù)是具有研究價值的。

設(shè)連續(xù)隨機變量X的生存函數(shù)為SX（x）=P（X≥x），令Y=（下取整函數(shù)），那么隨機變量Y具有概率質(zhì)量函數(shù)：

連續(xù)分布離散化相關(guān)問題研究一直受到國內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注。Nakagawa等［3-4］研究了離散Weibull分布；Jazi等［6-7］研究了離散可逆Weibull分布和離散可逆Rayleigh分布；Chakraborty等［8］定義了離散gamma分布，Chakraborty等［9-10］在此基礎(chǔ)上提出了離散廣義gamma分布，同時研究了離散冪分布。Barbiero［11］討論了連續(xù)二元概率分布的離散化方法并給出了二元指數(shù)分布的應(yīng)用實例。此外，王家華等［12］討論了連續(xù)分布離散化在風(fēng)險分析中的應(yīng)用，任美芳等［13］研究了離散化泊松—指數(shù)混合分布并討論了它的性質(zhì)和參數(shù)估計，本文中通過等式（3）提出了離散alpha偏正態(tài)分布，它包含了Roy［5］提出的離散正態(tài)分布。

1 離散alpha偏正態(tài)分布

定義1若離散隨機變量Y具有如下概率質(zhì)量函數(shù)

式中：y=0，±1，±2，…，α∈R，稱Y服從離散alpha偏正態(tài)分布（DASN），記Y～DASN（α）。

注1由定義Y=，X～ASN（α）及等式（3），有

圖1展示了3個不同參數(shù)值下DASN（α）的概率質(zhì)量條形圖，隨著參數(shù)α的變化，圖形呈現(xiàn)不同的形狀。

圖1 DASN分布在α=-2、0.5、3時的概率質(zhì)量條形圖

注2 若隨機變量Y～DASN（α），有

1）Y的概率質(zhì)量函數(shù)有如下遞推關(guān)系式

2）Y的累計分布函數(shù)如下

3）當(dāng)α=0時，那么Y服從離散標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即Y～DN（0，1），即方程（4）退化為

4）當(dāng)α→±∞時，那么Y服從離散雙峰正態(tài)分布（關(guān)于雙峰正態(tài)分布詳細(xì)內(nèi)容參見文獻(xiàn)［1］），記Y～DBN，即等式（4）退化為

命題1若隨機變量Y～DASN（α），那它的高階矩存在，且為

這里α∈R，n∈N+。

注3特別地，當(dāng)n=1時，分別有

由等式（5）和（6）可得隨機變量Y的方差Var［Y］=E［Y2］-（E［Y］）2，此處略。通過比值判別法可知級數(shù)是收斂的，因此，對于任意的α∈R，E［Y］和Var［Y］是有界的，應(yīng)用R軟件的DEoptim函數(shù)計算出E［Y］和Var［Y］的范圍如下

命題2若隨機變量Y～DASN（α），有

1）Y的生存函數(shù)如下

等式（7）由定義SY（k）=P（Y＞k）=1-F（k-1）即可得出。值得注意的是，DASN（α）的生存函數(shù)與ASN（α）的生存函數(shù)（2）相同。

2）由等式（7）可得Y的失敗率函數(shù)為

不同參數(shù)值下DASN（α）的失敗率函數(shù)如圖2所示。

圖2 DASN分布的失敗率函數(shù)曲線

從圖2可以看出：隨著參數(shù)α的取值不同，失敗率函數(shù)出現(xiàn)不同的形狀，借助R軟件計算，當(dāng)α的取值在-1.83～1.14時，失敗率呈嚴(yán)格單調(diào)遞增趨勢；當(dāng)α的取值大于1.14或者小于-1.83時，失敗率呈先遞增后遞減然后再遞增的趨勢。

由文獻(xiàn)［1］可知，若連續(xù)隨機變量X～ASN（α），令T=μ+σX，這里μ，σ分別為位置和尺度參數(shù)，那么T具有如下生存函數(shù)

記T～ASN（μ，σ，α）。

定義2若離散隨機變量Z=有如下概率質(zhì)量函數(shù)

其中T～ASN（μ，σ，α），m=（z-μ）/σ，z=0，±1，±2，…，（α，μ）T∈R2，σ＞0，稱Z～DASN（μ，σ，α）。

注4當(dāng)μ=0，σ=1時，等式（8）退化為等式（4）。

命題3若隨機變量Y～DASN（α），Z～DASN（μ，σ，α），關(guān)系式Z=μ+σY成立的充要條件是μ為整數(shù)且σ=1。

證明：因為當(dāng)Z=μ+σY成立時，有

P（Z=μ+σy）=P（Y=y）成立必須滿足σ=1，又因為隨機變量Y和Z=μ+Y必須是整數(shù)，所以μ也是整數(shù)，反之也成立。

2 參數(shù)估計

2.1 最大似然估計

設(shè)Z1、Z2、…、Zn是來自DASN（μ，σ，α）的一個獨立同分布簡單樣本，z1、z2、…、zn是其樣本觀測值，參數(shù)μ、σ和α的對數(shù)似然函數(shù)為：

式中：mi=（zi-μ）/σ；1≤i≤n。對等式（9）分別關(guān)于參數(shù)μ、σ和α求導(dǎo)得到對數(shù)似然方程組

式中A=α［2-α（mi+1/σ）］φ（mi+1/σ）-α（2-αmi）φ（mi）+（2+α2）［Φ（mi+1/σ）-Φ（mi）］，不能直接得到參數(shù)最大似然估計量的顯示表達(dá)式。然而，借助R軟件的DEoptim函數(shù)，可給出最大似然估計量的數(shù)值解。

2.2 隨機模擬

通過求得上述對數(shù)似然方程組的近似解，可以得到參數(shù)μ、σ和α的最大似然估計值。為了研究參數(shù)估計量的優(yōu)良性，進(jìn)行隨機模擬試驗。令α=-3、-1、1、3，位置參數(shù)和尺度參數(shù)分別設(shè)為μ=0，σ=1，樣本量依次為30、50、100，模擬重復(fù)的次數(shù)為1 000。生成離散alpha偏正態(tài)分布的隨機數(shù)步驟如下：

1）考慮連續(xù)隨機變量X～ASN（α），其分布函數(shù)為F（X）。

2）從均勻分布U（0，1）中產(chǎn)生隨機數(shù)U。

3）計算X=F-1（U），令Y=［X］。

3 實證分析

將DASN（μ，σ，α）對一個來自cBioPortal數(shù)據(jù)庫的癌癥數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合，借助R軟件，得到了參數(shù)的最大似然估計值、樣本的對數(shù)似然值以及AIC和BIC，然后將該分布與離散正態(tài)分布以及ASN（μ，σ，α）相比較。

考慮了125例患者首次被診斷出髓母細(xì)胞癌時的年齡，樣本數(shù)據(jù)來自2012年。表2展示了各分布的樣本對數(shù)似然值、AIC和BIC以及參數(shù)的最大似然估計值，圖3分別展示了的概率質(zhì)量圖和樣本數(shù)據(jù)頻率圖。

表1 DASN（μ，σ，α）參數(shù)最大似然估計量的SD和MSE

表2 125例髓母細(xì)胞癌患者首次診斷年齡的最大似然估計值，對數(shù)似然值，AIC和BIC

從表2可以得出：DASN（μ，σ，α）的對數(shù)似然值要大于ASN（μ，σ，α）的對數(shù)似然值，而它的AIC、BIC值要小于ASN（μ，σ，α）的AIC、BIC值，這說明DASN（μ，σ，α）對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果要優(yōu)于ASN（μ，σ，α），同理也優(yōu)于離散正態(tài)分布。

圖3 DASN（2.10，9.52，3.07）的概率質(zhì)量圖（a）和125例髓母細(xì)胞癌患者的年齡樣本數(shù)據(jù)頻率圖（b）

4 結(jié)論

首次提出了離散alpha偏正態(tài)分布，得到了分布的矩、生存函數(shù)和失敗率函數(shù)，同時討論了一些重要的統(tǒng)計性質(zhì)，研究了參數(shù)的最大似然估計，并進(jìn)行了隨機模擬試驗。模擬結(jié)果表明：參數(shù)最大似然估計量的標(biāo)準(zhǔn)差和均方誤差都隨著樣本量n的增大而減小。最后，通過擬合真實樣本數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)定義的離散alpha偏正態(tài)分布的AIC和BIC值小于經(jīng)典的alpha偏正態(tài)分布相應(yīng)的值，這表明使用離散alpha偏正態(tài)分布擬合整數(shù)數(shù)據(jù)的效果比連續(xù)分布alpha偏正態(tài)分布更好。然而，是否所有通過等式（3）得到的離散分布在擬合整數(shù)數(shù)據(jù)時的效果都要優(yōu)于其對應(yīng)的連續(xù)分布，有待進(jìn)一步研究。

附錄

證明命題1

這里