大概念視角下高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培育的實踐研究

【摘 要】 直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想.筆者以“冪函數(shù)的定義與圖象”為例，在“數(shù)形結(jié)合”的大概念下探索培育高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 大概念;直觀想象素養(yǎng);冪函數(shù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》修訂的內(nèi)容和變化之一是學(xué)科核心素養(yǎng)與學(xué)科大概念的提出.數(shù)學(xué)學(xué)科有六大核心素養(yǎng)，其中直觀想象是數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ);復(fù)雜的邏輯推理或數(shù)學(xué)運算中，需要用直觀想象來理清邏輯推理或數(shù)學(xué)運算的思路，將復(fù)雜問題簡單化;在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時，將數(shù)據(jù)圖表化，再對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理.因此直觀想象在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中具有重要的地位，它與其他核心素養(yǎng)密不可分[1].在一線教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，高中生存在知識學(xué)習(xí)碎片化的問題，對知識的理解只停留在表層，較少理解知識背后的邏輯依據(jù)、思想方法等. 筆者結(jié)合教學(xué)實踐，以“冪函數(shù)的定義與圖象”為例，闡述在本節(jié)課大概念“數(shù)形結(jié)合思想”的視角下如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

1 學(xué)科大概念對培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的意義

1.1 學(xué)科大概念的解讀

學(xué)科大概念是大概念理念在學(xué)科體系結(jié)構(gòu)中的特殊表達(dá).不同的學(xué)者對大概念有不同的理解，例如：布魯納（Bruner.J.S）提出了“一般概念”，奧蘇伯爾的“要領(lǐng)概念”，布魯姆的“基本概念”.其本質(zhì)就是大概念，總體有三個明顯的共識：其一，大概念是抽象概括出來的概念;其二，大概念是聯(lián)系整合的概念;其三，大概念是更能廣泛遷移的概念[2].

數(shù)學(xué)學(xué)科的大概念應(yīng)該是能反應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的思想，可以為高中生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和遷移提供方向和思路的概念或思想.筆者認(rèn)為，圍繞學(xué)科大概念的教學(xué)應(yīng)使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化;可將各種具體的事實、經(jīng)驗、事物和概念連接與整合;能促進(jìn)學(xué)習(xí)者的持久記憶、深度理解和廣泛遷移.

1.2 學(xué)科大概念對培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的意義

直觀想象在高中數(shù)學(xué)的其中一個表現(xiàn)是建立數(shù)與形的聯(lián)系，讓學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力.“數(shù)形結(jié)合思想”作為本節(jié)課的大概念為促進(jìn)直觀想象核心素養(yǎng)的落實提供了新的解決方案.將“數(shù)形結(jié)合思想”這個學(xué)科大概念滲透在教學(xué)和課程中，形成透過現(xiàn)象看本質(zhì)的學(xué)科大概念與課程能力，實現(xiàn)真實情境下學(xué)科知識的遷移與運用，指向核心素養(yǎng)的深度落實，真正發(fā)揮教學(xué)的育人功能，力求在課堂教學(xué)中落實立德樹人的目標(biāo).

2 以“冪函數(shù)的定義與圖象”為例解析直觀想象素養(yǎng)的培育

2.1 教材分析及學(xué)情分析

本節(jié)課是滬教版新教材高一第一學(xué)期必修一第四章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的第一課時，主要內(nèi)容是冪函數(shù)的定義與圖象.本節(jié)課是在上一章的基礎(chǔ)上，通過固定等式ab=c中三個量中的一個量，研究另兩個量的相互關(guān)系和變化規(guī)律，定義其中一種最基本的、應(yīng)用較為廣泛的冪函數(shù).新教材將冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)安排在“一般函數(shù)”之前，因此冪函數(shù)的地位與作用發(fā)生了很大的變化.冪函數(shù)作為高中階段學(xué)生接觸的第一類具體的初等函數(shù)，起到了初高中函數(shù)概念的過渡與銜接的作用. 將冪函數(shù)作為載體，讓學(xué)生體會“用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究函數(shù)”是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究，以及下一章引入一般函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ).本節(jié)從生活中具體實例抽象出冪函數(shù)的概念，然后選擇三個具有代表性的指數(shù)所對應(yīng)的冪函數(shù)，用描點法作出它們的大致圖象;再抽象出冪函數(shù)在第一象限的圖象特征，為下一節(jié)用代數(shù)方法研究冪函數(shù)的性質(zhì)做鋪墊.通過對冪函數(shù)的學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具體實例和初中學(xué)習(xí)的函數(shù)抽象出一般函數(shù)的概念，體現(xiàn)了由具體到抽象、由特殊到一般的原則.

本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，本班學(xué)生雖然大部分的學(xué)習(xí)態(tài)度是端正的，但是學(xué)生的數(shù)學(xué)底子薄，數(shù)學(xué)思維能力有所欠缺，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不太健全，對函數(shù)的學(xué)習(xí)以及作圖產(chǎn)生畏懼感，擔(dān)心學(xué)不好，不會歸納總結(jié)，思維比較固定等，這些都可能對本節(jié)課的教學(xué)產(chǎn)生影響.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷冪函數(shù)定義的形成過程，體驗從特殊到一般的思想方法，能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言達(dá);

2.經(jīng)歷作出具體的冪函數(shù)圖象的過程，利用數(shù)形結(jié)合思想探究冪函數(shù)在第一象限的圖象的特征;

3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等方面的核心素養(yǎng)，對體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到研究其他函數(shù)中有重要的作用.

2.3 教學(xué)過程

2.3.1 情境建模，引入新課

情境：2020年的春天注定令我們難忘，一場來勢洶洶的新冠肺炎疫情打破了庚子年春節(jié)的寧靜.新冠病毒肆虐的艱難時刻，鐘南山院士、無數(shù)醫(yī)務(wù)人員、全國各地黨員干部、普通群眾紛紛走到前線，直面病毒、主動請戰(zhàn);各地防疫物資第一時間運輸?shù)轿錆h并且僅用十幾天時間相繼建成火神山、雷神山和十幾座方艙醫(yī)院，安置數(shù)以萬計的病人住院，創(chuàng)造了一個又一個奇跡.假設(shè)我們是武漢抗疫保障團隊，要準(zhǔn)備抗疫場地、設(shè)施、物資等，在準(zhǔn)備中有如下問題需要同學(xué)們思考：

問題1：如果某志愿者參加口罩的生產(chǎn)，每分鐘可以生產(chǎn)一只口罩，那么他生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)y（只）和時間x（分鐘）之間有何關(guān)系？

問題2：如果新建的方艙醫(yī)院占地為正方形，且邊長為x，那么方艙醫(yī)院的占地面積y=？

問題3：如果新建隔離室為正方體且棱長為x，那么該隔離室的體積y= ？

問題4：如果方艙醫(yī)院正方形場地的面積為x，那么正方形的邊長y= ？

問題5：如果防疫物資運送車輛x秒內(nèi)行進(jìn)1千米，那么車輛的平均速度y= ？（千米/秒）

師：能否列出這幾個函數(shù)解析式？

探究1：以上問題中的函數(shù)解析式具有什么共同特征？

生2：底數(shù)在變，指數(shù)不變.

生3：系數(shù)為1，形式一樣，都是冪的形式.

師：函數(shù)解析式具有的共同特征有：①系數(shù)為1且是冪的形式;②指數(shù)為常數(shù)，固定不變;③自變量位于底數(shù)位置.

師：同學(xué)們總結(jié)的非常好，希望同學(xué)們的成績以及獲得的知識可以像函數(shù)y=x3的圖象一樣一直上升而且上升的速度很快.圖象特征具體的證明我們將在下一節(jié)課學(xué)習(xí).

設(shè)計意圖 利用學(xué)生的自主探究完成冪函數(shù)圖象與圖象特征的梳理，一方面提高學(xué)生參與度，另一方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會透過圖象研究函數(shù)圖象特征的方法.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.讓學(xué)生體會重要的數(shù)學(xué)結(jié)論往往都是“看”出來的.學(xué)生學(xué)會“看”圖象、從而大膽猜想、深入探索.會“看”需要直觀想象素養(yǎng)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，以形助數(shù)、以數(shù)思形，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，實現(xiàn)形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.

2.3.5 學(xué)生參與課堂小結(jié)，落實直觀想象素養(yǎng)評價

本節(jié)課主要講了哪些內(nèi)容？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生小結(jié)：

（1）本節(jié)課通過實例自己歸納總結(jié)出幾個函數(shù)解析式所具有的共同特征，然后引入冪函數(shù)的定義.

（2）通過例1和例2加深對冪函數(shù)的定義內(nèi)涵和外延的理解.

（3）通過例3和例4學(xué)會作冪函數(shù)的圖象，并通過圖象總結(jié)冪函數(shù)的圖象特征.用到數(shù)形結(jié)合，分類討論，類比的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)計意圖 學(xué)生小結(jié)有利于其整體把握知識點、理解數(shù)學(xué)思想方法、形成歸納與概括能力.在教師指導(dǎo)下，學(xué)生對課堂所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)是對直觀想象素養(yǎng)培育的檢測，能有效檢驗學(xué)生是否在一定程度上已將知識轉(zhuǎn)化為技能，讓學(xué)生成為課堂真正的受益者.

3 結(jié)語

大概念是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù).本節(jié)課以“數(shù)形結(jié)合思想”為大概念，對提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)發(fā)揮了不可替代的作用.學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，將研究冪函數(shù)的方法和思想遷移到研究指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及一般函數(shù)上，將看似不同的函數(shù)，零散的知識串聯(lián)起來，可以使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

參考文獻(xiàn)

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[6] 邵超友，崔允漷.指向核心素養(yǎng)的教學(xué)方案設(shè)計：大觀念的視角[J].全球教育展望，2017，46（6）：11-19.

作者簡介 徐利花（1986—），女，碩士研究生，籍貫：山西大同，中教一級，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)研究.