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    一道常見力學(xué)題的解

    2021-06-09 09:21:50蘇國珍
    大學(xué)物理 2021年6期
    關(guān)鍵詞:木板質(zhì)心摩擦系數(shù)

    蘇國珍

    (廈門大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建 廈門 361005)

    很多《力學(xué)》或《普通物理學(xué)》教科書[1,2]中都有以下這樣一道有關(guān)簡諧振動的題目:

    如圖1所示,兩個半徑均為r的圓柱以大小ω0恒定角速度沿相反方向作定軸轉(zhuǎn)動,兩軸在同一水平面內(nèi),相互平行,相距為2l.一質(zhì)量為m的勻質(zhì)長木板放在兩圓柱上,木板與圓柱之間的滑動摩擦系數(shù)為μk.設(shè)初始時刻木板的速度為零,其質(zhì)心C偏離平衡位置距離為x0(0

    圖1

    大部分的解答都認(rèn)為之后木板作簡諧振動,但仔細(xì)分析,發(fā)現(xiàn)木板作簡諧振動是有條件的,在有些情況下木板的運動不再是簡諧振動.本文將分析不同情況下木板可能的運動規(guī)律.

    1 ω0足夠大時,木板的運動規(guī)律

    以處于平衡位置時木板的質(zhì)心為坐標(biāo)原點O,水平向右為x軸正方向,建立圖2所示的坐標(biāo)系.當(dāng)質(zhì)心C離開平衡位置x時,木板的受力情況如圖中標(biāo)示,其中FN1和Ff1為右圓柱對木板的正壓力和摩擦力,F(xiàn)N2和Ff2為左圓柱對木板的正壓力和摩擦力,F(xiàn)G為木板受到的重力,其大小為FG=mg,g為重力加速度.由于木板只在x方向作平動,因此

    圖2

    FN1+FN2=mg

    (1)

    FN1(l-x)=FN2(l+x)

    (2)

    根據(jù)式(1)和(2)可解得

    (3)

    (4)

    于是木板在x方向所受的合力為

    Fx=Ff2-Ff1=μk(FN2-FN1)

    (5)

    x(t)=x0cosωt

    (6)

    以上是大部分參考書中給出的解[3].需要指出的是,上述解成立的條件是木板與圓柱之間始終有相對滑動,這一條件要求vmax=ωx0≤ω0r,即

    (7)

    所以參考書上給出的只是ω0≥ωc條件下的解.

    下面我們重點討論ω0<ωc時,可能出現(xiàn)的解.

    2 ω0<ωc,靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時木板的運動規(guī)律

    若ω0<ωc,則當(dāng)v(t1)=-ωx0sinωt1=-ω0r,即

    (8)

    時,木板與右圓柱之間無相對滑動,此時木板的質(zhì)心坐標(biāo):

    (9)

    假設(shè)之后木板與右圓柱之間能繼續(xù)保持無相對滑動,則木板將以速度ω0r向左作勻速運動.在勻速運動過程中,右圓柱對木板的靜摩擦力等于左圓柱對木板的滑動摩擦力,即

    (10)

    當(dāng)靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時,木板與右圓柱之間能保持無相對滑動的條件是

    Ff1<μkFN1

    (11)

    將式(3)和式(10)代入式(11)可得:x>0.這一結(jié)果表明,只要x>0,上述關(guān)于木板與右圓柱之間無相對滑動的假設(shè)是正確的.

    當(dāng)x≤0時,木板與兩圓柱之間又開始相對滑動,開始滑動的時刻:

    (12)

    當(dāng)t≥t2時,木板又恢復(fù)作簡諧振動.根據(jù)x(t2)=0,v(t2)=-ω0r,可得木板的運動方程為

    (13)

    任意t時刻的速度為

    v(t)=-ω0rcos [ω(t-t2)]

    (14)

    由于v(t)≤ω0r,此后木板將一直作簡諧振動.

    圖3

    3 ω0<ωc,靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)不等時木板的運動規(guī)律

    一般情況下,兩物體間的靜摩擦系數(shù)μs不等于動摩擦系數(shù)μk,通常μs>μk.在μs≠μk的情況下,前兩個階段木板的運動規(guī)律仍然依次為不完整的簡諧振動和勻速運動,但與μs=μk的情況相比,第二階段持續(xù)的時間不同,第二階段以后的運動規(guī)律更復(fù)雜.下面我們作具體分析.

    當(dāng)μs≠μk時,木板與右圓柱之間保持無相對滑動的條件應(yīng)改為

    Ff1<μsFN1

    (15)

    將式(3)和式(10)代入式(15)可解得

    (16)

    當(dāng)x≤-x2時,木板與右圓柱之間產(chǎn)生相對滑動,開始滑動的時刻:

    (17)

    當(dāng)t≥t2時,木板恢復(fù)作簡諧振動,其振動方程可表為

    x(t)=A′cos [ω(t-t2)+φ′)]

    (18)

    其中A′和φ′可由x(t2)=-x2和v(t2)=-ω0r確定,結(jié)果分別為:

    (19)

    (20)

    當(dāng)木板質(zhì)心再次回到x=-x2時,木板的速度v=ω0r,此時木板與左圓柱之間無相對滑動,對應(yīng)的時刻可求得為

    (21)

    t=t3以后木板的運動可作類似分析,具體過程不再贅述.結(jié)果是:時間從t3到t4,其中t4為

    (22)

    對應(yīng)質(zhì)心坐標(biāo)從-x2到x2,木板以速度ω0r向右作勻速運動;時間從t4到t5,其中t5為

    (23)

    對應(yīng)質(zhì)心坐標(biāo)從x2到A′,再從A′到x2,木板作簡諧振動,振動方程為

    x(t)=-A′cos [ω(t-t4)+φ′)]

    (24)

    時間從t5到t6,其中t6為

    (25)

    對應(yīng)質(zhì)心坐標(biāo)從x2到-x2,木板以速度ω0r向左作勻速運動.

    從t=t2到t=t6,木板完成一個周期的運動,其周期大小:

    (26)

    t=t6以后木板不斷地重復(fù)該周期內(nèi)的運動.

    圖4

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