例談求解向量數(shù)量積問題的四種策略

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 (215021) 楊原明

向量數(shù)量積的運(yùn)算是向量問題中的一個重要內(nèi)容，經(jīng)常與平面向量的模與夾角等知識交匯，表現(xiàn)出的題型也多種多樣，如求值、求最值、求參數(shù)范圍等．但有些學(xué)生由于各類題型缺乏科學(xué)的訓(xùn)練和系統(tǒng)地整理，遇到此類問題還是顯得束手無策，本文介紹常用的四種方法，旨在幫助歸納整理，僅供參考．

1.提取合并：就是在給出的向量數(shù)量積條件式中，反用向量相乘的分配律，通過先部分提取向量，然后構(gòu)造出新的向量數(shù)量積的形式達(dá)到轉(zhuǎn)化問題、解決問題的目的．

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

評注：由于向量運(yùn)算滿足乘法的交換率，故在處理數(shù)量積問題時，經(jīng)常使用提取的手段轉(zhuǎn)化問題，本題中通過對所給等式中采取移項、提取相同的向量，展示出了向量間的幾何特征，為后面的判斷提供了強(qiáng)力的支持．

評注：由于題目中的條件單一，怎樣用好這個條件是解題關(guān)鍵，而向量的數(shù)量積關(guān)系向三角形邊之間關(guān)系轉(zhuǎn)化就是如何得到向量平方之間的關(guān)系，其中的提取法是一個重要解題方法．

2.分解變形：在解決向量求積問題時，利用向量的加、減法法則對所給向量式進(jìn)行拆分、分解、重組等轉(zhuǎn)化，使之變形到能夠利用已知條件解題為目的．

圖1

評注：在分解向量時要有目標(biāo)意識，其目的是有利于運(yùn)用已知的向量模和夾角等條件來解題，本題中正確的使用題設(shè)向量表示所求結(jié)論中的向量是解題關(guān)鍵．

圖2

3.引參轉(zhuǎn)化：在求與向量數(shù)量積的最值問題時，可以通過引入?yún)?shù)，將一些變化中的向量表示出來，再用代數(shù)中求最值的方法解決問題．

評注：如果一個動向量是在已知的向量上移動，可靈活運(yùn)用共線向量的定理，引入?yún)?shù)，將動向量用已知向量表示出來，將動向量問題通過已知向量替換轉(zhuǎn)化，就容易達(dá)到解題目的了．

圖3

評注：對于圓(或弧)上的動向量問題，通過設(shè)角為參數(shù)，就可以將動向量與已知的向量建立聯(lián)系，然后再抓住圓心及圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化待求的向量數(shù)量積，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．

4.兩邊平方：解決向量模的問題的一個重要方法就是平方運(yùn)算，同樣在一些向量數(shù)量積問題中，通過對相關(guān)向量式進(jìn)行兩邊平方也可以得到向量的數(shù)量積關(guān)系式，這樣就為成功解題創(chuàng)造了條件．

評注：本題通過認(rèn)真研究題目所給的條件和待求的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)了結(jié)論式其實可以由一個三項式的平方得到，這就是審題的效果．高瞻遠(yuǎn)矚，把握問題的實質(zhì)，然后用整體平方求解，圓滿高效的完成答題任務(wù)．此題還可以挖掘出△ABC是直角三角形，再利用其特點來解題．

評注：由于給出的條件是向量模的等式，且要求的向量數(shù)量積是包含在模的等式中，故而求解此題的最好方法就是兩邊平方．而后面的抓住k>0，運(yùn)用基本不等式求最值就是一些水到渠成、垂手可得的操作了．

以上展示了解決向量數(shù)量積問題的四種常用方法和運(yùn)用技巧，但平時解題中還應(yīng)該需要運(yùn)用到其它方法幫助解題，并且注重精做精練，不斷總結(jié)歸納，增加知識儲備，只有這樣，我們的解題能力、思維品質(zhì)才會有較大的提升．