強(qiáng)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累,深度培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以“圖形面積與整式運(yùn)算的關(guān)系”為例

廣東省廣州市廣州中學(xué)(510630) 周許敏 簡 毅

1 問題背景

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》頒布以來,數(shù)學(xué)活動(dòng)受到高度關(guān)注.這種以活動(dòng)為主題,讓學(xué)生在活動(dòng)中積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索,從中體悟數(shù)學(xué)思想,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式,因此,數(shù)學(xué)活動(dòng)課越來越受到廣大一線教師的關(guān)注,老師們逐漸認(rèn)識(shí)到應(yīng)當(dāng)給學(xué)生“有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程”[1].對(duì)此,筆者也進(jìn)行嘗試和探索,下面以“圖形面積與整式運(yùn)算的關(guān)系”為例,就開放性活動(dòng)、數(shù)學(xué)史融合和數(shù)學(xué)思想體悟的三個(gè)方面實(shí)踐感受與同行分享.

2 實(shí)踐探析

2.1 數(shù)學(xué)活動(dòng)離不開開放性

以活動(dòng)為載體,開展畫一畫、拼一拼、剪一剪等形式多樣的活動(dòng),在一般課型都需要出現(xiàn),但數(shù)學(xué)活動(dòng)課有別于它們,開放性的活動(dòng)是其最重要的特征,這是開展數(shù)學(xué)活動(dòng)課的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)通過自己的“理性重建”將數(shù)學(xué)課“講活”、“講懂”、“講深”[2].使學(xué)生看到活生生的數(shù)學(xué),真正理解數(shù)學(xué),領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)在的思想方法.舉兩個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)和實(shí)施過程說明.

活動(dòng)1: 畫一畫

(1)由4 個(gè)圖1 所示的正方形可拼出什么圖形? 用兩種不同方法計(jì)算它的面積你能得到怎樣的等式?

圖1

(2)把(1)中的正方形改為圖2 所示的長方形,其它不變,情況又會(huì)如何?

圖2

學(xué)生1: 可拼出邊長為2a的大正方形, 能得到等式(2a)2=4a2.

學(xué)生2: 還可以拼成長為4a寬為a的長方形,能得到等式a·4a=4a2.

教師: 很棒,兩位同學(xué)拼了不一樣的新圖形,得到的兩個(gè)等式可以看作是積的乘方和同底數(shù)冪相乘的幾何解釋.那第(2)問可以怎么拼呢? 有多少種拼法? 得到的等式又能解釋我們所學(xué)過的哪些乘法呢?

學(xué)生3: 有3 種拼法(學(xué)生展示) .由此能得到等式4a·b= 4ab,a·4b= 4ab,2a·2b= 4ab.從幾何角度解釋了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式.

學(xué)生4: 老師, 我還可以拼成像圖3 這樣的圖形, 通過用兩種不同方法來計(jì)算陰影部分的面積, 能得到等式(a+b)2?(a ?b)2=4ab.

圖3

教師: 同學(xué)們有不同的想法,而且講得都非常好.特別是還能想到用所給的圖形來圍成新圖形,得到了完全平方公式的一個(gè)變形公式.

活動(dòng)2: 拼圖游戲

每個(gè)小組有若干張如圖4 所示的正方形和長方形紙片,現(xiàn)在利用這些小紙片一起做拼圖游戲.

圖4

(1)請(qǐng)你拼出一個(gè)長方形,使它的面積分別為:a2+2ab和a2+3ab+2b2.寫出所拼兩個(gè)長方形的長和寬,并思考:你有什么發(fā)現(xiàn)?

(2)請(qǐng)仿照上述拼圖方法把二次三項(xiàng)式a2+5ab+3b2分解因式,并思考: 能把二次三項(xiàng)式a2+3ab+b2分解因式嗎? 請(qǐng)你說明由.

教師: 我們通過拼圖對(duì)一些特殊的并且無法用提公因式或公式法分解的二次三項(xiàng)式(這里考慮的多項(xiàng)式均為三個(gè)單項(xiàng)式的和的形式)分解因式.也是從幾何角度去解釋什么是因式分解.你能把二次三項(xiàng)式a2+3ab+b2分解因式嗎?

學(xué)生們紛紛取出1 張紙片①、3 張紙片②和1 張紙片③,嘗試拼出一個(gè)長方形.

學(xué)生5: 老師,紙片能重疊嗎?

教師: 問得好,大家覺得呢?

學(xué)生們: 不行吧……

教師: 為什么呢? 拼圖前后的面積不變,如果重疊的的話,拼圖之后圖形面積就不等于原紙片的總面積了.

學(xué)生6: 老師,我用十字相乘法分解出來了.

教師: 能不能根據(jù)你分解出來的結(jié)果來拼一個(gè)長方形?

該學(xué)生嘗試了一下發(fā)現(xiàn)拼不出來,原來他在使用十字相乘方法來分解因式時(shí)出錯(cuò)了.

教師: 用1 張紙片①、3 張紙片②和1 張紙片③, 不重疊地拼, 不能拼出長方形, 這也就說明了二次三項(xiàng)式a2+3ab+b2不能因式分解.我們從幾何的角度重新認(rèn)識(shí)了我們學(xué)過的因式分解.

教學(xué)分析: 活動(dòng)1 讓學(xué)生通過用兩種不同方法計(jì)算圖形面積發(fā)現(xiàn)代數(shù)恒等式,了解整式乘法的幾何背景.活動(dòng)內(nèi)容看似簡單,但活動(dòng)過程能讓每個(gè)學(xué)生都有動(dòng)手、動(dòng)腦參與的機(jī)會(huì).而且活動(dòng)得到的結(jié)果不是唯一的,留給學(xué)生一定的自由的探索空間.但這樣的開放性活動(dòng)也不是完全開放的,教師還有一定的導(dǎo)向任務(wù),通過適當(dāng)?shù)奶釂栃〗Y(jié),引導(dǎo)學(xué)生在開放性活動(dòng)中還能定向思考,幫助學(xué)生在活動(dòng)過程中積累出寶貴的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).符合了教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者的課程基本理念.活動(dòng)2 設(shè)計(jì)了拼圖活動(dòng),讓學(xué)生從活動(dòng)中體會(huì)因式分解與矩形面積之間的關(guān)系.在學(xué)習(xí)因式分解的時(shí)候,教材注重從整式乘法的逆運(yùn)算出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),單純地從代數(shù)的角度去學(xué)習(xí)因式分解.由于學(xué)生已經(jīng)能較熟練地運(yùn)用提公因式法、公式法(部分學(xué)生能運(yùn)用十字相乘、分組分解法)等分解因式,所以有學(xué)生會(huì)直接用代數(shù)方法解決問題,這都是可以的,這正體現(xiàn)了活動(dòng)的開放性.在教學(xué)中我們不應(yīng)人為地去追求任何一種強(qiáng)制的統(tǒng)一或過分的規(guī)范,而應(yīng)讓每個(gè)學(xué)生都有一定的自主性,而且也應(yīng)給各種不同意見以充分的表達(dá)機(jī)會(huì)[2].

2.2 數(shù)學(xué)史拓展活動(dòng)深廣度

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)文化[3].數(shù)學(xué)活動(dòng)課是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延伸,更容易融入數(shù)學(xué)史,更能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)文化的魅力.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課程中的核心教育價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力[3].而數(shù)學(xué)活動(dòng)課正是以開放性的活動(dòng)為載體,使學(xué)生在操作、思維、語言等方面共同發(fā)展.因此將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)活動(dòng)有機(jī)結(jié)合,能最大限度地發(fā)揮二者的教育教學(xué)作用.

活動(dòng)3: 在歐幾里得的《幾何原本》中第二卷中的命題4(圖5)“如果一條線段被任意切分為二,以該線段為邊的正方形的面積等于兩條小線段上的正方形的面積之和再加上兩條小線段所構(gòu)成的矩形面積的兩倍.”想一想: 你知道這個(gè)命題所表述的是我們學(xué)過的哪個(gè)知識(shí)嗎?

圖5

活動(dòng)4: 請(qǐng)你嘗試用4 張如圖6 的直角三角形紙片拼出邊長為c的正方形,并思考能從中得到直角三角形三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系.

圖6

教學(xué)分析: 數(shù)學(xué)史的引入絕非簡單的移植和嫁接, 數(shù)學(xué)史更多的是數(shù)學(xué)思想方法史, 向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)史應(yīng)以介紹數(shù)學(xué)思想方法為重點(diǎn)[3].由古至今,圖形的面積為我們提供了許多解決數(shù)學(xué)問題的方法.活動(dòng)3 作為引入部分讓學(xué)生了解歷史上有關(guān)幾何與代數(shù)的知識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,通過用不同方法的剪拼,圖形的面積還解決了很多證明問題,比如三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽,創(chuàng)制“趙爽弦圖”來證明了勾股定理.筆者搭“腳手架”設(shè)計(jì)活動(dòng)4,讓學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的證明過程,不僅是本節(jié)課的研究方法的提升與應(yīng)用,也讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容有更加深刻的理解.

2.3 體悟數(shù)學(xué)思想離不開活動(dòng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)知識(shí),而且要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)精神、思想和方法.掌握基本數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解與記憶,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”[4].而數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展與應(yīng)用中,學(xué)生只有參與活動(dòng)才能更好地感悟數(shù)學(xué)思想方法.因此在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中滲透數(shù)學(xué)思想方法,不僅提升了數(shù)學(xué)活動(dòng)課的深度,更容易使學(xué)生的思維方式得到升華,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí).

活動(dòng)5: 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí),從以下2 個(gè)問題談?wù)勈斋@.

(1)如何根據(jù)圖形面積得到代數(shù)恒等式? (通過用兩種不同的方法計(jì)算圖形面積)

(2)你能從幾何角度解釋某些二次三項(xiàng)式分解因式的過程嗎? (將某些二次三項(xiàng)式看作矩形的面積,分解因式的過程即把矩形面積寫成長×寬的形式)

教師: 本節(jié)課的內(nèi)容總結(jié)如圖7,我們感受了圖形面積與整式乘法之間的密切聯(lián)系, 也經(jīng)歷了勾股定理的證明過程,體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想方法的魅力.

教學(xué)分析: 回顧本節(jié)課設(shè)計(jì),可用圖7 的關(guān)系圖總結(jié),從中感受了圖形面積與整式乘法之間的密切聯(lián)系, 讓學(xué)生對(duì)“由圖形面積到代數(shù)恒等式”的基本研究方法有初步了解,引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度解釋整式的乘法和二次多項(xiàng)式的因式分解,也經(jīng)歷了勾股定理的證明過程,體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想方法的魅力.從開頭到拓展提升部分均是在數(shù)形結(jié)合思想的指引下開展學(xué)習(xí)的.

圖7

3 教學(xué)思考

本節(jié)課的內(nèi)容在人教版教材中以圖形引入或圖形解釋的形式滲透于整式乘法的教學(xué)中,在華東師大版教材中以綜合與實(shí)踐課的形式呈現(xiàn).在學(xué)習(xí)整式的運(yùn)算時(shí),基本都是在做單純的代數(shù)運(yùn)算.如果在這個(gè)過程中能深入了解這些代數(shù)運(yùn)算的幾何背景,不僅能從不同角度去理解代數(shù)運(yùn)算,還能為枯燥的運(yùn)算增添幾分樂趣.從中以兩點(diǎn)思考作為結(jié)束語:

一是動(dòng)手操作體會(huì)深,多維角度理解透.課的設(shè)計(jì)注重以活動(dòng)為主線,讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作和親自實(shí)踐,在活動(dòng)中深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想.教師在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生思考和探索,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和探索問題的精神.設(shè)計(jì)還希望增強(qiáng)本章內(nèi)容的幾何感,使抽象的運(yùn)算具體化、直觀化,豐富學(xué)生的想象力.在熟練掌握整式運(yùn)算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度回顧本章內(nèi)容,不僅使學(xué)生的抽象邏輯思維和直觀形象思維共同發(fā)展,還使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有更深的理解和全面的認(rèn)知.

二是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)高,活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累足.我們不應(yīng)將數(shù)學(xué)等同于各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí),而應(yīng)主要地看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng),這也就是所謂的“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”[5].在這種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀的指導(dǎo)下,教師不僅應(yīng)主動(dòng)思考如何進(jìn)行數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué),還應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí),努力創(chuàng)造出能使學(xué)習(xí)“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)課.對(duì)于學(xué)生而言,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與結(jié)果并重,在追求結(jié)果的同時(shí),應(yīng)主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí),感受數(shù)學(xué)文化,體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法.學(xué)生能夠在積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維來解決問題.