高考數(shù)學(xué)新題型編制的來源和方法探索

江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 蔣孝國 214125

2019年中國高考評價(jià)體系明確了“一核”、“四層”、“四翼”的概念及其在素質(zhì)教育發(fā)展中的內(nèi)涵，回答了“為什么考”、“考什么”、“怎么考”等問題[1].新高考評價(jià)體系將以高考試題為載體體現(xiàn)，新高考數(shù)學(xué)的題型在原來的基礎(chǔ)上增加了多項(xiàng)選擇題和一題多空型的填空題.這對大多數(shù)省市都是新題型，因此教師研究如何命制高考新題型對日常教學(xué)和高考備考有著重要價(jià)值.

任子朝等[2]研究指出新題型突出對邏輯思維能力的考查，加大考生的區(qū)分度，試題會(huì)更加開放.任子朝等[3]還指出多選題的引入有利于提高全卷的得分率，多級(jí)得分模式有利于區(qū)分出高水平學(xué)生，并建議多選題選項(xiàng)設(shè)置上為4個(gè).曹鳳山[4]指出一題多空在發(fā)揮一題一空題型優(yōu)勢的同時(shí)，設(shè)立“中間站”，體現(xiàn)局部結(jié)果，可增加考查內(nèi)容，擴(kuò)大知識(shí)覆蓋面，對于難度較大的試題，可分步得分，豐富了命題形式，提高試卷的區(qū)分度.筆者在教學(xué)實(shí)踐中，積極探索高考新題型的編制來源和方法，整理成文，拋磚引玉.

1 源于課本習(xí)題的改編

教材中的習(xí)題是經(jīng)專家精心選擇，能促進(jìn)學(xué)生對基本概念的理解、對基本方法的掌握，有利于學(xué)生解題能力的形成.大型考試為促進(jìn)師生重視課本，部分試題的原型來自課本，因此命制新題，可以從課本出發(fā).

圖1

原題1考查橢圓的定義、二次函數(shù)的最值和基本不等式等基本知識(shí).在保持題干不變的情況下，筆者從多個(gè)視角通過改編結(jié)論來命制新題.

角度1：“線段”的視角

新題1-1：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PF1的取值范圍為____，PF1·PF2+PO2值為____.（答案：[a-c,a+c]，a2+b2）

角度2：“面積”的視角

角度4：“角度”的視角

評注：以教材中的成題為基礎(chǔ)，從四個(gè)角度橫向聯(lián)系高中數(shù)學(xué)各部分，改編后的新題具有一定的綜合性，兩空的設(shè)置一般是第一空為第二空的求解提供提示或基礎(chǔ).

原題2考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.筆者改編題目條件和結(jié)論，使題目條件更加開放，命制新題2.

新題2：已知θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=a，其中a為常數(shù)且a∈(0,1)，則下面tanθ的值，不可能正確的是（ ）.

2 源于高考（或高考模擬）試題的改編

研究高考試題使教師獲得試題的基本信息，為教師的下一步教學(xué)工作提供改進(jìn)方向，并且對于提高考試質(zhì)量，改進(jìn)和完善考試工作有著重要的作用.

筆者將條件與結(jié)論互換，編制新題3.

圖2

評注：通過對原題的條件與結(jié)論互換是改編成題構(gòu)造新題的重要方式，新題3通過設(shè)置多個(gè)選項(xiàng)，擴(kuò)大知識(shí)覆蓋面，加深知識(shí)考查的深度.

3 源于自主招生試題的改編

原題4（2015清華大學(xué)自主招生第16題）：過△ABC的重心作直線將△ABC分成兩部分，則這兩部分的面積之比（ ）.

原題4是一道自主招生試題，有一定的難度，起點(diǎn)較高，學(xué)生一時(shí)找不到入手點(diǎn)，現(xiàn)將其改造為一個(gè)起點(diǎn)低，有層次的新型題.筆者增加題目的條件相當(dāng)于給學(xué)生一些提示，降低部分難度，改變結(jié)論，擴(kuò)大題目考查知識(shí)的覆蓋面，增強(qiáng)了試題的綜合性.

圖3

評注：改造后的新題4，降低試題求解的門檻，擴(kuò)大知識(shí)的覆蓋面，綜合考查三角形面積公式，向量的共線定理和平面向量基本定理，基本不等式等知識(shí)，提高試題的綜合性.

4 源于競賽試題的改編

圖4

評注：原題5是平面幾何的形式，將競賽題的條件和情境進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為常規(guī)題.

5 源于跨學(xué)科的情境

隨著課程改革，自然學(xué)科與數(shù)學(xué)之間的結(jié)合會(huì)越來越緊密，其它學(xué)科以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)通過其它學(xué)科體現(xiàn)應(yīng)用.這要求教師在日常教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行學(xué)科之間的滲透，加強(qiáng)聯(lián)系.

新題6：已知甲烷分子式為CH4，其中四個(gè)氫原子處在一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)上，而碳原子恰好在這個(gè)正四面體的中心上，碳原子與每個(gè)氫原子之間均有化學(xué)鍵相聯(lián)，若我們把每個(gè)原子均看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)氫原子之間的距離記為1.下列說法中正確的有（ ）.

解析：如圖5，正四面體ABCD（各棱長均相等），O點(diǎn)是正四面體的中心，于是OA=OB=OC=OD，設(shè)O點(diǎn)在底面BCD的投影點(diǎn)為O′，正四面體的棱長為1.

圖5

評注：新題6以化學(xué)為背景，實(shí)質(zhì)求正四面體的體積、外接球半徑和體積等，體現(xiàn)學(xué)科之間的滲透和融合.

6 源于數(shù)學(xué)文化的情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).編制與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，以一首唐詩為情境命制考查充分條件、必要條件為例.

新題7：王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳送至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）.

A.必要條件 B.充分條件

C.不充分條件 D.不必要條件

這首詩最后一句反映戍邊將士為保家衛(wèi)國所發(fā)出的堅(jiān)定誓言，與數(shù)學(xué)結(jié)合，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)不只是抽象的概念和繁瑣的計(jì)算，也具人文情懷.本題正確選項(xiàng)為A、C.

評注：以數(shù)學(xué)文化為情境命制試題，教師要充分挖掘教材以及其他素材中可以運(yùn)用到教學(xué)中的相關(guān)資料來豐富學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

7 源于常見結(jié)論

數(shù)學(xué)中有很多常見結(jié)論，我們可以通過對這些結(jié)論的研究來編制新題.

推廣：若直線AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p＞0)的軸上的一點(diǎn)P(n,0)，與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值.即x1·x2=n2，y1·y2=-2pn.

通過拋物線性質(zhì)及推廣，編制新題8.

圖6

評注：本題源于一些已知的結(jié)論，采用演繹推理方法命制試題，即從預(yù)先已知的定理或正確的結(jié)論出發(fā)，按照一定的目的進(jìn)行運(yùn)算或者推理，得出某種結(jié)論，由此設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)試題.這是一項(xiàng)創(chuàng)造性的工作，常常與數(shù)學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)聯(lián)系在一起，能創(chuàng)作出新穎的試題.

隱去或部分隱去真實(shí)、確定的完整數(shù)學(xué)意義的構(gòu)成要素，要求應(yīng)答者構(gòu)造完整數(shù)學(xué)意義的陳述，這種構(gòu)造過程就是編制數(shù)學(xué)題.從上文，我們得到編制新題型的方法一般有改編成題和編制新題兩種，編制的來源見下表1.

表1編制新題型的來源

習(xí)慣上把已有的題目稱為成題.根據(jù)成題改編，所得的新題源于陳題、但又有一定的新意，是編制新題的一種常用方法.本文改編成題的方法見下表2.

上述編制新題型的來源和方法只是筆者的探索，實(shí)際上編制新題的來源也可源于實(shí)際問題、高等數(shù)學(xué)背景、給定條件構(gòu)造新題等，改編成題的方法也不限于筆者的做法，也可將條件、結(jié)論一般化或特殊化等等，

表2改編成題的方法

這需要我們共同探索.