解析概率基礎(chǔ)在《生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》中的重要作用

朱貴鳳

(天津現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300222)

一、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)涵

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)在生命科學(xué)的研究以及生產(chǎn)實(shí)踐中起著非常重要的作用，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)是集科學(xué)的實(shí)踐性、以及科學(xué)的應(yīng)用性還有方法論于一體的一門學(xué)科，應(yīng)當(dāng)明確的是，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要任務(wù)之一是應(yīng)用于實(shí)踐。憑借統(tǒng)計(jì)推理的能力，學(xué)會(huì)從不確定性和概率的角度認(rèn)真思考問(wèn)題，深刻理解統(tǒng)計(jì)學(xué)的所有基本原理。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的應(yīng)用更為突出。因此，我們說(shuō)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生物學(xué)研究中的應(yīng)用，它結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理和統(tǒng)計(jì)方法，來(lái)理解、分析、推斷和解釋生命過(guò)程中的各種現(xiàn)象和各種實(shí)驗(yàn)調(diào)查數(shù)據(jù)。它屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域。它不僅為設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)提供了正確的手段，而且生物特征識(shí)別能夠給出真實(shí)客觀的科學(xué)結(jié)論。生物數(shù)學(xué)包含了許多分支，其中生物特征學(xué)是最早形成的分支之一，其核心是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和方法研究生物客觀現(xiàn)象和問(wèn)題，在這樣的過(guò)程中形成一門新的學(xué)科，即生物數(shù)學(xué)。由于各種問(wèn)題需要對(duì)生物學(xué)進(jìn)行深入研究，這極大地促進(jìn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)在許多基本方面的發(fā)展和完善。統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，對(duì)于正確理解、正確推斷和正確解釋生命科學(xué)中的各種定量現(xiàn)象，在生物學(xué)界顯得越來(lái)越重要。統(tǒng)計(jì)分析和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是生物科學(xué)研究中不可分割的兩個(gè)部分。統(tǒng)計(jì)分析的原理和方法是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。正確設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)為統(tǒng)計(jì)分析提供了更豐富、更可靠的內(nèi)容信息，二者緊密結(jié)合，得出科學(xué)合理的結(jié)論，不斷推動(dòng)應(yīng)用生物學(xué)研究的快速發(fā)展。因此，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)是人類不可缺少的一門重要學(xué)科?？梢院?jiǎn)單概括為：生物統(tǒng)計(jì)學(xué)主要包括生物統(tǒng)計(jì)學(xué)語(yǔ)言、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)描述、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)分析工具、概率基礎(chǔ)和統(tǒng)計(jì)方法。下面重點(diǎn)介紹概率基礎(chǔ)在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要應(yīng)用。

二、概率基礎(chǔ)在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用

概率基礎(chǔ)主要包括：隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、概率的統(tǒng)計(jì)定義、小概率原理、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的概率分布等。它們是如何應(yīng)用于生物科學(xué)的？

(一)隨機(jī)試驗(yàn)

隨機(jī)試驗(yàn)是指在同一條件下觀察某種生物現(xiàn)象的一種試驗(yàn)，當(dāng)然包括各種科學(xué)試驗(yàn)。比如：新冠病毒在全球范圍內(nèi)肆虐，目前還沒(méi)有完全被人類制服而且控制住，要控制好這場(chǎng)疫情，疫苗起到了至關(guān)重要的作用，全球都在進(jìn)行大規(guī)模的試驗(yàn)，研究開(kāi)發(fā)疫苗。這些就需要進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。

(二)隨機(jī)事件

在人類進(jìn)行的各類社會(huì)實(shí)踐中有些現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生，或不可能發(fā)生。例如，太陽(yáng)會(huì)從西邊升起,魚(yú)兒離開(kāi)水不能存活下去。他們分別稱為不可能事件和必然事件。然而在生物科學(xué)中大量存在的，卻是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象，又例如，某人感染了新冠肺炎病毒，過(guò)馬路恰好遇到了紅燈，等等，這些有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的現(xiàn)象叫隨機(jī)事件。

(三)概率的統(tǒng)計(jì)定義

1．在同一條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生了m次，其比值m比n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值P，那么就把P稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，這樣得出的定義就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。

例如，某大型孵化室記錄了某品種動(dòng)物8批入孵種蛋的孵化結(jié)果，見(jiàn)下表。

從上表可以看出，8批次孵化率圍繞一個(gè)穩(wěn)定值A(chǔ)=0.965做小幅擺動(dòng)。而這個(gè)穩(wěn)定值又無(wú)法準(zhǔn)確地確定。在實(shí)際生活中用它們的加權(quán)平均數(shù)作為孵化率，來(lái)評(píng)價(jià)種蛋質(zhì)量和孵化技術(shù)的好壞，這就是概率基礎(chǔ)在生物科學(xué)的應(yīng)用。

又例如，全球都在研究治療新冠肺炎的疫苗，目前國(guó)內(nèi)至少有四家公司在研究生產(chǎn)疫苗，世界上多個(gè)著名大學(xué)和生物制藥公司合作開(kāi)發(fā)疫苗。但是大家都在關(guān)注疫苗成功的概率是多少？

2．古典概率

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足：隨機(jī)事件的總數(shù)是有限的，每個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性相等，稱為古典概率。

例：某社區(qū)有40人報(bào)名參加防疫志愿者服務(wù)，其中有黨員25人，志愿者分為4個(gè)小組，(每組10人)，現(xiàn)在要挑選一名志愿者，求下列概率：(1)選到的志愿者是第一組的同學(xué)，(2)選到的自愿者是黨員

解 設(shè)A={志愿者是第一組的}，B={志愿者是黨員}

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中概率基礎(chǔ)的一個(gè)有趣的例子就是對(duì)男性和女性出生率的研究。傳統(tǒng)的看法是男孩和女孩出生的比例約各占50%，但事實(shí)是男孩比女孩更容易出生。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在其著作《概率論的哲學(xué)探索》中，根據(jù)法國(guó)的研究資料，研究了男孩或女孩的出生的概率問(wèn)題，經(jīng)過(guò)近10年的統(tǒng)計(jì)研究，法國(guó)每個(gè)地區(qū)出生的男女人數(shù)之比總是在一定數(shù)值比擺動(dòng)，為了找出問(wèn)題所在，拉普拉斯選擇巴黎對(duì)這一地區(qū)進(jìn)行實(shí)地調(diào)查實(shí)驗(yàn)，研究發(fā)現(xiàn)該地區(qū)出現(xiàn)了“重女輕男”的現(xiàn)象，這與中國(guó)的“重男輕女”不同，由于自然因素的影響，必然會(huì)影響統(tǒng)計(jì)規(guī)律。人們不禁要問(wèn)，為什么男孩比女孩多一點(diǎn)？拉普拉斯從概率的角度解釋了這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閹в蠿染色體的精子和帶有Y染色體的精子與卵子交配的機(jī)會(huì)并不完全相同。這也說(shuō)明了概率論基礎(chǔ)知識(shí)在生物學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

(四)小概率原理

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，小概率事件的概率通常界定在小于0.05或0.01之間,這稱為小概率原理。小概率原理已在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行科學(xué)檢驗(yàn)中得到廣泛的應(yīng)用。在后疫情時(shí)期，雖然我們周邊得新冠肺炎的病人幾乎沒(méi)有，也可以說(shuō)現(xiàn)階段在我國(guó)，我們得新冠肺炎的概率屬于小概率事件，但是我們?nèi)匀徊荒艿粢暂p心麻痹大意，我們還是要求人們?cè)诠矆?chǎng)合戴口罩，尤其是乘坐交通工具時(shí)戴口罩，不聚集，勤洗手，常通風(fēng)等等。某種意義上講概率基礎(chǔ)知識(shí)在科學(xué)防控上意義很大。

(五)隨機(jī)變量

在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中每次做的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果至少有兩種可能。若用字母x表示一次試驗(yàn)可能發(fā)生的結(jié)果。那么x的取值范圍就應(yīng)該是數(shù)值0.1.2.....或者某一區(qū)間(a，b)。究竟會(huì)出觀什么結(jié)果當(dāng)然是隨機(jī)的。我們稱這樣的x為隨機(jī)變量。

例如：用某種新冠肺炎疫苗給10名感染新冠肺炎的病人注射后，其痊愈的可能結(jié)果是“0人痊愈”、“1人痊愈”、“2人痊愈”……“10人痊愈”。若用x表示痊愈人數(shù)，那么x的取值為0，1，2，……，10。

例如：測(cè)定某位新冠肺炎患者感染的病毒數(shù)，x表示測(cè)定結(jié)果，則x的取值結(jié)果就是0，1,……。

例如：測(cè)量某個(gè)成年者的體重，表示測(cè)定結(jié)果的變量x所取的值為一個(gè)范圍(a，b)，x值可以是這個(gè)范圍內(nèi)的任何實(shí)數(shù)。

又例如：測(cè)量燈泡的壽命，x表示測(cè)定結(jié)果，則x可能取值為(a，b)內(nèi)的任何數(shù)值。

(六)隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量的概率分布是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)概率基礎(chǔ)中一個(gè)非常重要的基本概念。所謂隨機(jī)變量的概率分布，是指對(duì)所有可能的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果和所有可能結(jié)果發(fā)生的概率的描述，以及對(duì)所有可能的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的研究，以揭示生物世界存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這也是隨機(jī)變量概率分布的重要作用。其中，二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量最常見(jiàn)的分布，正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量最常見(jiàn)的分布。作為概率論基礎(chǔ)上的兩個(gè)重要概念，它們是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中不可缺少的重要內(nèi)容。

1．二項(xiàng)分布

設(shè)X示事件A發(fā)生的人數(shù)，

故稱X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布。記為X～B(n,p)，其中n,p稱為參數(shù)

例如：某國(guó)高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)感染新冠肺炎的概率為0.7，求在這一地區(qū)檢查10人，恰有3人

感染新冠肺炎的概率。

設(shè)X表示檢查10人感染新冠肺炎的人數(shù)

2.正態(tài)分布

正態(tài)分布就是指的是一種大多數(shù)變數(shù)都集中在平均數(shù)附近，由平均數(shù)向兩側(cè)分散的變數(shù)逐漸減少的連續(xù)型概率分布。其分布密度曲線是一條光滑的型似于座鐘的曲線，是一條對(duì)稱而且連續(xù)的曲線。在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，概率基礎(chǔ)的正態(tài)分布起著重要的作用。在人類社會(huì)科學(xué)中，許多變量服從或近似服從正態(tài)分布，如動(dòng)物的日增重、產(chǎn)蛋率、產(chǎn)奶量、產(chǎn)毛量、乳脂率、瘦肉率、體型指數(shù)、某些生理指標(biāo)等，以及人的身高、體重、體重等，血液粘度指數(shù)等等也服從或近似服從正態(tài)分布。實(shí)驗(yàn)誤差和我們班上學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)也近似服從正態(tài)分布。在人類社會(huì)實(shí)踐中，許多概率統(tǒng)計(jì)分析方法都是基于正態(tài)分布的。

注意：一般正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)之間的關(guān)系為

于是：

比如：一群山羊的體重X～N(100,400),試計(jì)算該群山羊體重在80～120 kg范圍內(nèi)的概率。

=Φ(1)-Φ(-1)

=2Φ(1)-1

=2×0.8413-1

=0.6826

即該群山羊體重在80～120 kg范圍內(nèi)的概率為0.682 6這就是運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法研究生物科學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。

三、概率基礎(chǔ)在新冠肺炎科學(xué)防控中的應(yīng)用

新冠病毒在全球肆虐，目前還仍然沒(méi)有得到完全控制。眾所周知：要控制好這場(chǎng)疫情，疫苗起到了至關(guān)重要的作用，以色列的一項(xiàng)研究已經(jīng)顯示，在大規(guī)模接種新冠疫苗后，以色列的疫情防控取得了顯著效果，成為海外第一個(gè)通過(guò)接種疫苗成功遏制疫情的國(guó)家。全球都在關(guān)注疫苗成功的概率是多少？

我們需要了解一下疫苗的原理：疫苗就是基于特異性免疫機(jī)制，所謂特異性免疫具有相當(dāng)?shù)膶Ｒ恍运会槍?duì)特定的外來(lái)異物發(fā)揮免疫作用。當(dāng)病毒進(jìn)入人體后，用它表面的特殊結(jié)構(gòu)穿過(guò)細(xì)胞膜，在細(xì)胞中大量復(fù)制，復(fù)制出新的病毒去感染其他健康的細(xì)胞，迅速地人體內(nèi)的免疫細(xì)胞就會(huì)很快地發(fā)現(xiàn)這些病毒。疫苗的生產(chǎn)過(guò)程是,首先，科學(xué)家從病患的身體上分離出毒株，經(jīng)過(guò)體外細(xì)胞培養(yǎng)，使病毒株大量復(fù)制增值，最關(guān)鍵的一步是將這些毒株用科學(xué)方法進(jìn)行滅活處理，使他們失去原有的致病性，然后將失去毒性的病毒少量的放入人體內(nèi)，人體就會(huì)產(chǎn)生抗體，疫苗除了直接注射滅活的抗原，讓機(jī)體自然產(chǎn)生抗體以外，還有一種是直接注射抗體，這兩種的作用都是一樣的，他們都使人體不再容易感染到病毒。

目前世界很多國(guó)家都在研制疫苗，我國(guó)也有多家公司在研制疫苗，疫苗成功的概率達(dá)到99%以上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他國(guó)家疫苗的成功率。

通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)研究有如下的數(shù)據(jù)表明：在單針接種后28天，陳薇團(tuán)隊(duì)研發(fā)的克威莎疫苗三期臨床試驗(yàn)結(jié)果，該疫苗的總體保護(hù)效力達(dá)到了74.8%，美國(guó)強(qiáng)生公司研發(fā)的也是單針疫苗，盡管都同處于三期臨床試驗(yàn)，但總體保護(hù)效力僅有66%，不過(guò)都高于世衛(wèi)組織規(guī)定的50%。在單針接種后28天陳薇團(tuán)隊(duì)研發(fā)的克威莎疫苗針對(duì)重癥病例的保護(hù)效力則達(dá)到了100%。美國(guó)強(qiáng)生公司疫苗針對(duì)重癥病例保護(hù)效力為85%。見(jiàn)下圖表：表-1.表-2

表-1

表-2

由表-1.表-2知：“從疫苗保護(hù)作用來(lái)看美國(guó)強(qiáng)生公司的疫苗明顯低于陳薇團(tuán)隊(duì)研發(fā)的克威莎疫苗數(shù)據(jù)，從而說(shuō)明了陳薇團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗的效果會(huì)更好?！边@也體現(xiàn)了概率基礎(chǔ)在科學(xué)防控方面起到了重要作用是生物科學(xué)最直接的應(yīng)用。

綜上所述：概率基礎(chǔ)在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著重要的作用，它的應(yīng)用無(wú)處不在,它在我們?nèi)祟惖纳钪薪o予了最具應(yīng)用的廣泛性和實(shí)踐性，尤其在現(xiàn)在為我們抵御病毒侵害提供最有力的理論依據(jù)，為科學(xué)防控打下堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)。