快速反射鏡撓性支承運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)

王大志，樊 越

（1.中國(guó)科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2.成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610106）

引言

快速反射鏡是一種具有高響應(yīng)速度的可動(dòng)反射鏡，它通常與主跟蹤架結(jié)合構(gòu)成大動(dòng)態(tài)范圍、高精度的跟蹤系統(tǒng)，是復(fù)合軸光電跟蹤設(shè)備的重要部件。撓性支承是快速反射鏡的關(guān)鍵部件，主要用于負(fù)載反射鏡，并約束其運(yùn)動(dòng)，以獲得工作所需自由度。撓性支承具有零間隙、免潤(rùn)滑以及響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在快速反射鏡中得到逐步應(yīng)用[1-5]。

目前，快速反射鏡的撓性支承具有多種結(jié)構(gòu)形式，但缺乏相關(guān)對(duì)比分析，對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能有待進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，并且現(xiàn)有設(shè)計(jì)主要依賴(lài)工程師的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。此外，現(xiàn)有撓性支承構(gòu)型是否完備，是否還有其他可能的支承形式可供選擇，這些均是總體設(shè)計(jì)中需要回答的問(wèn)題。

運(yùn)動(dòng)學(xué)原理主要研究物體的約束、自由度及其相互關(guān)系[6-7]。運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)可以理解為運(yùn)動(dòng)學(xué)原理在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，它注重以最少的約束數(shù)目和正確的約束方式限制零件的運(yùn)動(dòng)，使其具有需要的自由度。符合這種原則的機(jī)械結(jié)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)確定、重復(fù)精度高以及元件變形小等優(yōu)點(diǎn)，如運(yùn)動(dòng)學(xué)軸系、運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)接以及精密調(diào)平機(jī)構(gòu)等[8-10]。本文主要從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度研究快速反射鏡撓性支承的設(shè)計(jì)問(wèn)題，旨在建立快速反射鏡撓性支承的完備構(gòu)型和系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，為快速反射鏡的選型、優(yōu)化和工程設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)和依據(jù)。

1 約束與自由度

一個(gè)自由物體在空間具有6個(gè)自由度，包括3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。物體的運(yùn)動(dòng)受到限制，則由“自由狀態(tài)”變?yōu)椤胺亲杂蔂顟B(tài)”。對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生限制作用的其他物體，稱(chēng)為約束物體，簡(jiǎn)稱(chēng)為約束，約束物體對(duì)被約束物體的作用力，稱(chēng)為約束力。它通過(guò)物體之間的相互接觸產(chǎn)生，其作用點(diǎn)為兩物體的接觸點(diǎn)，方向沿接觸點(diǎn)的公法線(xiàn)指向被約束物體。

約束力可以采用節(jié)距為零的旋量，即線(xiàn)矢量W表示為

式中：f表示約束力的大?。籹w是約束力的單位方向矢量；rw是約束力的位置矢量。

自由度是指物體具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，可以采用運(yùn)動(dòng)旋量 δΦ表示

式中：δφ表 示運(yùn)動(dòng)旋量的大??；st為運(yùn)動(dòng)旋量的方向矢量；rt為運(yùn)動(dòng)旋量的位置矢量；pt為運(yùn)動(dòng)旋量的節(jié)距。

約束力的作用線(xiàn)稱(chēng)為約束線(xiàn)，自由度旋量的軸線(xiàn)稱(chēng)為自由度線(xiàn)，如圖1所示。

圖1 約束線(xiàn)與自由度線(xiàn)Fig.1 Constraint line and degree of freedom line

根據(jù)約束力W與自由度 δΦ的互易積為零[11-15]，則有：

式中“°”表示旋量互易積的運(yùn)算符號(hào)。

整理（3）式可得：

式中：θ表示約束線(xiàn)和自由度線(xiàn)的夾角；d表示約束線(xiàn)和自由度線(xiàn)的公垂線(xiàn)段長(zhǎng)度。

根據(jù)（4）式可知，物體的約束線(xiàn)與自由度線(xiàn)滿(mǎn)足如下空間位置關(guān)系：

1）約束線(xiàn)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線(xiàn)相交（包括相交、平行或重合）；

2）約束線(xiàn)與平動(dòng)自由度線(xiàn)垂直（相交垂直或異面垂直）；

3）約束線(xiàn)與螺旋自由度線(xiàn)垂直相交或異面。

已知物體自由度線(xiàn)的數(shù)目F和非冗余約束線(xiàn)的數(shù)目C滿(mǎn)足F+C=6，按照約束線(xiàn)與自由度線(xiàn)的空間位置關(guān)系，給定物體的自由度線(xiàn)，即可確定物體的約束線(xiàn)，反之亦然。

約束線(xiàn)的空間分布表示物體的約束模式，將這些約束線(xiàn)用約束元件代替，即可得到一種機(jī)構(gòu)構(gòu)型。運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)就是通過(guò)合理配置約束數(shù)目和分布方式獲得需要的物體自由度。由于約束和自由度概念的一般性，它對(duì)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有普遍的指導(dǎo)意義。

2 反射鏡的約束模式

如圖2所示，快速反射鏡主要包括基座、反射鏡、鏡框、音圈電機(jī)以及撓性支承等。它通過(guò)相對(duì)的2個(gè)音圈電機(jī)以推拉的方式驅(qū)動(dòng)反射鏡繞兩軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2 快速反射鏡結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure diagram of fast steering mirror

按照光的反射定律，反射光線(xiàn)的方向隨反射面法線(xiàn)方向的變化而變化，反射面的法線(xiàn)可以通過(guò)2個(gè)參數(shù)確定，這樣通過(guò)反射鏡的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)就可以調(diào)整其法線(xiàn)在空間的指向，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)光束的指向控制。因此，快速反射鏡的撓性支承應(yīng)具有2個(gè)相交的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度R1和R2。

根據(jù)約束線(xiàn)與自由度線(xiàn)的空間位置關(guān)系，反射鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度線(xiàn)均與約束線(xiàn)相交，據(jù)此可以確定反射鏡的約束模型，包括一個(gè)約束球CS和一個(gè)約束平面CP。約束球CS由所有過(guò)球心的約束線(xiàn)構(gòu)成，約束平面CP由平面上不全互相平行的約束線(xiàn)構(gòu)成，如圖3所示。

圖3 反射鏡的約束模式Fig.3 Constraint pattern of mirror

約束球CS的球心與自由度R1、R2的交點(diǎn)重合，則CS上的每條約束線(xiàn)與R1、R2相交，約束平面CP與R1、R2確定的平面重合，則CP上的每一條約束線(xiàn)與R1和R2相交，從而使R1、R2與CS和CP中的約束線(xiàn)均相交。

快速反射鏡的自由度數(shù)F=2，可對(duì)它施加4個(gè)非冗余約束，則CS和CP中的任意4條非冗余約束線(xiàn)均可作為快速反射鏡的一種約束模式?？焖俜瓷溏R撓性支承的運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)本質(zhì)上就是通過(guò)配置4條非冗余約束線(xiàn)，使反射鏡具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

3 撓性支承構(gòu)型

細(xì)桿是具有較大長(zhǎng)徑比的桿件，在軸向具有良好的剛性，而在其他方向具有良好的撓性。它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于加工的優(yōu)點(diǎn)，可作為提供純力約束的機(jī)械元件，利用其剛?cè)岫攸c(diǎn)可構(gòu)造不同類(lèi)型的快速反射鏡撓性支承。如圖4所示，細(xì)桿的一端與基座B固定，另一端與物體A固聯(lián)。

圖4 細(xì)桿Fig.4 Slender rod

物體A沿Z向的平動(dòng)自由度通過(guò)細(xì)桿消除，僅具有沿X向和Y向的2個(gè)平動(dòng)自由度以及繞X軸、Y軸和Z軸的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。因此，細(xì)桿在軸向可以看作是剛性的，在橫向可以看作是撓性的。它提供一條沿桿件軸線(xiàn)方向的純力約束線(xiàn)，對(duì)與其固連的物體施加一個(gè)純力約束Ci（用標(biāo)記符號(hào)Ci且兩端帶圓點(diǎn)的線(xiàn)段表示約束線(xiàn)）。

如上所述，快速反射鏡的約束模型是一個(gè)約束球CS和一個(gè)約束平面CP，其中任意4條非冗余約束線(xiàn)均可作為反射鏡的一種約束模式，一共具有4種不同的約束模式，對(duì)應(yīng)4種不同構(gòu)型的撓性支承。

構(gòu)型1。從CS球中取出1條約束線(xiàn)C1，且C1不在CP平面上，再?gòu)腃P平面上取出3條約束線(xiàn)C2、C3、C4，且C2、C3、C4不在CS球上，如圖5所示。這4條約束線(xiàn)C1、C2、C3、C4是反射鏡的第1種約束模式，據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第1種構(gòu)型，如圖6所示。

圖5 第1種約束模式Fig.5 Constraint pattern 1

圖6 第1種構(gòu)型Fig.6 Configuration 1

構(gòu)型2。從CS球中取出3條約束線(xiàn)C1、C2、C3，且C1、C2、C3不在CP平面上，再?gòu)腃P平面中取出1條約束線(xiàn)C4，且C4不過(guò)CS球的球心。這4條約束線(xiàn)C1、C2、C3、C4是反射鏡的第2種約束模式，如圖7所示。圖8所示為反射鏡撓性支承的第2種構(gòu)型，其中C5、C6是為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)添加的冗余約束，C5在CS中選取，C6在CP中選取。

圖7 第2種約束模式Fig.7 Constraint pattern 2

圖8 第2種構(gòu)型Fig.8 Configuration 2

構(gòu)型3。從CS球中取出兩條約束線(xiàn)C1、C2，且C1、C2不在CP平面上，再?gòu)腃P平面上取出兩條相交的約束線(xiàn)C3、C4，且C3、C4均不通過(guò)CS球的球心。這4條約束線(xiàn)C1、C2、C3、C4是反射鏡的第3種約束模式，如圖9所示。據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第3種構(gòu)型，如圖10所示，其中C5、C6是冗余約束，用于保證結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)。

圖9 第3種約束模式Fig.9 Constraint pattern 3

圖10 第3種構(gòu)型Fig.10 Configuration 3

構(gòu)型4。從CS球中取出兩條約束線(xiàn)C1、C2，且C1、C2不在CP平面上，再?gòu)腃P平面上取出兩條平行的約束線(xiàn)C3、C4，且C3、C4均不通過(guò)CS球的球心。這4條約束線(xiàn)C1、C2、C3、C4是反射鏡的第4種約束模式，如圖11所示，據(jù)此配置細(xì)桿可得反射鏡撓性支承的第4種構(gòu)型，如圖12所示。

圖11 第4種約束模式Fig.11 Constraint pattern 4

圖12 第4種構(gòu)型Fig.12 Configuration 4

這4種約束模式均包括4條約束線(xiàn)。第1種約束模式按軸向1個(gè)約束和側(cè)向3個(gè)約束分布，第2種約束模式反之，軸向3個(gè)約束，側(cè)向1個(gè)約束。相對(duì)而言，第1種構(gòu)型承受側(cè)向負(fù)載的能力較強(qiáng)，而承受軸向載荷的能力較弱。第3、4種約束模式在軸向和側(cè)面均具有兩條約束線(xiàn)，承受軸向負(fù)載和側(cè)向負(fù)載的能力適中。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，需要根據(jù)它們的力學(xué)特點(diǎn)，選擇合理的約束模式和構(gòu)型。此外，第1、4種構(gòu)型不存在欠約束和過(guò)約束，易于獲得較高的重復(fù)精度，并具有裝配簡(jiǎn)單、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。第2、3種構(gòu)型為保證結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性增加了冗余約束，對(duì)零件的加工和裝配精度要求更高。

4 結(jié)論

運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)構(gòu)具有良好性能的必要條件，也是進(jìn)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與控制的基礎(chǔ)。本文以細(xì)桿為約束元件構(gòu)造了反射鏡撓性支承的4種完備構(gòu)型，提供了快速反射鏡機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)，為統(tǒng)一認(rèn)識(shí)各種撓性支承結(jié)構(gòu)形式提供了理論依據(jù)。例如文獻(xiàn)[1]所述快速反射鏡屬于第1種構(gòu)型，文獻(xiàn)[2]所述快速反射鏡屬于第2種構(gòu)型（利用球面副提供3個(gè)相交約束），第3和第4種構(gòu)型尚未見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道，是獲得的新型撓性支承。文獻(xiàn)[3]～[5]所述快速反射鏡采用柔性鉸鏈，不屬于細(xì)桿支承，故不作討論。

本文屬于概念設(shè)計(jì)范疇，旨在建立機(jī)構(gòu)正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)，以此為基礎(chǔ)可以進(jìn)行后續(xù)工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)性能分析等，推進(jìn)機(jī)構(gòu)的實(shí)用化。