一道2020年高考數(shù)列題的證法探究

試題 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.（2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)）.

這道考題的第（1）問是以數(shù)列遞推式為背景，求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，此問題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，邏輯推理性很強(qiáng)，具有很大的探究?jī)r(jià)值，具有很高的訓(xùn)練價(jià)值，具有很強(qiáng)的代表性，是一道訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題，很值得深入探究.下面給出此題第（1）問的幾種證法，旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考，旨在對(duì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.

證法1（試驗(yàn)法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：若an＝2n＋1，則an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，又3an－4n＝3(2n＋1)－4n＝6n＋3－4n＝2n＋3，此 時(shí)an＋1＝3an－4n成立，所以an＝2n＋1.

證法2（數(shù)學(xué)歸納法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：（i）當(dāng)n＝1時(shí)，由an＝2n＋1知，a1＝3，符合題意，故當(dāng)n＝1時(shí)，an＝2n＋1成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)，an＝2n＋1成立，即ak＝2k＋1成立.則n＝k＋1時(shí)，因 為ak＋1＝3ak－4k=3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1，所 以 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an＝2n＋1成立.由（i），（ii）可知，對(duì)于任意正整數(shù)n，an＝2n＋1成立.

證法3（正向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，證 明 如 下：因 為an＋1＝3an－4n，所以a2－5＝3(a1－3)，a3－7＝3(a2－5)，a4－9＝3(a3－7),……an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].因?yàn)閍1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

證法4（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an-(2n＋1)],an-(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，……a2－5＝3(a1－3).因 為a1＝3，即a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

證法5（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：因?yàn)閍n＋1＝3an－4n①，所 以an＝3an－1－4·(n－1)②;①-②，得an＋1－an＝3an－3an-1－4，所以an＋1－an－2＝3(an－an－1－2)，所以an－an－1－2＝3(an－1－an－2-2),……a4－a3-2＝3(a3－a2－2)，a3－a2－2＝3(a2－a1－2).因?yàn)閍2－a1－2＝0，所 以an＋1－an－2＝0.于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝3，公差d＝2的等差數(shù) 列，故an＝a1＋(n－1)d，從 而an＝3＋(n－1)·2，即an＝2n＋1.

證法6（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，證 明 如 下：令bn＝an－(2n＋1)，因 為an＋1＝3an－4n，所 以bn＋1＝3bn，從而bn＋1＝3bn＝32bn－1=33bn-2=……=3n－1b2=3nb1.所 以b1＝0，故bn＝0，即an－(2n＋1)＝0，于是an＝2n＋1.

作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師，一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘，只有潛心研究高考試題，從中探究出更多潛在價(jià)值，才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴、有的放矢，才能確保對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng)、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題，在尋求解法的同時(shí)，要領(lǐng)略考題的本質(zhì)，挖掘其深刻的內(nèi)涵，才能充分發(fā)揮考題的功能和作用.