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    例談判別式法求最值問(wèn)題的類型與技巧

    2021-06-07 05:42:14浙江省東陽(yáng)中學(xué)322100史靜曉
    關(guān)鍵詞:法求判別式換元

    浙江省東陽(yáng)中學(xué) (322100) 史靜曉

    在一些已知等式求某個(gè)代數(shù)式的最值的問(wèn)題中,如果通過(guò)變形能夠得到關(guān)于某個(gè)實(shí)變量的二次方程或二次不等式時(shí),此時(shí)運(yùn)用判別式法求最值也是一個(gè)比較好選擇,下面舉例分析幾個(gè)常見題型,旨在探索解題方法與技巧,供讀者朋友參考.

    一、模型化歸

    通過(guò)代數(shù)變形,將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參數(shù)的二次方程,可抓住方程有解的條件即根的判別式大于或等于零建立不等式,求出此函數(shù)最大值和最小值.

    評(píng)注:通過(guò)對(duì)所得函數(shù)模型的分析思考,成功的將目標(biāo)函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程,再由判別式得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的不等式,求出t范圍,從而面積S的最小值.

    評(píng)注:將二次分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程后,為應(yīng)用判別式法求出函數(shù)的最大值和最小值創(chuàng)造了條件,這是解題關(guān)鍵,此法也是求二次分式函數(shù)值域的重要方法.

    二、消元轉(zhuǎn)化

    在含有多個(gè)變?cè)牡仁街?,通過(guò)等式的轉(zhuǎn)化消去一些變?cè)?,然后再利用轉(zhuǎn)化后的一元二次方程的根的判別式解決求最值問(wèn)題.

    例3 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=0,x2+y2+z2=1,則z的最大值是.

    評(píng)注:本題中有兩個(gè)已知等式,三個(gè)實(shí)變量,消元是首要任務(wù),這樣也就順利轉(zhuǎn)化為二次方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題了.

    例4 設(shè)x,y,z都是實(shí)數(shù)且滿足條件x+y+z=0和xyz=2,求|x|+|y|+|z|的最小值.

    評(píng)注:在利用判別式法求最大值或最小值時(shí),要注意等號(hào)條件的分析,一般都是判別式等于零時(shí)取得,必須清楚這一點(diǎn).

    三、換元變形

    如果題目中含有二次等式條件的,這是運(yùn)用判別式法求解的一個(gè)典型信號(hào),而換元處理是變隱為顯的有效措施.

    例5 設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值為.

    評(píng)注:通過(guò)將欲求的表達(dá)式換元后代入已給等式,得到了一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,再由判別式列出不等式使問(wèn)題得到圓滿的解決.

    評(píng)注:由于題設(shè)所給等式的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,最后得到的不等式也有些麻煩,但是只要方法正確,方向明確,處理得當(dāng),就能順利完成解題目標(biāo).

    四、靈活構(gòu)造

    若條件比較隱晦,比較難發(fā)現(xiàn)破題的方法,則可以通過(guò)構(gòu)造創(chuàng)造出一元二次方程,達(dá)到了運(yùn)用判別式解題的前提條件.

    例7 已知a,b∈R,a2+ab+b2=3,設(shè)a2-ab+b2的最小值和最大值分別是N、M,則M+N=.

    注評(píng):本題換元起不到減元化簡(jiǎn)的效果,因此不能直接代入,通過(guò)重新構(gòu)造并再一次換元,終于得到了所需的一元二次方程,為后面運(yùn)用判別式解題創(chuàng)造了必須的條件.

    評(píng)注:本題是隱含的二次不等式恒成立問(wèn)題,根據(jù)二次不等式的特點(diǎn),通過(guò)不斷構(gòu)造出判別式來(lái)幫助解題,雖然過(guò)程復(fù)雜繁瑣,只要有目標(biāo)、有信心就能使問(wèn)題獲得解決.

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