對人教版初中數(shù)學教材中一個問題探索的商榷

【摘要】文章對人教版初中數(shù)學“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”課初“問題”進行了詳細分析，分析發(fā)現(xiàn)“問題”存在人為添堵、邏輯顛倒、重心偏移等問題，研究者針對這些問題提出了相應的優(yōu)化建議.

【關鍵詞】人教版;初中數(shù)學;函數(shù)與方程

近日，在區(qū)九年級數(shù)學教研會上某老師執(zhí)教人教版九年級數(shù)學課例《22.2二次函數(shù)與一元二次方程》時，執(zhí)教者按照教材呈現(xiàn)的內容順序精心演繹時，感覺前半段學生久久不能進入狀態(tài)而且費時太多——學生懵，教師費力，教學目標達成效果差，這讓筆者十分疑惑.在評課環(huán)節(jié)，許多九年級數(shù)學老師反映自己上課時也有類似現(xiàn)象，費時費力效果還差.為了徹底弄明白個中緣由，筆者對相關教材進行了仔細研讀分析，現(xiàn)將分析所悟及優(yōu)化建議呈現(xiàn)出來，供教材再版時參考.1問題及其分析

問題如圖22.21，以40m/s的速度將高爾夫球沿與地面成30°角的方向擊出時，高爾夫球的飛行軌跡將是一條拋物線.不考慮空氣阻力的情況下，高爾夫球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關系：h=20t-5t2.圖22.21

考慮以下問題：

（1）高爾夫球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？

（2）高爾夫球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？

（3）高爾夫球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？

（4）高爾夫球從飛出到落地要用多少時間？（下稱題1）

1.1教材分析

人教版九年級上冊教材“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”一節(jié)呈現(xiàn)順序，導語后就是題1.在這個題中，將某一高度的數(shù)值（具體）代入函數(shù)解析式，就轉化為求一元二次方程的根.由此引出，已知二次函數(shù)的值求自變量的值，就可以看作解一元二次方程;反過來，解一元二次方程ax2+bx+c=0就可以看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值為0，求自變量x的值.然后利用二次函數(shù)的圖象（拋物線）討論一元二次方程的根.教材中段再由“思考”欄目鼓勵學生去發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的規(guī)律（本節(jié)課重點）.最后由一個例題介紹怎樣用二次函數(shù)的圖象去求一元二次方程的根.

從教材呈現(xiàn)順序看，題1是這節(jié)課課首的實際探究問題，此處以一個具體的生活情境（打高爾夫）來作為課首探索問題，編者意圖是凸顯“二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系密切”，讓學生初步體驗應用二次函數(shù)與一元二次方程的關系解決生活問題的流程，增強他們的應用意識，同時為順利導出本節(jié)課重點（二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系的結論）作好過渡.

1.2解法分析

題1中幾個小問題都可用一元二次方程求解，從函數(shù)解析式（數(shù)的角度）看，就是已知函數(shù)值求自變量的值，從函數(shù)的圖象（形的角度）看，就是求直線h=k（k≥0）與拋物線h=20t-5t2的公共點的橫坐標.如人教版配套《教師教學用書》所言，在（1）中，屬于一元二次方程有兩個解的情形，從“數(shù)”看，就是把自變量換成這兩個數(shù)值時函數(shù)值等于15，從“形”看，就是直線h=15與拋物線h=20t-5t2有兩個公共點;在（2）中，屬于一元二次方程有兩個相同的解的情形，從“數(shù)”看，就是當自變量取這個值時函數(shù)值為20，從“形”看，就是直線h=20與拋物線h=20t-5t2有一個公共點;在（3）中，屬于一元二次方程無實數(shù)解的情形，從“數(shù)”看，就是當自變量取任何實數(shù)值時函數(shù)值都不會為20.5，從“形”看，就是直線h=20.5與拋物線h=20t-5t2沒有公共點;在（4）中，屬于一元二次方程有兩個解的情形，從“數(shù)”看，就是自變量取這兩個值時函數(shù)值都為0，從“形”看，就是直線h=0與拋物線h=20t-5t2有兩個公共點.

1.3學情分析

“方程與函數(shù)”第一次出現(xiàn)在人教版八年級下冊教材“19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式”.孩子們從一個“具體”的函數(shù)——一次函數(shù)的角度看一元一次方程，初步有了利用“函數(shù)與方程聯(lián)系”可以更好地解決相關問題的成功體驗.本節(jié)課為人教版九年級上冊第二十二章二次函數(shù)中的章末內容，通過探究另一個“具體”函數(shù)——二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，再次展現(xiàn)利用具體函數(shù)與方程的聯(lián)系解決相關問題的巧妙之處（數(shù)學結合思想），這樣安排一方面可以深化學生對前一章“一元二次方程”的認識，另一方面又可以運用本章二次函數(shù)圖象求解一元二次方程，打通二次函數(shù)（形）與一元二次方程（數(shù)）的聯(lián)系.以上是基于教材前后關聯(lián)進行的學情分析，是包括筆者在內的諸多一線教師展開教學的基本依據(jù)[2].

2問題教學的困惑

2.1人為添堵

本課的重點是二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，屬于本章的一個難點，因為對于“函數(shù)與方程”的關系來說，在八下“一次函數(shù)與方程”時就是學生的一個難點——首次用“形”來解釋“數(shù)”，教材上僅僅就是簡單的一大段示例的內容讓學生去理解兩者的關系（從函數(shù)的角度看解一元一次方程），老師們普遍感覺教學困難，到最后只有達成共識——只要學生會解題就夠了.

對于第二次呈現(xiàn)函數(shù)與方程的聯(lián)系，人教版教材本課的導入非常貼近學生學情，“以前從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，認識了……的聯(lián)系.本節(jié)將從二次函數(shù)的角度看……，認識……的聯(lián)系”.編者引導意圖明顯：運用孩子們上學期的“一次函數(shù)與一元一次方程聯(lián)系”（舊知）類比轉場到“二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系”（新知）.鑒于學生對八下“函數(shù)與方程”的學習內容已過去一學期了，教師普遍在處理“導入”時會舉一個k、b為具體數(shù)字的一次函數(shù)圖象解一元一次方程的例子，來喚醒學生塵封的舊知.

接著教材用“先來看下面的問題”一句話呈現(xiàn)出題1中4個小問.教材上給出“分析”：將題目中的h值代入函數(shù)解析式，得到關于t的一元二次方程并解之，再根據(jù)實際情況判斷是否有符合4個小問的解.

學生解（或判斷）4個方程的根顯然是得心應手的，但還是需要花一定時間.接著思考教材上第1問步驟旁云朵中的問題“你能結合圖22.21指出為什么在兩個時間小球的高度為15m嗎？”以及第2問旁云朵中問題“你能結合圖22.21指出為什么只在一個時間小球高度為20m嗎？”學生就感到棘手了：首先要把實際問題轉化成數(shù)學模型（畫直角坐標系），接著他們對h=15、h=20、h=20.5這三條直線的出現(xiàn)感覺是突兀的，心中往往有無數(shù)個為什么（它們是誰？來干什么？對本節(jié)新知識有何用？）真正到學生把心中堵點理解透徹時，這節(jié)課基本上都接近30分鐘了.這兒難就難在從學生已有知識（直角坐標系中一條拋物線圖象）怎么突然就跟一系列直線y=k發(fā)生了關系.說通俗點，直線y=k真的就是生硬地“砸”在孩子們面前，而且還是很多條，這真正成了本節(jié)課學生的堵點和痛點.

2.3重心偏移

人教版教材中，題1被安排在本節(jié)課課初導入后，以“問題”為驅動，其作用就是說明“二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系密切”，事實也如此，學生遇到實際問題馬上就開始聯(lián)立方程求解了，如果僅從數(shù)的角度來看，題1的教學目標是基本實現(xiàn)了.然而，實際教學中，讓學生從圖象的角度去理解時，學生們卻集體滯后了，4個小問中“從形的角度去看數(shù)”大大耗費了學生們寶貴的時間（普遍超過20分鐘），這樣一來學生花大量時間感受“二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系密切”與探索發(fā)現(xiàn)“拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的三種情況”規(guī)律及運用此規(guī)律（獨立練習）的時間分配嚴重本末倒置，重心偏移，這顯然是不妥的.3優(yōu)化建議

3.1類比到底，統(tǒng)一函數(shù)方程聯(lián)系

函數(shù)與方程聯(lián)系首次出現(xiàn)的方式是這樣的：人教版教材八下“19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式”一開始沒有過多的實際問題，直接拋出一個“思考”：下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度求解這3個方程嗎？接著呈現(xiàn)3個具體的一元一次方程和相關的一個一次函數(shù)圖象.筆者認為，同一套教材應該保持前后一致.所以筆者建議教材再版時，可直接把題1刪去（或放在最后，原因見下2），直接把本節(jié)教材中段“思考”前置于導入后直接呈現(xiàn)3個具體二次函數(shù)圖象（學生的最近發(fā)展區(qū)）引導學生合作探究去發(fā)現(xiàn)“拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的三種情況”規(guī)律.這樣設計有兩個好處：一是順應教材編排的體系，從具體到一般，做到了前后一致;二是讓學生從最近發(fā)展區(qū)（二次函數(shù)圖象、一次函數(shù)與一元一次方程聯(lián)系）出發(fā)，螺旋上升的學習新知識，再一次真正體會數(shù)形結合思想的神奇.

3.2問題后移，豐富函數(shù)方程聯(lián)系

把題1放在導入后的“問題”探究中，雖然遵循了“生活—數(shù)學—生活”知識認知歷程，但對實際問題的探索占用了大量的教學時間（而下一節(jié)課還有“22.3實際問題與二次函數(shù)”，將深入探討二次函數(shù)解決實際問題），反倒阻礙了孩子們對本節(jié)重點結論的探索理解和運用.因此筆者建議把難度較大的題1后移，放在本節(jié)課課尾拓展階段，以“探究”（例題）的形式呈現(xiàn)，題目之前加一句話“剛才我們研究了拋物線y=ax2+bx+c與x軸（直線y=0）的交點情況，請問：y還可以取什么？”如此安排的意圖是：系統(tǒng)化研究函數(shù)與方程的聯(lián)系.探究時追問：拋物線與y=k（k>0）的交點情況;題1講解完成后再追問：y還可以取什么？——拓展到拋物線與y=kx+b的交點情況.這樣一系列曲徑通幽的探究下去，最后豁然開朗：拋物線與y=kx+b的交點情況就是二次函數(shù)與一次函數(shù)的關系（從研究函數(shù)與方程聯(lián)系到函數(shù)與函數(shù)聯(lián)系之間的無縫完美切換）.從而讓學有余力的學生可以窺見拋物線與直線相愛相殺的浪漫關系，無疑為學生系統(tǒng)掌握“函數(shù)與方程”埋下了精彩的伏筆，讓教材例習題（問題）真正在培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的課堂上活起來[3].

3.3著眼未來，貫通函數(shù)方程聯(lián)系

人教版教材八下“19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式”的最后有一個“歸納”欄目：方程（組）與函數(shù)之間互相聯(lián)系，從“數(shù)”（函數(shù)）的角度可以把它們統(tǒng)一起來.解決問題時，應根據(jù)具體情況靈活地把它們結合起來考慮.此處編寫者為孩子們開了“函數(shù)與方程”的一扇窗——孩子們，你們后續(xù)課程還會遇到這種類似情形的.而本節(jié)教材的最后卻只是一個簡單的“歸納”——“拋物線與x軸的三種位置關系”（二次函數(shù)的一個結論而已），沒有留白，容易讓人感覺“函數(shù)與方程”的研究就到此為止了.

筆者仔細研讀了人教版高一A版（必修）數(shù)學教材發(fā)現(xiàn)，在高一上第三章“函數(shù)的應用”中有一節(jié)“3.1函數(shù)與方程”，本節(jié)以高一學生最熟悉的知識為“思考”導入——一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有什么關系？接著呈現(xiàn)了三對具體的函數(shù)（圖象）與方程，讓學生回憶出“二次函數(shù)的圖象與x軸交點和相應的一元二次方程根的關系”（本節(jié)內容），接著教材用一句話“可以推廣到一般情況.”讓孩子們完美地從熟悉的初中舊知列車跨上了全新版的高中新知列車，順勢導出新知識“零點”以及發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程聯(lián)系的一般情況（通性），并逐步形成“用函數(shù)觀點處理問題的意識”.高一教材不僅希望學生在思想知識上有所收獲，而且著眼于讓孩子們感受到來自中外數(shù)學文化的熏陶，所以在“閱讀與思考”欄目中，介紹了古今中外數(shù)學家在方程求解中所取得的偉大成就，特別是我國古代數(shù)學家對數(shù)學發(fā)展與人類文明的貢獻，這樣的編排既彰顯了我國傳統(tǒng)數(shù)學文化的魅力（讓孩子們文化自信），又觸發(fā)了學有余力的孩子繼續(xù)探索函數(shù)與方程聯(lián)系的源動力，編寫者此處為孩子們留了一扇更大的拓展之窗，可謂用心良苦.因此，筆者建議再版時，此處可以延續(xù)八下（看齊高一）的留窗模式，可以站位更高一點，本節(jié)課題是“二次函數(shù)與一元二次方程”，最后教材末尾可以留下新的展望（寄語）：從八下研究“一次函數(shù)與一元一次方程”（具體函數(shù)）到今天的“二次函數(shù)與一元二次方程”（具體函數(shù)），你發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與方程（一般函數(shù)）的聯(lián)系規(guī)律嗎？如果讓你來設計，你將從哪些方面入手進行研究呢？這樣具有挑戰(zhàn)性的留白，首先讓學生對“函數(shù)與方程”產(chǎn)生無盡的遐想，同時把主觀能動性交給孩子們，讓孩子們積極主動的數(shù)學思維如星星之火在高一相關新知識前就可能熠熠發(fā)光，更是將“函數(shù)與方程”從整體觀念立意一以貫之[4]，這也正好關注了學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的連貫性，謀取了孩子們的長遠利益.

參考文獻

[1]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]印冬建.對人教版初中數(shù)學教材中一道例題的商榷[J].中學數(shù)學（初中），2019（8）：34-35，62.

[3]李洪兵，劉志成.讓教材例習題“活”起來[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（9）：35-38.

[4]張青云.“不學也會”的課如何教——對“字母表示數(shù)”一課的教學設計與思考[J].中國數(shù)學教育（初中），2020（7/8）：53-57.