康托集合論為什么是錯誤的理論

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安

康托集合論為什么是錯誤的理論

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安

康托集合論的基本觀點是，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，或者說部分可以和全體相等，而這個觀點正是康托集合論的一個定理的結論。因此，只要我們能夠證明康托集合論的上述定理是錯誤的，那么，我們也就證明了康托集合論是一個錯誤的理論。本文首先根據(jù)客觀事實對康托的上述定理提出質疑，然后詳細地證明上述康托集合論的定理的證明是錯誤的，最后我們得出結論，康托集合論是錯誤的理論。

還有一點值得特別注意，眾所周知，對于康托集合論的基本觀點，即部分可以和全體相等，法國大數(shù)學家柯西卻認為，部分和全體相等是自相矛盾的。本文就是證明了柯西是正確的，而康托爾則是錯誤的。

一、康托集合論關于“一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等”的觀點存在的疑問

為了指出上述疑問，我們必須首先引述康托的上述定理及其證明以及為了這個定理的證明所必需的兩個定義。現(xiàn)在將康托給出的這兩個定義引述如下：

定義1：[0，1]的基數(shù)為c。

定義2：如果存在函數(shù)y=f（x）為集合A→B的一個雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對應的關系。

現(xiàn)在我們再將康托的上述定理及其證明引述如下：

定理，令a，b為實數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c。

這個定理表明，一個無窮集合可以和它的真子集一一對應，部分可以和全體相等。下面我們將指出上面關于部分和全體相等的觀點是存在疑問的。

根據(jù)上述康托集合論的觀點，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以無窮集合[0，2]和它的真子集[0，1]是一一對應的，并且[0，1]是[0，2]的一部分，由于它們是一一對應的，所以部分[0，1]和全體[0，2]是相等的。（這里的相等指的是，在函數(shù)y=2x的條件下，這兩個集合是一一對應的，則它們的元素或者點的數(shù)目是相等的）現(xiàn)在令A=[0，1]，B=[0，2]。對于集合[0，2]，我們取出區(qū)間[1，2]中的無理數(shù)點，而只剩下有理數(shù)點，這時在區(qū)間[0，2]的[1，2]部分只剩下有理數(shù)點，令這樣得到的在區(qū)間[0，2]上的點的集合為C。要注意，這時集合A=[0，1]依然是集合C的真子集，但是這時y=2x就不是集合A=[0，1]→C的雙射函數(shù)了，或者說，集合A=[0，1]→C就不存在雙射函數(shù)。這也就是說，有時候一個無窮集合和它的一個真子集之間就不存在雙射函數(shù)，或者說在這種情況下，康托的上述定理就不能成立。

再有，我們來比較集合B=[0，2]和集合C，看哪一個集合的點的數(shù)目多，由于集合C是去掉了[0，2]的[1，2]部分的無理數(shù)部分，所以集合B=[0，2]的點的數(shù)目比集合C的點的數(shù)目要多。但是根據(jù)康托集合論的理論，由于集合A=[0，1]和集合B=[0，2]是一一對應的，因此它們的基數(shù)相等，即點的數(shù)目相等，于是，集合A=[0，1]的元素的數(shù)目或者點的數(shù)目就比集合C的元素或者點的數(shù)目要多。前面已經(jīng)指出，集合A=[0，1]是集合C的真子集，這樣就得出部分A=[0，1]大于全體C的結果。這個結果顯然和康托集合論的上述定理關于部分和全體相等的觀點是自相矛盾的。

根據(jù)以上的事實，我們完全可以懷疑康托集合論“關于一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等”的觀點的正確性。下面我們就來證明康托集合論的上述定理的證明不能成立。

二、康托上述定理的證明存在的錯誤

1.錯誤之一

為了顯而易見地看出康托集合論的上述定理在證明中存在的錯誤，我們再一次將康托集合論的上述定理及其證明引述如下：

定理：令a，b為實數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]，即等于c。

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c。

在上述定理的證明中，判斷“令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)”是一個錯誤的判斷，根據(jù)這個錯誤的判斷得出的結果“這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c”就不能認為是正確的結果，也就是說，上述定理的證明不能成立。下面我們就來證明這一點。

我們要考慮[a，b]的一個具體情況，即讓a=0，b=2，現(xiàn)在讓我們使用康托集合論的方法，即使用函數(shù)來判斷[0，1]和[0，2]之間的對應關系?，F(xiàn)在最重要的是要認識清楚下面的一個事實：即在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，函數(shù)y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一個雙射函數(shù)，但是在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時候，函數(shù)y=2x則為[0，1]→[0，2]的一個雙射函數(shù)，而這個事實是顯而易見的。根據(jù)上述的事實，我們可以進一步作出判斷，即在[0，1]和[a，b]都在x軸上的時候，y=f（x）=a+（b-a）x并不是[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，但是在[0，1]在x軸上，[a，b]在y軸上的時候，f才是[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，也就是說，有時候，或者有的情況下，f并不是[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，而有的時候，或者有的情況下，f又是[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)。顯而易見，在康托集合論的上述定理的證明中的判斷“令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)”是和上述客觀事實互相矛盾的，因此是一個錯誤的判斷，根據(jù)這個錯誤的判斷作出的結論“[a，b]的基數(shù)也是c”就不能成立，因此康托集合論的上述定理的證明就不能成立，而根據(jù)這個定理建立起來的康托集合論的基本觀點，即一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等的觀點也就是錯誤的觀點，因此康托集合論也就是錯誤的理論。

2.錯誤之二

對于上節(jié)論述的康托集合論的上述定理在證明中存在的錯誤，由于康托本人的粗枝大葉并沒有發(fā)現(xiàn)。在康托看來，他根據(jù)他的兩個集合間一一對應的定義對上述定理的證明是正確的，因為在他看來，他的兩個集合間一一對應的定義無疑是正確的，但是事實上，這個定義又出了錯誤，那是為什么呢？下面我們就來討論這個問題。

在上節(jié)我們已經(jīng)指出，對于[0，1]和[0，2]兩個集合，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一個雙射函數(shù)，因此它們并不是一一對應的關系，而是非一一對應的關系。

但是，當[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時候，y=2x是[0，1]→[0，2]的一個雙射函數(shù)，因此這時，[0，1]和[0，2]才是一一對應的關系。這時，我們還要注意到這樣一個顯而易見的事實，即在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]卻是非一一對應的關系。而[0，1]和[0，2]是兩個實數(shù)點的集合，這是康托集合論的上述定理的前提；而兩個實數(shù)點的集合不可能在一種條件下是一一對應的，而在另一種條件下就是非一一對應的。我們要特別注意的是，[0，1]和[0，2]在y=2x的條件下是一一對應的，但是在y=x的條件下卻是非一一對應的，這是一個客觀事實，而客觀事實應該是我們進行推理和判斷的基礎。因此我們可以得出結論：使用函數(shù)（例如y=2x或者y=x）是不能正確判斷兩個實數(shù)點的集合是一一對應的還是非一一對應的。

現(xiàn)在，我們再引述一次康托的兩個集合間一一對應的定義如下：令A，B為兩個集合，如果存在函數(shù)f為A→B的一個雙射函數(shù)，則A和B為一一對應的關系。

前面我們已經(jīng)指出，使用函數(shù)是不能正確判斷兩個實數(shù)點的集合是一一對應的關系還是非一一對應的關系，而康托的兩個集合間一一對應的定義就是使用函數(shù)來判斷的，因此這個定義就是錯誤的。而康托就是根據(jù)這個定義來證明康托集合論的上述定理的，因此康托集合論的上述定理不能成立。

根據(jù)以上的論述，我們可以得出結論，康托的上述定理的證明不能成立，康托集合論的理論也就不能成立。

自然有人要問，為什么不能使用函數(shù)來判斷兩個集合間是否一一對應呢？這個問題比較復雜，我打算在另外的文章中給予回答。另外，使用超實函數(shù)的理論也能解決前面的問題，有興趣的同志可以參閱我的論文“超實集合論”和“康托集合論存在的矛盾”。

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張喜安，1942年生，男，漢族，遼寧遼陽人，高級工程師，研究領域：集合論﹑微積分和數(shù)學哲學。從2000年發(fā)表8篇論文，代表作：“超實集合論”和“康托集合論存在的矛盾”。