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    高中物理“等時圓”模型及應(yīng)用

    2021-06-09 18:33:15蔣鑫
    中學教學參考·理科版 2021年1期
    關(guān)鍵詞:高中物理應(yīng)用

    蔣鑫

    [摘?? 要]“等時圓”是高中物理的經(jīng)典模型,在各類測試中出現(xiàn)頻率較高,為使學生牢固掌握該模型,并能靈活應(yīng)用,教師在教學中應(yīng)做好對等時圓模型的推導、分析,使學生掌握結(jié)論,更理解結(jié)論的本質(zhì),從而提高學生的應(yīng)用能力。

    [關(guān)鍵詞]高中物理;等時圓模型;應(yīng)用

    [中圖分類號]??? G633.7??????? [文獻標識碼]??? A??????? [文章編號]??? 1674-6058(2021)02-0055-02

    “等時圓”模型是高中力學中的重要模型之一,相關(guān)問題情境復雜多變,很多學生由于不知道該模型,因而在解答相關(guān)問題時浪費了大量的時間,甚至出錯。教學中,教師有必要對該模型進行深入探討,幫助學生理解該模式并能應(yīng)用該模型解決問題。

    一、“等時圓”模型的引入

    如圖1所示,在豎直圓環(huán)上的最高點A處放置一物體,使其分別沿著光滑軌道AB、AC、AD下滑,其中AB為圓環(huán)的豎直直徑,物體沿AB、AC、AD軌道下滑的時間分別為t1、t2、t3,試分析下滑時間t1、t2、t3的大小關(guān)系。

    設(shè)圓環(huán)的直徑[AB=d],軌道AD與AB的夾角為[θ],由幾何知識可知軌道AD的長[l=dcosθ]。物體沿著軌道AD下滑時,加速度[a=gcos θ]。由[l=12at2],可得t=[2la]=[2dg]。可知物體下滑所用的時間與軌道的長短、與豎直方向的夾角無關(guān),即t1=t2=t3,該模型即為“等時圓”模型。

    二、“等時圓”模型的分析

    “等時圓”模型推導的難度并不大。該模型還包括另外兩種情境。情境一:物體在豎直圓環(huán)上的最高點沿著不同的光滑軌道運動至圓環(huán)的低點,所用的時間相等;情境二:物體沿不同光滑弦上端,由靜止下滑到最低點所用的時間相等。

    為保證學生在解題過程中能夠靈活應(yīng)用該模型,教學中應(yīng)設(shè)計相關(guān)問題,鼓勵學生思考、解答,引導學生深入認識該模型,明確模型結(jié)論成立的條件。

    問題1.一定是最高點和最低點嗎?

    “等時圓”模型中最高點和最低點至少需滿足其中一個,教師可引導學生尋找圓的一條直徑進行分析。

    問題2.一定是光滑軌道嗎?

    推導“等時圓”模型時桿是光滑的。如果物體運動過程中所受的摩擦力不能忽略,不難推導出物體運動的時間t與軌道及豎直方向的夾角相關(guān),且夾角越大,所用的時間越小。具體表達式可由學生自己推導。

    問題3.物體的初速度一定為零嗎?

    假設(shè)物體從最高點運動時的初速度不為零。設(shè)初速度為v0,圓環(huán)的半徑為R,物體沿圓環(huán)直徑運動的時間為t1,沿著軌道AC運動的時間為t2,則由運動學知識可知[2R=v0t1+12gt21],[2Rcosθ=v0t2+12gcosθt22]顯然其運動的時間并不相同。

    問題4.不滿足“等時圓”模型能應(yīng)用其結(jié)論嗎?

    高中物理習題靈活多變,解題思路也多種多樣,解題時應(yīng)具體問題具體分析,部分習題雖然不滿足“等時圓”模型成立的條件,但可通過添加輔助線間接應(yīng)用。

    教學中通過設(shè)置上述問題,要求學生思考,使學生對“等時圓”模型的認識更為深刻,并得出以下結(jié)論:其一,模型中的圓環(huán)可以是真實的事物,也可以是不存在的,相關(guān)點只要與模型中的情形一致,即在相關(guān)的圓上即可。其二,物體由靜止開始運動,且運動軌道是光滑的。

    三、“等時圓”模型的具體應(yīng)用

    1.等時圓模型的基礎(chǔ)應(yīng)用

    講解“等時圓”模型知識后,為使學生感受該模型在解題中的具體應(yīng)用,提高學生應(yīng)用該模型的能力,教學中應(yīng)注意設(shè)計相關(guān)的問題情境,并給學生預留一定的時間,讓學生從“等時圓”模型獲得啟發(fā),嘗試尋找解題思路。

    [例1]如圖2所示,一長坡與水平面的夾角為30°,其上有C、O、B三點,且滿足CO=OB=10 m,在O點豎直固定一長10 m的直桿AO,A端與C點間和坡底B點間各有一光滑的鋼繩,且均穿有可視為質(zhì)點的鋼球,將兩球從A點由靜止開始運動至各繩的末端,則小球在鋼繩上運動的時間tAC、tAB分別為(g取10 m/s2)()。

    A.2 s和2 s ??? B.[2 ]s和2 s

    C.[2] s和4 s D.4 s和[2 ]s

    分析:該題如采用常規(guī)做法,需要找到角度之間的關(guān)系,較為復雜。事實上,通過認真審題可知A、B、C三點共圓,且A點為圓的最高點,因此可采用“等時圓”模型解答。解題中繪制過點A、B、C的圓,直接運用“等時圓”模型解答。由“等時圓”模型可知,兩個小球達到各自繩末端的時間相等,均為t =[2dg],根據(jù)題給數(shù)據(jù)可知圓的直徑d=20 m,則t=2 s,正確答案為A。

    2.等時圓模型的延伸應(yīng)用

    部分習題看似與“等時圓”模型沒有關(guān)系。但可根據(jù)“等時圓”模型中的相關(guān)結(jié)論進行輔助分析。教學中為使學生能夠活學活用,可設(shè)計與“等時圓”模型較為接近的習題,要求學生根據(jù)自己的理解作答,檢驗學生對“等時圓”模型的理解程度及應(yīng)用能力。

    [例2]如圖3所示,一豎直放置的光滑圓環(huán)軌道與水平面切于點M,與豎直墻切于點A。豎直墻上的B點與M點的連線和水平面成60°,C為圓環(huán)的圓心。某一時刻從A、B兩點由靜止釋放a、b兩個小球,使其分別沿著軌道AM、BM運動至M點,c球從C點自由下落至M點,則()。

    A.三個球同時達到M點B. a球最先到達M點

    C. b球最先到達M點? D. c球最先到達M點

    分析:題目中給出的A、B、C三點并不共圓,因此不能直接用“等時圓”模型解題。但解題時可在該模型的基礎(chǔ)上進行分析,以提高解題效率。因B點并不在圓環(huán)上,其長度大于其所在的弦,由“等時圓”模型知a小球比小球b先達到M點,a小球到達M點所用的時間ta=[2dg]。小球c做自由落體運動所用的時間tc=[dg],顯然c球先于a球到達M點,三個小球到達M點所用的時間大小關(guān)系為[tb>ta>tc],正確選項為D。

    3.等時圓模型的強化應(yīng)用

    為打破學生對“等時圓”模型的思維定式,可設(shè)計一些較為新穎的習題,要求學生巧妙應(yīng)用“等時圓”模型分析解答,即將物體在圓環(huán)弦上的運動轉(zhuǎn)化為自由落體運動,從而判斷其運動時間的長短。

    [例3]如圖4所示,在豎直面內(nèi)有一圓環(huán),OD為水平線。圓周上有三根互成30°的光滑桿OA、OB、OC,每根桿上各套著一個小球,將這些小球從三根桿的頂端分別下滑至O點,所用的時間分別為tA、tB、tC,則其關(guān)系為()。

    A. [tA=tB=tC] ? B. [tA

    C. [tA>tB>tC] ????D.無法確定

    分析:認真審題可知O點并不是圓的最低點,無法直接使用“等時圓”模型,但可間接使用,即作出如圖5所示的輔助線。其中[BB']、[CC']和圓分別切于點B和點C,將其轉(zhuǎn)化到同一直線上,則由“等時圓”模型可知,小球從OB、OC下滑時所用的時間滿足tOB = [tOB'],tOC = [tOC'],又因為小球做自由落體運動時[tOC'>tOB'>tOA],因此,tA、tB、tC之間的關(guān)系為[tA

    4.等時圓模型的拓展應(yīng)用

    高中物理教學中,為了提高學生運用“等時圓”模型,靈活解答物理問題的能力,應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)難度稍大的問題,對學生進行拓展訓練,使學生能夠把握“等時圓”的本質(zhì),并能融會貫通。

    [例4]如圖6所示,在同一豎直平面內(nèi)離地面高H的定點P到半徑為R的定圓的水平距離為L,從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上,現(xiàn)使物體從P點釋放后沿軌道下滑到定圓的時間最短,求該軌道與豎直方向的夾角(H與L滿足題設(shè)要求)。

    分析:該題是“等時圓”模型的拓展應(yīng)用,難度較大。解題時根據(jù)“等時圓”模型,以P為“等時圓”的最高點作出一系列半徑不同的“等時圓”,使得軌道末端均落在對應(yīng)等時圓的圓周上。如圖7所示,物體沿著軌道PM下滑所用的時間最短,設(shè)PM與豎直方向的夾角為α,由幾何知識不難得出:[tanα=QD/DP=L/H],則[α=arc tan(L/H)]。

    “等時圓”模型是高中物理的重要模型之一,將其結(jié)論應(yīng)用于解題,能很好地提高解題效率,因此教學中教師應(yīng)與學生一起分析、推導該模型的結(jié)論,尤其通過設(shè)計相關(guān)的問題,進一步加深學生對該模型的認識,提升應(yīng)用能力。

    [參考文獻]

    [1]? 劉佃慶.簡談高中物理模型教學研究和實踐[J].中學物理教學參考,2019(22):8-9.

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    [3]? 陳利.在高中物理教學中把握好物理模型與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)換[J].科技經(jīng)濟導刊,2019(30):171.

    [4]? 仇德霞.關(guān)于高中學生建構(gòu)物理模型的教學策略分析[J].才智,2019(27):168.

    [5]? 陳鋒.高中物理模型的構(gòu)建及其教學策略[J].湖南中學物理,2019(9):36-37+40.

    [6]? 凌劍榮.物理模型在高中物理教學中的構(gòu)建與運用研究[J].教育觀察,2019(25):135+144.

    [7]? 王鵬.重視物理模型 求解物理問題[J].中學物理教學參考,2019(14):36.

    (責任編輯 易志毅)

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