例談初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)基本步驟及其應(yīng)用*

廣東省東莞市東城中學(xué)(523000) 袁敏華

廣東省惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(516007) 王海青

數(shù)學(xué)概念或原理的教學(xué)都離不開解題,通過解題鞏固和深化所學(xué)的知識與思想方法.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中,教師教的重點在于揭示解決問題的思維過程,學(xué)生學(xué)的重點在于掌握打開解題突破口的方式方法,是學(xué)習(xí)如何解題.解題教學(xué)的關(guān)鍵是注重舉一反三、一題多解、多題一解,通過變式拓展引申由一題通一類,由點帶面地將一類問題及相關(guān)知識方法形成有機的認知結(jié)構(gòu),便于提取和運用,并在解決問題的過程中教學(xué)生學(xué)會思考.

該如何具體實施解題教學(xué)促進有效乃至是高效教學(xué)呢? 著名的數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》[1]中就專門進行了解題研究, 回答了“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題.他著力于研究解題的思維過程并得到了相應(yīng)的“怎樣解題表”,即解題應(yīng)按四個步驟(理解題意、擬訂計劃、實施計劃、回顧反思)進行探究.基于此,在具體的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)重視選擇具有代表性的典型例題,并從分析題意、剖析解題思路、揭示思想方法與價值、變式推廣與回顧反思幾個方面展開教學(xué),以提升學(xué)生的解題能力、反思與遷移能力.

下面以一道解三角形的平面幾何基本問題來探討數(shù)學(xué)解題教學(xué)基本步驟的應(yīng)用及其注意點.

題目: 如圖1,在ΔABC中,∠BAC= 45°,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求高AD的長.

圖1

1 分析題意

“分析題意”是解題教學(xué)的第一個環(huán)節(jié).教師通過了解題目的背景,根據(jù)考查的內(nèi)容、方法和思想剖析此題,能更好地把握本題的重難點,從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從題意中梳理已知條件和隱含條件,聯(lián)系已有的知識方法進而找到問題的突破口.

這是一道解三角形的基本題型, 題設(shè)和圖形簡單明了,以基本三角形為載體,包含有特殊角、直角三角形,給出其中的線段、角度求另一線段高的長.其難點在于條件與結(jié)論之間沒有直接的聯(lián)系,需要尋找第三個量架設(shè)起已知與未知之間的橋梁.

2 剖析解題思路

在解題教學(xué)中教師需要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動,而不僅僅是為了解答而解題.多問幾個“怎么做”“為什么”,啟發(fā)學(xué)生思考歸納相關(guān)的知識點形成靈活的知識結(jié)構(gòu),突出體現(xiàn)解題的思維過程,使學(xué)生在解題過程中既知其然亦知其所以然,進而習(xí)得解決問題的方法.

在初中階段,求線段常用的方法有: 利用等腰三角“等角對等邊”性質(zhì);利用勾股定理;利用全等三角形的性質(zhì);利用相似三角形的性質(zhì);利用三角函數(shù);利用等面積法;利用圓的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)本題的條件和結(jié)論,嘗試著運用以上幾種方法進行思考解決問題.可以發(fā)現(xiàn)有以下幾種解題思路.

思路一: 利用面積法求三角形的高.

分析: 三角形的三邊與之對應(yīng)高的乘積相同, 或者可以利用計算三角形的不同面積公式建立等量關(guān)系, 如(θ為兩邊a,b的大角) .根據(jù)題意有× AC ×sin ∠BAC.在ΔABD,ΔACD中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2.令A(yù)D=h, 有AB=將之代入上述面積公式可得AD=12.

思路二: 利用45°構(gòu)造等腰直角三角形、全等三角形與相似三角形.

分析: 如圖2, 過點B作BE⊥AC交AC于 點E, 可 知ΔABE是 等腰直角三角形, 容易證明得到ΔAFE∽= ΔBCE,ΔBFD∽ΔACD,從而得到有AF=BC=10,FD=2,即有得AD=12.

圖2

沿著這個思路可以做不同的圖形構(gòu)造.如圖3,在高得AD上分別取點E,F, 使得BD=DE,CD=DF.顯然, ΔBDE,ΔCDF是等腰直角三角形, 所以有AE=h ?6,AF=h ?4.因為∠BAD+ ∠CAD=45°,∠BAD+ ∠ABE= 45°, 所以∠CAD= ∠ABE, 同理∠BAE= ∠ACF,可得ΔABE∽ΔCAF.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)有可解得AD=12.

圖3

思路三: 利用45°和軸對稱的性質(zhì)構(gòu)造正方形.

分析: 如圖4,可以考慮將高AD沿著邊AB,AC對折,容易發(fā)現(xiàn)五邊形AD1BCD2是正方形的一部分,將其補充完整得到以高h為邊長的正方形AD1D3D2.在RTΔBD3C中利用勾股定理可得AD=12.

圖4

3 揭示思想方法與價值

當引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考進行一題多解后,須繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生梳理涉及的知識、解題方法與思想,否則會導(dǎo)致學(xué)生對各種各樣的解法和眾多的知識點無所適從,反而影響他們對相關(guān)問題的解決.教師需幫助學(xué)生歸納各種解法的適用范圍,分析特性與通性通法,總結(jié)解題過程中的數(shù)學(xué)思想方法、策略和規(guī)律.

前面的三種解題思路涉及到眾多的平面幾何知識,有等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、正方形與軸對稱等知識點, 解答過程涉及到等面積、轉(zhuǎn)化與化歸、割補、方程與函數(shù)等重要數(shù)學(xué)思想.從以上三種解題思路看,思路一的解題過程最為簡潔,思路二是常規(guī)的思考方式,解題過程相對較為繁瑣,思路三則體現(xiàn)了很強的技巧性.思路一和思路二可以看作是解決這一類問題的通性通法,具有一般性.思路三是特殊方法,當改變45°的大小時這個方法將不再適用.教師在解題教學(xué)中要強調(diào)通性通法的重要性而非技巧性.

4 變式推廣

不管是基礎(chǔ)題型還是綜合題型的教學(xué),都應(yīng)注重回顧反思、變式引申,由一題通一類,將相應(yīng)的知識點、題型和方法聯(lián)系在一起,這既可以避免“題海訓(xùn)練”同時也提高課堂教學(xué)的有效性,幫助學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu).在鼓勵學(xué)生“一題多解”的情況下,教師可通過一般化、特殊化或類比等思想,改變題目的條件或結(jié)論,對題目進行拓展、延伸,引導(dǎo)學(xué)生進行多角度、多方向、多層次的思考,加強對相應(yīng)知識與方法的理解和掌握,進而增強數(shù)學(xué)的發(fā)散與聚合思維能力.

變式1: 改變提問形式,鞏固理解原有問題.

如圖1, 在ΔABC中, ∠BAC= 45°,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求ΔABC的面積.

分析: 變式1 與原題的解題思路一致,目的是加深學(xué)生對此類題目的解答方法的認識.

變式2: 交換題目的條件與問題,深化對同類問題的認識.

如圖1,在ΔABC中,AD= 12,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求∠BAC的度數(shù).

分析: 變式2 要比原題簡單,直接利用勾股定理可求得邊AB,AC的長,再利用上述的兩個面積公式建立等量關(guān)系求得∠BAC的度數(shù).

變式3: 改變特殊角,密切聯(lián)系相關(guān)知識點.

如圖1, 在ΔABC中, 若∠BAC= 30°(或60°, 30°) ,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求高AD的長.

分析: 變式3 與原題的解題思路也基本一致,但思路三在這里不再適用.通過對不同特殊角的處理,可以圍繞問題的解決將相關(guān)的性質(zhì)定理聯(lián)系起來形成有機整體.

變式4: 條件與問題一般化,體現(xiàn)基本思想與方法.

如圖1, 在ΔABC中, 若∠BAC=α(0° < α <90°),AD ⊥BC于點D,已知BD=a,CD=b,求高AD的長.

分析: 變式4 是原題的一般化情形,顯然運用思路一等面積的思想能方便簡潔地求出高AD的長.構(gòu)造等腰三角形、全等三角形或相似三角形則要繁雜得多,同樣思路三在這里也不再適用.另外,α可以在0°至180°的范圍內(nèi)取值,考慮到初中教材只涉及到銳角的情形,故對其取值范圍作此限定.

變式5: 改變圖形結(jié)構(gòu),突出問題的本質(zhì)特征.

如圖5, 在菱形ABCD中, 對角線AC= 6,∠ABC=30°,求菱形ABCD的面積.

圖5

分析: 此題雖然改變了條件中的圖形, 但只要抓住這類題型的本質(zhì)特征, 問題則迎刃而解.萬變不離其宗, 看似是菱形的問題, 實質(zhì)還是運用勾股定理性質(zhì)和等面積思想來解決.由菱形的性質(zhì)得AB=CB,AC⊥BD,AO=CO= 3,BO=DO.令BO=h, 由勾股定理得AB=CB=√根據(jù)面積公式有等式×AC=AB ×CB ×sin ∠ABC, 解得h= 6±結(jié)合題意取進而求得菱形ABCD的面積為

5 回顧反思

從上述三角形的基本問題再到變式推廣問題的解決過程,可以發(fā)現(xiàn)通性通法的重要性.如上述問題,不管同類問題的條件與結(jié)論如何變化,等面積法依然是最簡單直接有效的方法,而適用于某些特殊情形的技巧性方法雖體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的奇異美,卻不具有普適性.所以,教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要重視通性通法的講解,揭示其中蘊含的重要數(shù)學(xué)思想價值,引導(dǎo)學(xué)生對問題進行題型、方法歸類,使之與具體的數(shù)學(xué)概念、原理形成有機的良好認知結(jié)構(gòu),提升運用知識綜合解決問題的能力.

可見,好的解題教學(xué)并不是要過分強調(diào)多做多練,而是要充分利用解題教學(xué)的基本步驟進行解題教學(xué)設(shè)計,通過對適量的有代表性的題目進行變式引申,注重解題思路的剖析,強調(diào)一題多解、多題一解、由一題通一類,從而幫助學(xué)生形成靈活的聯(lián)系緊密的知識與方法網(wǎng)絡(luò).解題教學(xué)還要充分運用“基于教材而高于教材”的原則,利用變式拓展對教材例題與課后習(xí)題進行廣聯(lián)系、深挖掘,充分發(fā)揮教材的引導(dǎo)作用.同時還應(yīng)重視對基礎(chǔ)題型和綜合題型相結(jié)合的變式教學(xué),在夯實基礎(chǔ)的同時提高綜合解決問題的能力.