由雙曲線中點(diǎn)弦問題引發(fā)的研究性學(xué)習(xí)

安徽省寧國(guó)市寧國(guó)中學(xué) 陳曉明 242399

圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn).它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.這種一般方法有時(shí)運(yùn)算量大且容易出錯(cuò)，而點(diǎn)差法的出現(xiàn)給問題帶來新的契機(jī).下面是筆者所在學(xué)校一道期中考試試題，課堂上筆者讓學(xué)生大膽地去嘗試，去思考，去表達(dá)……，結(jié)果有不少新的發(fā)現(xiàn)，得到許多意外收獲！課堂驚喜不斷，精彩紛呈！

1 課堂實(shí)錄

首先出示題目，先給時(shí)間讓學(xué)生充分思考.

教師：大家思考得怎樣，誰(shuí)來談?wù)勛约旱南敕ɑ蛘呃Щ螅?/p>

圖1

教師：大家看看此解法嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

學(xué)生2：要考慮斜率是否存在.l的方程可設(shè)為y-1=k( )x-2（當(dāng)斜率存在時(shí)），或x=2（當(dāng)斜率不存在時(shí)）.對(duì)于本題所給的數(shù)據(jù)，x=2時(shí)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )2,0，符合斜率存在時(shí)的軌跡方程2x2-y2-4x+y=0，因此可以合并.

教師：很好.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.

教師：對(duì)呀，同學(xué)們看看二次項(xiàng)系數(shù)2-k2為0時(shí)情況怎樣？

學(xué)生4：當(dāng)2-k2=0時(shí)，k=±2，因此直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)原方程成為一元一次方程，只有唯一解.所以這種情況不成立.

教師：我們這幾位同學(xué)太厲害了，找到了錯(cuò)解1中很不容易發(fā)現(xiàn)的3個(gè)邏輯錯(cuò)誤.

學(xué)生6（錯(cuò)解2：點(diǎn)差法）：前面我們學(xué)習(xí)橢圓時(shí)出現(xiàn)中點(diǎn)弦問題我們用了點(diǎn)差法，我這里也試著用，發(fā)現(xiàn)真還行得通.

圖2

教師：真是簡(jiǎn)單多了！在解析幾何中，涉及直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)且與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，先設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程，兩式相減，整理可得一個(gè)既有直線斜率又有中點(diǎn)坐標(biāo)的式子，這就是“點(diǎn)差法”[1].這一類題型，若恰當(dāng)?shù)夭捎谩包c(diǎn)差法”設(shè)而不求的技巧，可實(shí)現(xiàn)數(shù)量間的合理轉(zhuǎn)化，及相應(yīng)知識(shí)的合理遷移，使未知轉(zhuǎn)化為已知，運(yùn)算更加簡(jiǎn)捷.

學(xué)生7：這種解法沒有邏輯錯(cuò)誤了嗎？

教師：對(duì)呀，大家看看呢？

學(xué)生8：有，要由已知條件說明直線P1P2的存在性.

學(xué)生10：當(dāng)直線P1P2的斜率不存在時(shí)符合題意，錯(cuò)解1中已討論；當(dāng)直線P1P2的斜率為0（直線OP斜率不存在）時(shí)，中點(diǎn)P

他的一句話像平地驚雷，把大家都驚呆了.他接下來展示了自己的“杰作”，如圖3所示.

圖3

原來我們同學(xué)都有平時(shí)隨手畫草圖的習(xí)慣，他是隨手畫的.但是仍然蒙蔽了許多同學(xué)，有同學(xué)在下面喃喃私語(yǔ)，這種情況也是有可能的吧？

教師：同學(xué)們研究一下這種情況到底可不可能？

過了一會(huì)兒，筆者用幾何畫板展示了“真相”，如圖4所示.

圖4

當(dāng)直線與雙曲線交于異支時(shí)，也只是圖中的兩點(diǎn)，不可能像圖3那樣在右上方還有一個(gè)交點(diǎn).真相大白后，同學(xué)們真切感受到作圖規(guī)范的重要性.

教師：看來我們同學(xué)真要改掉平時(shí)隨手畫圖的壞習(xí)慣了.

學(xué)生12：直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)P1,P2什么時(shí)候在同支，什么時(shí)候在異支呀？

教師：分類討論得非常好，那下面我們用幾何畫板演示一下（滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓復(fù)雜問題變得直觀，易懂）.可以看到，當(dāng)過定點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過定點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線不平行時(shí)直線與雙曲線肯定有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

學(xué)生14：我想知道線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡到底是一個(gè)怎樣的圖形？

教師：這個(gè)問題問得好，提出問題比解決問題更重要.看誰(shuí)能知道這個(gè)問題的答案？

圖5

2 教學(xué)思考

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的核心是探究.探究包含兩個(gè)過程，即“探”的過程和“究”的過程.“探”包括解題思路的探尋，數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，數(shù)學(xué)問題的探討，問題結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)猜想的提出，數(shù)學(xué)命題的推廣等；“究”包括數(shù)學(xué)規(guī)律的檢驗(yàn)，數(shù)學(xué)問題背景的追查，數(shù)學(xué)對(duì)象之間邏輯關(guān)系的追究，數(shù)學(xué)問題結(jié)論的驗(yàn)證，數(shù)學(xué)猜想和命題推廣的證明等.也可以簡(jiǎn)單地說，“探”是弄清是什么的過程，“究”是弄清為什么的過程[2].

在解題教學(xué)中,有些教師一堂課能講很多題目，有些題目點(diǎn)到為止，其“含金量”會(huì)有多少？因?yàn)閷W(xué)生缺少了各種體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，沒有了比較分析，一旦遇到了不同的問題，當(dāng)然不會(huì)隨機(jī)應(yīng)變，因此考場(chǎng)上經(jīng)常出現(xiàn)教師講過的題學(xué)生仍然不會(huì)做的現(xiàn)象就不足為奇了，解題教學(xué)要講究質(zhì)量，“題不在多，經(jīng)典就行”.一道題講完后讓學(xué)生多些反思，多些探究，一定會(huì)有驚喜出現(xiàn)，這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不會(huì)成為一種負(fù)擔(dān)，而是一種樂趣[3].