地球表面、外部及內(nèi)部的重力加速度問題

劉穎

摘要： 地球的重力加速度問題是高中物理人教版必修二第六章第三節(jié)的內(nèi)容，該論文的重點在于理解萬有引力與重力的區(qū)別和聯(lián)系，掌握地球各處重力加速度的求解及變化原因。該論文緊扣重力加速度這一主線，分別從地球表面重力加速度隨緯度的升高而增大、地球內(nèi)部重力加速度與質(zhì)點到球心間距離成正比、地球外部重力加速度隨海拔的升高而減小三個方面進行詳細地闡述，并且每個方面都有具體的理論推導和函數(shù)圖像。

關(guān)鍵詞：重力加速度、緯度、海拔、球殼、圖像。

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-08-203

萬有引力定律的應用—重力加速度這一專題在近幾年的高考及各地區(qū)的模擬考試中頻繁考查，少則是6分一道的選擇題，多則是15分甚至是18分的大題。2015年天津、重慶、山東卷考查的是地球外部重力加速度，2014年海南、全國Ⅱ卷、重慶卷考查的是地球表面的重力加速度。2012年全國卷考查的是地球內(nèi)部重力加速度，2016年四川卷和2014年北京卷考查的是地球表面和外部重力加速度的比較問題。由此可見，高考對于重力加速度的考查既頻繁又全面，所以我們有必要將重力加速度做為一個專題進行系統(tǒng)的研究。

首先我們先來研究一下地球表面處的重力加速度。

地球表面上隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體受到兩個力的作用，即萬有引力和地面的支持力。我們知道相對于地面靜止的物體所受的重力與支持力是一對平衡力，而地球表面上隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體的運動是勻速圓周運動，做勻速圓周運動的物體所受的合外力提供向心力，所以萬有引力和支持力的合力應該指向軌跡圓的圓心，即萬有引力是重力和向心力的合力。萬有引力總是指向地球球心，向心力總是指向軌跡圓的圓心，而重力則總是豎直向下，或者說垂直于水平面向下。重力只有在赤道和兩極處才指向地球球心，而地球上的其他位置處重力并不指向地球球心。

地球并不是標準的球體，赤道半徑是6378km，兩極半徑是6357km，平均半徑是6371 km。地球表面上的物體做圓周運動的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即23時56分4秒，在粗略計算中可以取24小時。根據(jù)以上信息可以求解地球赤道處重力加速度約為9.78m/s2，兩極處的重力加速度約為9.83m/s2。為了方便計算，重力加速度的標準值通常取9.8m/s2，粗略計算中可以取10 m/s2。

若我們要對地球表面上任意緯度的重力加速度進行研究，就要考慮到萬有引力是向心力和重力的合力，那么萬有引力應該是平行四邊形的對角線，向心力和重力是夾該對角線的兩條鄰邊，可以利用余弦定理進行推導。最終得出地球表面重力加速度隨緯度的升高單調(diào)遞增。緯度為45°處的地表面重力加速度為9.8m/s2，作為重力加速度的標準值，而我國首都北京所在處接近北緯45°。

由于地球表面上隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體的向心加速度為，赤道處（θ=0，cosθ=1）的物體向心加速度最大，，而。因此an遠小于g，即同一物體的向心力遠小于重力，說明平行四邊行中的向心力這條鄰邊極短，重力和萬有引力在大小和方向上都極其接近。所以在忽略地球自轉(zhuǎn)時，，這就是我們最熟悉的“黃金代換”。

下面我們再來研究一下重力加速度隨海拔是如何變化的。

既然重力加速度隨海拔的升高而減小，那么能否說地球內(nèi)部的重力加速度比外部大，地心處的重力加速度最大呢？我們通過一道高考題來認識一下地球內(nèi)部的重力加速度。

（2012，新課標全國）假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（? ? ? ? ? ? ?）

“質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零”這句話作為一個已知條件告訴我們，應該如何理解這句話呢？我們不妨采用類比的方式加以理解。電荷在其周圍產(chǎn)生電場，物體在其周圍產(chǎn)生引力場。電荷與電荷間的相互作用力是庫侖力，物體與物體之間的吸引是萬有引力，兩個力很相似都遵循平方反比定律。靜電場中我們知道“均勻帶電球面內(nèi)部場強處處為零”，那么質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部引力場場強也為零，所以將一質(zhì)量為m的物體放入均勻球殼內(nèi)部，它不受球殼的引力。這樣我們就可以將質(zhì)量均勻的球殼剝落，以地心為圓心做一個過質(zhì)點的球，相當于只有中心處的小球?qū)|(zhì)點有引力，可以看成有個物體放在小地球的外表面。本道題采用等效法?！百|(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零”這一結(jié)論可以通過高中的微元法來證明，也可以用大學中的微積分法和高斯定理加以證明。

質(zhì)量分布均勻的薄球殼中兩個對頂小面元對任意點P處的質(zhì)點合引力為零。同理可證，整個薄球殼對殼內(nèi)任意點P處的質(zhì)點合引力為零。將任意厚度的質(zhì)量分布均勻的球殼分為許多個同心薄球殼，既然每個質(zhì)量分布均勻的薄球殼都對殼內(nèi)任意點P處的質(zhì)點合引力為零，所以整個任意厚度的質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)任意點P處的質(zhì)點合引力也為零。這道選擇題答案為A。

地球內(nèi)部重力加速度與質(zhì)點到球心的距離r成正比，說明地心處重力加速度為0，赤道處重力加速度最大。

我們看到地球內(nèi)部的重力加速度并不像我們想像的那樣比地球外部大，而是地心處重力加速度為零，沿r軸方向重力加速度先增大后減小，地球表面赤道處重力加速度最大。

地球各處重力加速度的測定，對物理學、地球物理學、重力探礦、空間科學等都具有重要意義，也是高考中萬有引力部分的高頻考點，希望所有考生都能對這部分知識清楚的掌握。

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