高中物理“等時(shí)圓”模型及應(yīng)用

蔣鑫

[摘?? 要]“等時(shí)圓”是高中物理的經(jīng)典模型，在各類(lèi)測(cè)試中出現(xiàn)頻率較高，為使學(xué)生牢固掌握該模型，并能靈活應(yīng)用，教師在教學(xué)中應(yīng)做好對(duì)等時(shí)圓模型的推導(dǎo)、分析，使學(xué)生掌握結(jié)論，更理解結(jié)論的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

[關(guān)鍵詞]高中物理;等時(shí)圓模型;應(yīng)用

[中圖分類(lèi)號(hào)]??? G633.7??????? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]??? A??????? [文章編號(hào)]??? 1674-6058（2021）02-0055-02

“等時(shí)圓”模型是高中力學(xué)中的重要模型之一，相關(guān)問(wèn)題情境復(fù)雜多變，很多學(xué)生由于不知道該模型，因而在解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)浪費(fèi)了大量的時(shí)間，甚至出錯(cuò)。教學(xué)中，教師有必要對(duì)該模型進(jìn)行深入探討，幫助學(xué)生理解該模式并能應(yīng)用該模型解決問(wèn)題。

一、“等時(shí)圓”模型的引入

如圖1所示，在豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)A處放置一物體，使其分別沿著光滑軌道AB、AC、AD下滑，其中AB為圓環(huán)的豎直直徑，物體沿AB、AC、AD軌道下滑的時(shí)間分別為t1、t2、t3，試分析下滑時(shí)間t1、t2、t3的大小關(guān)系。

設(shè)圓環(huán)的直徑[AB=d]，軌道AD與AB的夾角為[θ]，由幾何知識(shí)可知軌道AD的長(zhǎng)[l=dcosθ]。物體沿著軌道AD下滑時(shí)，加速度[a=gcos θ]。由[l=12at2]，可得t=[2la]=[2dg]?？芍矬w下滑所用的時(shí)間與軌道的長(zhǎng)短、與豎直方向的夾角無(wú)關(guān)，即t1=t2=t3，該模型即為“等時(shí)圓”模型。

二、“等時(shí)圓”模型的分析

“等時(shí)圓”模型推導(dǎo)的難度并不大。該模型還包括另外兩種情境。情境一：物體在豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)沿著不同的光滑軌道運(yùn)動(dòng)至圓環(huán)的低點(diǎn)，所用的時(shí)間相等;情境二：物體沿不同光滑弦上端，由靜止下滑到最低點(diǎn)所用的時(shí)間相等。

為保證學(xué)生在解題過(guò)程中能夠靈活應(yīng)用該模型，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生思考、解答，引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識(shí)該模型，明確模型結(jié)論成立的條件。

問(wèn)題1.一定是最高點(diǎn)和最低點(diǎn)嗎？

“等時(shí)圓”模型中最高點(diǎn)和最低點(diǎn)至少需滿足其中一個(gè)，教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找圓的一條直徑進(jìn)行分析。

問(wèn)題2.一定是光滑軌道嗎？

推導(dǎo)“等時(shí)圓”模型時(shí)桿是光滑的。如果物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的摩擦力不能忽略，不難推導(dǎo)出物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與軌道及豎直方向的夾角相關(guān)，且?jiàn)A角越大，所用的時(shí)間越小。具體表達(dá)式可由學(xué)生自己推導(dǎo)。

問(wèn)題3.物體的初速度一定為零嗎？

假設(shè)物體從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度不為零。設(shè)初速度為v0，圓環(huán)的半徑為R，物體沿圓環(huán)直徑運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，沿著軌道AC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知[2R=v0t1+12gt21]，[2Rcosθ=v0t2+12gcosθt22]顯然其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間并不相同。

問(wèn)題4.不滿足“等時(shí)圓”模型能應(yīng)用其結(jié)論嗎？

高中物理習(xí)題靈活多變，解題思路也多種多樣，解題時(shí)應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，部分習(xí)題雖然不滿足“等時(shí)圓”模型成立的條件，但可通過(guò)添加輔助線間接應(yīng)用。

教學(xué)中通過(guò)設(shè)置上述問(wèn)題，要求學(xué)生思考，使學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的認(rèn)識(shí)更為深刻，并得出以下結(jié)論：其一，模型中的圓環(huán)可以是真實(shí)的事物，也可以是不存在的，相關(guān)點(diǎn)只要與模型中的情形一致，即在相關(guān)的圓上即可。其二，物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)軌道是光滑的。

三、“等時(shí)圓”模型的具體應(yīng)用

1.等時(shí)圓模型的基礎(chǔ)應(yīng)用

講解“等時(shí)圓”模型知識(shí)后，為使學(xué)生感受該模型在解題中的具體應(yīng)用，提高學(xué)生應(yīng)用該模型的能力，教學(xué)中應(yīng)注意設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題情境，并給學(xué)生預(yù)留一定的時(shí)間，讓學(xué)生從“等時(shí)圓”模型獲得啟發(fā)，嘗試尋找解題思路。

[例1]如圖2所示，一長(zhǎng)坡與水平面的夾角為30°，其上有C、O、B三點(diǎn)，且滿足CO=OB=10 m，在O點(diǎn)豎直固定一長(zhǎng)10 m的直桿AO，A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各有一光滑的鋼繩，且均穿有可視為質(zhì)點(diǎn)的鋼球，將兩球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至各繩的末端，則小球在鋼繩上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tAC、tAB分別為（g取10 m/s2）（）。

A.2 s和2 s ??? B.[2 ]s和2 s

C.[2] s和4 s D.4 s和[2 ]s

分析：該題如采用常規(guī)做法，需要找到角度之間的關(guān)系，較為復(fù)雜。事實(shí)上，通過(guò)認(rèn)真審題可知A、B、C三點(diǎn)共圓，且A點(diǎn)為圓的最高點(diǎn)，因此可采用“等時(shí)圓”模型解答。解題中繪制過(guò)點(diǎn)A、B、C的圓，直接運(yùn)用“等時(shí)圓”模型解答。由“等時(shí)圓”模型可知，兩個(gè)小球達(dá)到各自繩末端的時(shí)間相等，均為t =[2dg]，根據(jù)題給數(shù)據(jù)可知圓的直徑d=20 m，則t=2 s，正確答案為A。

2.等時(shí)圓模型的延伸應(yīng)用

部分習(xí)題看似與“等時(shí)圓”模型沒(méi)有關(guān)系。但可根據(jù)“等時(shí)圓”模型中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行輔助分析。教學(xué)中為使學(xué)生能夠活學(xué)活用，可設(shè)計(jì)與“等時(shí)圓”模型較為接近的習(xí)題，要求學(xué)生根據(jù)自己的理解作答，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的理解程度及應(yīng)用能力。

[例2]如圖3所示，一豎直放置的光滑圓環(huán)軌道與水平面切于點(diǎn)M，與豎直墻切于點(diǎn)A。豎直墻上的B點(diǎn)與M點(diǎn)的連線和水平面成60°，C為圓環(huán)的圓心。某一時(shí)刻從A、B兩點(diǎn)由靜止釋放a、b兩個(gè)小球，使其分別沿著軌道AM、BM運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn)，c球從C點(diǎn)自由下落至M點(diǎn)，則（）。

A.三個(gè)球同時(shí)達(dá)到M點(diǎn)B. a球最先到達(dá)M點(diǎn)

C. b球最先到達(dá)M點(diǎn)? D. c球最先到達(dá)M點(diǎn)

分析：題目中給出的A、B、C三點(diǎn)并不共圓，因此不能直接用“等時(shí)圓”模型解題。但解題時(shí)可在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，以提高解題效率。因B點(diǎn)并不在圓環(huán)上，其長(zhǎng)度大于其所在的弦，由“等時(shí)圓”模型知a小球比小球b先達(dá)到M點(diǎn)，a小球到達(dá)M點(diǎn)所用的時(shí)間ta=[2dg]。小球c做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間tc=[dg]，顯然c球先于a球到達(dá)M點(diǎn)，三個(gè)小球到達(dá)M點(diǎn)所用的時(shí)間大小關(guān)系為[tb>ta>tc]，正確選項(xiàng)為D。

3.等時(shí)圓模型的強(qiáng)化應(yīng)用

為打破學(xué)生對(duì)“等時(shí)圓”模型的思維定式，可設(shè)計(jì)一些較為新穎的習(xí)題，要求學(xué)生巧妙應(yīng)用“等時(shí)圓”模型分析解答，即將物體在圓環(huán)弦上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為自由落體運(yùn)動(dòng)，從而判斷其運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短。

[例3]如圖4所示，在豎直面內(nèi)有一圓環(huán)，OD為水平線。圓周上有三根互成30°的光滑桿OA、OB、OC，每根桿上各套著一個(gè)小球，將這些小球從三根桿的頂端分別下滑至O點(diǎn)，所用的時(shí)間分別為tA、tB、tC，則其關(guān)系為（）。

A. [tA=tB=tC] ? B. [tA

C. [tA>tB>tC] ????D.無(wú)法確定

分析：認(rèn)真審題可知O點(diǎn)并不是圓的最低點(diǎn)，無(wú)法直接使用“等時(shí)圓”模型，但可間接使用，即作出如圖5所示的輔助線。其中[BB']、[CC']和圓分別切于點(diǎn)B和點(diǎn)C，將其轉(zhuǎn)化到同一直線上，則由“等時(shí)圓”模型可知，小球從OB、OC下滑時(shí)所用的時(shí)間滿足tOB = [tOB']，tOC = [tOC']，又因?yàn)樾∏蜃鲎杂陕潴w運(yùn)動(dòng)時(shí)[tOC'>tOB'>tOA]，因此，tA、tB、tC之間的關(guān)系為[tA

4.等時(shí)圓模型的拓展應(yīng)用

高中物理教學(xué)中，為了提高學(xué)生運(yùn)用“等時(shí)圓”模型，靈活解答物理問(wèn)題的能力，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)難度稍大的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練，使學(xué)生能夠把握“等時(shí)圓”的本質(zhì)，并能融會(huì)貫通。

[例4]如圖6所示，在同一豎直平面內(nèi)離地面高H的定點(diǎn)P到半徑為R的定圓的水平距離為L(zhǎng)，從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上，現(xiàn)使物體從P點(diǎn)釋放后沿軌道下滑到定圓的時(shí)間最短，求該軌道與豎直方向的夾角（H與L滿足題設(shè)要求）。

分析：該題是“等時(shí)圓”模型的拓展應(yīng)用，難度較大。解題時(shí)根據(jù)“等時(shí)圓”模型，以P為“等時(shí)圓”的最高點(diǎn)作出一系列半徑不同的“等時(shí)圓”，使得軌道末端均落在對(duì)應(yīng)等時(shí)圓的圓周上。如圖7所示，物體沿著軌道PM下滑所用的時(shí)間最短，設(shè)PM與豎直方向的夾角為α，由幾何知識(shí)不難得出：[tanα=QD/DP=L/H]，則[α=arc tan（L/H）]。

“等時(shí)圓”模型是高中物理的重要模型之一，將其結(jié)論應(yīng)用于解題，能很好地提高解題效率，因此教學(xué)中教師應(yīng)與學(xué)生一起分析、推導(dǎo)該模型的結(jié)論，尤其通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)該模型的認(rèn)識(shí)，提升應(yīng)用能力。

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（責(zé)任編輯 易志毅）