抑制傅里葉變換法恢復(fù)的X射線相襯像中的偽影*

楊君 吳浩 羅琨皓 郭金川 宗方軻

(深圳大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 深圳 518000)

在基于光柵的X射線相襯信號(hào)的恢復(fù)方法中, 主要有相移法和傅里葉變換法兩種方法.相移法具有精度高、噪聲小的優(yōu)點(diǎn), 但由于至少需要三幅圖像才能恢復(fù)出相襯信號(hào), 樣品所受的輻射劑量大.而傅里葉變換法只需一幅圖像即可恢復(fù)出物體的相襯信號(hào), 具有快速、實(shí)時(shí)的優(yōu)點(diǎn), 但恢復(fù)出的信號(hào)精度低, 易受偽影影響.因此,本文利用兩幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)X射線相襯信號(hào), 該方法能夠有效地抑制相襯信號(hào)中由于頻譜混疊所產(chǎn)生的偽影.另外, 通過增加載波條紋的頻率, 能夠拉大頻域中的頻譜間隔, 從而進(jìn)一步抑制偽影的產(chǎn)生.

1 引 言

X射線相襯成像是研究X射線通過物體后微弧度量級(jí)折射角的技術(shù), 其在工業(yè)、材料和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值[1?8].在基于光柵的X射線相襯信號(hào)的恢復(fù)方法中, 傅里葉變換法是一種快速、實(shí)時(shí)的方法[9].該方法在2008年由Wen等[10,11]提出, 但恢復(fù)出來的圖像較為模糊.之后韓國的Lim等[12?14]和德國的Seifert等[15,16]在圖像質(zhì)量方面取得不錯(cuò)的進(jìn)展.但經(jīng)過載波調(diào)制后的物體信息, 在進(jìn)行傅里葉變換后不同級(jí)次的頻譜會(huì)不可避免地發(fā)生混疊.因此, 如果對(duì)頻譜進(jìn)行濾波的窗口寬度太小, 則高頻信息會(huì)損失較多, 從而引起恢復(fù)出的相襯像變得模糊.如果濾波的窗口寬度太大, 頻譜容易發(fā)生混疊, 從而在恢復(fù)出的圖像中引起嚴(yán)重的偽影.對(duì)此, 本文利用兩幅相差 π 相位的圖像進(jìn)行傅里葉變換恢復(fù)X射線相襯信號(hào)[17,18],該方法能夠在盡量保留物體高頻信息的同時(shí), 減少相襯信號(hào)中偽影.和其他利用兩幅圖像恢復(fù)相襯信號(hào)的算法[19?21]相比, 本文提出的算法對(duì)光柵在相移曲線中的位置沒有特殊的要求, 從而降低了實(shí)驗(yàn)的操作難度.

2 理論分析

2.1 頻譜混疊產(chǎn)生偽影的機(jī)理

利用傅里葉變換法恢復(fù)相襯信號(hào)的非相干X射線成像系統(tǒng)示意圖如圖1所示.它由一個(gè)焦斑5 μm的點(diǎn)源S、周期96 μm的吸收光柵G1、物體O和像素尺寸為74.8 μm的平板探測(cè)器D所組成.

在一般情形下, 點(diǎn)源S照明吸收光柵G1在探測(cè)器平面上產(chǎn)生的載波條紋強(qiáng)度可以表示成:

圖1 非相干X射線成像系統(tǒng)示意圖Fig.1.Schematic diagram of incoherent X-ray imaging.

其中a(x) ,b(x) 和f0分別表示條紋的均值、振幅和頻率;φ(x) 表示樣品所引起的相移, 其中c(x) 為

對(duì)(1)式做傅里葉變換, 可得一般情形下條紋的頻譜:

其 中G(f) ,A(f) 和C(f) 分 別是I(x) ,a(x) 和c(x)的傅里葉變換.在條紋的頻譜中,A(f) ,C(f?f0)和C?(?f?f0) 分別代表零級(jí)、正一級(jí)和負(fù)一級(jí)頻譜, 如圖2所示.

圖2 一般情形下載波條紋的頻譜圖Fig.2.The Fourier spectrum of carrier fringe patterns in general case.

在一般情形下, 假定各級(jí)次頻譜是完全分開的, 利用合適寬度和位置的濾波器分別與條紋不同級(jí)次的頻譜相乘, 可以得到不同級(jí)次的頻譜.在得到正一級(jí)頻譜后, 做傅里葉逆變換可得

對(duì)光路中沒有樣品的條紋圖重復(fù)上述操作可得

其中br(x) 表示沒有樣品時(shí)條紋的振幅, 將上述兩式相除再取其角度即可得到物體的相位:

其中“angle”表示取角度.然而, 我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn), 由于物體的頻譜相當(dāng)?shù)貙? 不同級(jí)次的頻譜會(huì)不可避免地發(fā)生混疊, 如圖3所示.

圖3 實(shí)際情況下發(fā)生的頻譜混疊Fig.3.Spectrum aliasing between different harmonic peaks in practice.

當(dāng)頻譜發(fā)生混疊時(shí), 各個(gè)不同級(jí)次的頻譜將帶有其他級(jí)次頻譜的分量.由于零級(jí)頻譜在整個(gè)頻譜圖中所占能量最大, 因此零級(jí)頻譜對(duì)一級(jí)頻譜所造成的混疊也最大.此時(shí), 將正一級(jí)頻譜提取出來并做傅里葉逆變換后可得

其中a1是濾波后殘留在正一頻的零級(jí)頻譜分量.對(duì)無物體的載波條紋圖重復(fù)上述操作后可得

其中a2是濾波后殘留在正一頻的零級(jí)頻譜分量,(7)式除以(8)式后取其角度即可得到有頻譜混疊時(shí)恢復(fù)得到的相位:

下面, 用數(shù)值模擬來對(duì)比有無頻譜混疊對(duì)恢復(fù)出來相位的影響.各數(shù)值計(jì)算參數(shù)如下:a1=0.08 ,a2=0.09 ,b=0.8 ,br=1 ,φ(x)=1.

圖4(a)—(c)分別是載波條紋周期與探測(cè)器像素尺寸的比值r為3, 4和5時(shí), 利用(9)式恢復(fù)出來的相位.當(dāng)零級(jí)頻譜和一級(jí)頻譜發(fā)生混疊時(shí), 恢復(fù)出來的相位是周期性的, 其周期和比值r相同.如果零級(jí)頻譜和一級(jí)頻譜沒有發(fā)生混疊, 即當(dāng)a1=0,a2=0 時(shí), 利用(9)式恢復(fù)出的相位是準(zhǔn)確且無周期的, 如圖5所示.據(jù)此, 我們可以初步判斷出,零級(jí)頻譜和一級(jí)頻譜混疊是傅里葉變換法中產(chǎn)生偽影的一個(gè)重要原因.

圖4 頻譜混疊對(duì)恢復(fù)出相位的影響 (a), (b)和(c)分別代表載波條紋周期與探測(cè)器像素尺寸比值r為3, 4和5時(shí)的情形Fig.4.The impact of spectrum aliasing on phase retrieval.(a), (b) and (c) denote the cases, in which the ratios of the carrier fringe period to size of detector pixel are 3, 4 and 5, respectively.

圖5 無頻譜混疊時(shí)恢復(fù)出來的相位分布Fig.5.The phase retrieval when no spectrum aliasing.

2.2 偽影抑制算法

前面我們指出, 零級(jí)頻譜和一級(jí)頻譜的混疊,是傅里葉變換法產(chǎn)生偽影的重要原因.因此, 為了減少頻譜混疊, 需要盡量減少零級(jí)頻譜對(duì)一級(jí)頻譜的影響.一般可以通過減小濾波窗口的寬度以抑制零頻對(duì)一頻的影響.但該方法的主要問題是, 由于濾波窗口寬度的減小, 高頻信息會(huì)損失較多, 從而導(dǎo)致恢復(fù)出的圖像比較模糊.對(duì)此, 我們采用兩幅π相差圖像的傅里葉變換來消除零頻對(duì)一頻的影響, 該方法可以在盡量保留高頻信息的同時(shí), 大幅減少偽影的出現(xiàn).該方法需要采集兩幅有物體的圖像和兩幅無物體的圖像, 數(shù)據(jù)采集過程為: 先采集一幅背景圖像I1b, 然后在光路中放上物體, 采集一幅帶物體的圖像I1o.接著垂直于柵線方向移動(dòng)光柵半個(gè)周期的距離, 然后采集第二幅帶物體的圖像I2o.隨后把物體從光路中拿走, 采集第二幅沒有物體的圖像I2b.上述采集方式和多步相移法[22]相比,沒有空程差, 因此可以降低誤差.該偽影抑制方法推導(dǎo)過程如下:

在第一幅有物體的圖像I1o中, 條紋分布可寫成:

由于第二幅有物體的圖像I2o和第一幅有物體的圖像I1o差了半個(gè)光柵周期, 因此條紋之間的相位差為 π :

將(10)式減去(11)式即可消除零頻對(duì)恢復(fù)信號(hào)的影響, 得到無零頻的條紋分布:

對(duì)(12)式做傅里葉變換, 然后提取正一頻, 再做傅里葉逆變換, 即可得到正一頻的圖像:

對(duì)兩幅無物體的圖像I1b和I2b重復(fù)上述操作可得無物體的正一頻圖像:

最后用(13)式除以(14)式后取角度, 即可恢復(fù)出偽影得到抑制的相襯信號(hào), 即:

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 兩幅圖像傅里葉變換法抑制偽影的效果

下面通過實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)上述兩幅圖像傅里葉變換法抑制偽影的效果.實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示, X射線源到探測(cè)器的距離為80 cm, 光柵離探測(cè)器的距離為45.78 cm, 此時(shí)光柵在探測(cè)器平面上的投影條紋周期與探測(cè)器像素尺寸的比值r= 3.X射線源的電壓為40 kVp, 電流為160 μA, 在每個(gè)光柵位置采集三幅圖像取平均以降低噪聲, 每幅圖像曝光4 s, 樣品為直徑5 mm的有機(jī)玻璃棒(PMMA), 其離探測(cè)器的距離為53 cm.兩幅圖像傅里葉變換法和單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出來的PMMA相襯像如圖6所示.濾波窗口都為高斯窗, 其標(biāo)準(zhǔn)差σ等于零頻和一頻間距的二分之一.圖6(a)是兩幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出的相襯像,該相襯像中沒有出現(xiàn)偽影.而圖6(b)則是單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出的相襯像, 該相襯像則有明顯的偽影.從圖6的直觀比較中可以看出, 兩幅圖像傅里葉變換法所恢復(fù)出的相襯像(圖6(a))比單幅圖像傅里葉變換法所恢復(fù)出的相襯像(圖6(b))在抑制偽影方面有明顯的改進(jìn).

圖6 (a) 兩幅圖像傅里葉變換法所恢復(fù)出的PMMA相襯像; (b)單幅圖像傅里葉變換法所恢復(fù)出的PMMA相襯像Fig.6.(a) The phase-contrast image of PMMA retrieved by Fourier transform with two images; (b) the phase-contrast image of PMMA retrieved by Fourier transform with one image.

為了進(jìn)一步比較兩種算法對(duì)偽影的抑制效果,需要進(jìn)行定量的分析.下面我們截取圖6(a)中的白色方框區(qū)域, 對(duì)其進(jìn)行按行求平均, 繪制得到圖7(a)中的藍(lán)色曲線; 在圖6(b)中截取與圖6(a)中白色方框所示的相同位置的區(qū)域, 同樣按行取平均, 得到圖7(a)中的紅色曲線.同時(shí)取圖6(a)中的黑色矩形框區(qū)域, 對(duì)其進(jìn)行按行求平均, 繪制得到圖7(b)中的藍(lán)色曲線; 對(duì)圖6(b)取相同位置的區(qū)域, 同樣按行取平均, 得到圖7(b)中的紅色曲線.從圖7(a)的紅色曲線可以看出, 利用單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出的相位值有明顯的周期性, 且周期恰好為3個(gè)像素寬度, 這和圖4(a)的仿真結(jié)果吻合地很好.而利用兩幅圖像傅里葉變換法求得的相位則無明顯的周期性, 且相位值更接近理論值零.這意味著兩幅圖像傅里葉變換法不僅對(duì)偽影的抑制效果更好, 而且恢復(fù)出的相位更準(zhǔn)確.圖7(b)中紅色曲線的中間部分出現(xiàn)了明顯的震蕩, 而藍(lán)色曲線的中間部分震蕩不明顯.圖7(b)中紅色曲線的峰峰值較藍(lán)色曲線的峰峰值高, 說明偽影不僅僅會(huì)造成背景信號(hào)偏高, 也會(huì)使得物體的相襯信號(hào)偏高.

圖7 (a) 圖6中白色方框區(qū)域按行取平均后繪制的曲線;(b) 圖6中黑色方框區(qū)域按行取平均后繪制的曲線Fig.7.(a) Curves from averaging the area of white rectangle in figure 6 by row; (b) curves from averaging the area of black rectangle in Figure 6 by row.

接著計(jì)算圖7(a)中背景相位的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差, 同時(shí)計(jì)算圖7(b)中物體橫截面曲線的峰峰值,并將結(jié)果列于表1中.

從表1的定量數(shù)據(jù)中可以計(jì)算出, 單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)的背景相位均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別比兩幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)的背景相位均值和標(biāo)準(zhǔn)差高出了38.6%和247%, 單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)的物體橫截面峰峰值比兩幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)的物體橫截面峰峰值高出了117%, 這就定性地證實(shí)了兩幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出來的相位要比單幅圖像傅里葉變換法恢復(fù)出來的相位更加準(zhǔn)確和穩(wěn)定.不過, 相對(duì)于單幅圖像傅里葉變換法而言, 兩幅圖像傅里葉變換法增加了曝光時(shí)間和輻射劑量, 不利于快速成像.但相對(duì)于相移法來說, 兩幅圖像傅里葉變換法的曝光時(shí)間仍然可以降低至少33%.

表1 兩種不同傅里葉變換方法的定量比較Table 1.Quantitative comparison between two kinds of Fourier transform algorithms.

3.2 不同頻譜間隔對(duì)偽影產(chǎn)生的影響

當(dāng)頻譜間隔較小時(shí), 兩幅圖像傅里葉變換法無法完全抑制頻譜混疊產(chǎn)生的偽影.因此, 選擇合適的頻譜間隔對(duì)于抑制偽影是非常重要的.下面我們通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比不同頻譜間隔對(duì)偽影產(chǎn)生的影響.實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示, X射線源的電壓為50 kVp, 電流為160 μA.X射線源離探測(cè)器80 cm,樣品雞翅離探測(cè)器12 cm.采集光柵在兩個(gè)不同位置的圖像, 每個(gè)位置采集三幅圖像取平均去噪, 每幅圖像曝光4 s.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示.

圖8(a)、圖8(c)和圖8(e)分別是載波條紋周期與探測(cè)器像素尺寸比值r= 3時(shí), 雞翅的頻譜圖、相襯像和暗場(chǎng)像, 此時(shí)光柵離探測(cè)器45.78 cm.圖8(b)、圖8(d)和圖8(f)分別是r= 5時(shí), 雞翅的頻譜圖、相襯像和暗場(chǎng)像, 此時(shí)光柵離探測(cè)器59.47 cm.平板探測(cè)器共有864 × 1536個(gè)像素,圖8(a)中一級(jí)頻譜中心和零級(jí)頻譜中心間隔288個(gè)像素, 而圖8(b)中一級(jí)頻譜中心和零級(jí)頻譜中心間隔173個(gè)像素.圖8(a)和圖8(b)使用的濾波窗口均為標(biāo)準(zhǔn)差σ= 144個(gè)像素的高斯窗.可以看出, 使用頻譜間隔較寬的頻譜圖恢復(fù)出的相襯像圖8(c)相對(duì)于使用頻譜間隔較窄的頻譜圖恢復(fù)出的相襯像圖8(d), 偽影明顯減少.這說明在相同的濾波窗口寬度下, 拉大頻譜的間隔能有效地減少頻譜混疊.然而, 頻譜的間隔并不能無限大, 其最大間隔為頻譜擴(kuò)展方向上像素?cái)?shù)量的一半.從圖8(e)與圖8(f)的比較中可以看出, 拉大頻譜間隔對(duì)于減少暗場(chǎng)像的偽影同樣有效, 這點(diǎn)可以從將(9)式中的取角度操作改為取模操作得知.將(9)式中的取角度操作改為取模操作后, 我們將獲得和暗場(chǎng)像相關(guān)的條紋振幅的比值, 該比值同樣會(huì)受到濾波后殘留的零頻分量a1(x) ,a2(x) 的影響.

4 總 結(jié)

針對(duì)單幅圖像的傅里葉變換法恢復(fù)物體相位信息過程中容易出現(xiàn)偽影的問題, 本文分析了偽影產(chǎn)生的機(jī)理, 提出了抑制偽影的算法.在利用單幅圖像的傅里葉變換恢復(fù)物體相位信息過程中, 由于物體零級(jí)頻譜和一級(jí)頻譜的混疊, 造成一級(jí)頻譜濾波后仍殘留有零級(jí)頻譜分量, 最終導(dǎo)致恢復(fù)出來的相位圖像中出現(xiàn)了和載波條紋相同頻率的偽影.據(jù)此, 我們利用兩幅相位差為 π 的圖像進(jìn)行傅里葉變換去除零頻, 最終有效地抑制了偽影的產(chǎn)生.同時(shí),通過增大載波條紋的頻率以拉大頻譜間隔, 可以進(jìn)一步地抑制頻譜混疊和偽影.本文提出的兩幅圖像傅里葉變換算法雖然是在非相干X射線成像系統(tǒng)上得到驗(yàn)證的, 但對(duì)于Talbot-Lau干涉儀, 理論上同樣可以應(yīng)用該算法進(jìn)行偽影的抑制.