一道全國(guó)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽題的探究

福建省莆田第五中學(xué) (351100) 黃洪飛

圖1

1．探究一般性結(jié)論

上述結(jié)論揭示了特殊的橢圓C的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線的一個(gè)關(guān)聯(lián)性質(zhì)，那么，對(duì)于一般的橢圓，是否具有這一性質(zhì)？經(jīng)探究，可得：

圖2

類似地，容易得到雙曲線、拋物線的相應(yīng)結(jié)論.

結(jié)論3 已知拋物線C：y2=2px(p>0),過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)P作拋物線C的切線PA,PB,A,B為切點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則A,F,B三點(diǎn)共線，且PF⊥AB.

2.探究結(jié)論的逆命題

上述結(jié)論揭示了圓錐曲線的準(zhǔn)線與相應(yīng)焦點(diǎn)的一個(gè)關(guān)聯(lián)性質(zhì)，那么，其逆命題成立嗎？即若點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，A,B在曲線C上，若A,F,B三點(diǎn)共線且PF⊥AB，那么直線PA,PB是否是曲線C的切線？經(jīng)探究，有如下結(jié)果：

類似地，可得雙曲線、拋物線的相應(yīng)結(jié)論：

結(jié)論6 已知拋物線C：y2=2px(p>0),點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，A,B在拋物線C上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若A,F,B三點(diǎn)共線且PF⊥AB，則直線PA,PB是拋物線C的切線.

下面只證明結(jié)論6，結(jié)論5可仿照結(jié)論4的證明證之.

3.探究結(jié)論的拓展

由結(jié)論1、2、3的條件，是否還可以得出其他結(jié)論？經(jīng)探究，可得：

綜上，有OP平分線段AB.

由結(jié)論1及7可得：

類似地，可得雙曲線,拋物線的相應(yīng)結(jié)論：

結(jié)論9 已知拋物線C：y2=2px(p>0),過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)P作拋物線C的切線PA,PB,A,B為切點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且平行于x軸(或在x軸上)的直線平分線段AB.

推論3 已知拋物線C：y2=2px(p>0),點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，A,B在拋物線C上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若A,F,B三點(diǎn)共線且PF⊥AB，則 過(guò)點(diǎn)P且平行于x軸(或在x軸上)的直線平分線段AB.

下面只證明結(jié)論9，結(jié)論8可仿照結(jié)論7的證明證之.

綜上，結(jié)論9得證.

以上對(duì)一道預(yù)賽試題的探究，得到了關(guān)于橢圓、雙曲線和拋物線的一系列結(jié)論.對(duì)于一些典型的試題，我們不僅要研究試題的解法，還要引導(dǎo)學(xué)生探究試題理論背景，發(fā)掘試題的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和結(jié)論.這樣，才能領(lǐng)會(huì)到試題的深刻背景，才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海，做到觸類旁通、舉一反三，從而培育和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).