非負(fù)矩陣Hadamard譜半徑的新界值估計(jì)

李 華, 周樹克,蘭奇遜

(河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 平頂山 467036)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Rn×n,則C=A°B=(aijbij)為矩陣A與B的Hadamard積。

關(guān)于非負(fù)矩陣A，B的Hadamard積譜半徑上界估計(jì)前人已經(jīng)做了很多研究,文獻(xiàn)[1]給出了一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果:

ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B)

(1)

文獻(xiàn)[2，3]也對(duì)類似問題做了很好的研究工作,給出了如下結(jié)果：

(2)

(3)

當(dāng)矩陣A為非負(fù)矩陣,矩陣B為逆M-矩陣時(shí),文獻(xiàn)[4，5]給出了如下結(jié)果：

(4)

(5)

其中B-1=(wij)n×n.

本文對(duì)非負(fù)矩陣Hadamard譜半徑估計(jì)繼續(xù)做深入的研討,得到新的估計(jì)式,估計(jì)式易于計(jì)算。

2 非負(fù)矩陣Hadamard積譜半徑上界估計(jì)

設(shè)A=(aij)∈Cn×n,aii≠0,對(duì)任意i,j∈,有

引理1[6]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是逆M-矩陣,則A≥0.

引理2[6]設(shè)A∈Zn,A是非奇異M-矩陣的充要條件是A的順序主子式都是正的。

引理3[7]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是嚴(yán)格按列對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A-1=(αij)存在,且對(duì)任意i∈N有

|αij|≤δj|αii|

引理4[8]設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0,則有:

引理5[9]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則矩陣A的所有特征值位于下列區(qū)域之中：

設(shè)G=diag(u1v1,u2v2,…,unvn),由引理4知,則有：

由引理5知,有

|ρ(A°B)-aiibii||ρ(A°B)-ajjbjj|≤Ri[G-1(A°B)G]Rj[G-1(A°B)G]

2.設(shè)A°B為可約矩陣,則A和B中至少有一個(gè)是可約的。設(shè)P=(pij)是n階置換矩陣，p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余pij的都為零。對(duì)任意的ε>0，讓?duì)拧?使得A+εP，B+εP是不可約非負(fù)矩陣,用A+εP，B+εP分別代替A和B,讓?duì)拧?,由連續(xù)性,可知結(jié)果成立。

定理2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非負(fù)矩陣，B=(bij)是逆M-矩陣,B-1=(βij)，則有：

證明 1.設(shè)A°B為不可約矩陣,則A,B,JA都不可約,由于B是逆M-矩陣,則B≥0，存在正向量u=(u1,u2,…,un)T,v=(v1,v2,…，vn)T滿足JAu=ρ(JA)u,BTv=ρ(BT)v.

即有：

設(shè)V=diag(v1,v2,…,vn),則C=VB-1=(βijvi)是嚴(yán)格按列對(duì)角占優(yōu)矩陣,由引理3得,

設(shè)F=diag(f1,f2,…,fn),則有：

由引理5知,有：

|ρ(A°B)-aiibii||ρ(A°B)-ajjbjj|≤Ri[F(A°B)F-1]Rj[F(A°B)F-1]

即：

2.設(shè)A°B為可約矩陣,則A和B中至少有一個(gè)是可約的,由引理4知，B-1的順序主子式都是正的。設(shè)P=(pij)是n階置換矩陣,p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余的pij都為零。 對(duì)任意的

ε>0，讓?duì)拧?使得(B-1-εP)-1的順序主子式都是正的,則A+εP，(B-1-εP)-1分別是不可約非負(fù)矩陣和不可約逆M-矩陣,用A+εP，(B-1-εP)-1分別代替A和B,讓?duì)拧?，由連續(xù)性,可知結(jié)果成立。

3 數(shù)值算例

由公式(1)得：ρ(A°B)≤12.6429.由公式(2)得:ρ(A°B)≤6.4286.

由公式(3)得：ρ(A°B)≤5.8174.

利用本文定理1，得ρ(A°B)≤5.3511.

實(shí)際上,ρ(A°B)=4.2143.

由公式(4)得:ρ(A°B)≤4.3285.由公式(5)得:ρ(A°B)≤4.1524.

利用本文定理2，得ρ(A°B)≤4.0842.

實(shí)際上,ρ(A°B)=3.8178.

由例1和例2可知, 本文定理1和定理2的結(jié)果在一定程度上比文獻(xiàn)[1～5]所得到的界值更精確，且更易于計(jì)算。