數(shù)字建筑參數(shù)化設(shè)計中的幾何學(xué)理論與方法

吳哲昊1 王天裕 張群力3 黃軒安3 潘潤洲

(1.浙江省建筑設(shè)計研究院，杭州 310006； 2.杭州吉易科技有限公司，杭州 310000； 3.浙江新盛建設(shè)集團有限公司，杭州 310011)

1 數(shù)字建筑與建筑幾何

“在建筑實踐的現(xiàn)實世界中，數(shù)字技術(shù)已經(jīng)滲入到方方面面，而設(shè)計師正是要負(fù)責(zé)數(shù)字技術(shù)在方方面面的聯(lián)系。”——彼得.紹拉帕耶。數(shù)字建筑一般是指采用數(shù)字信息技術(shù)進行設(shè)計、建造及運維的建筑，數(shù)字化設(shè)計與制造中解決幾何問題的三種重要的數(shù)學(xué)工具是計算機輔助幾何設(shè)計、計算幾何、微分幾何。建筑幾何學(xué)是數(shù)字時代建筑學(xué)結(jié)合復(fù)雜幾何學(xué)進行多學(xué)科交叉的專業(yè)研究領(lǐng)域，2007年由奧地利計算幾何學(xué)家赫爾穆特·波特曼提出這一概念，它是以計算機為技術(shù)載體，旨在解決數(shù)字化建模過程中復(fù)雜形體建筑設(shè)計建造問題，包括幾何離散化和數(shù)值優(yōu)化兩方面特點。盡管建筑幾何學(xué)屬于跨學(xué)科的研究領(lǐng)域，受到建筑師、計算幾何學(xué)家、結(jié)構(gòu)工程師及數(shù)學(xué)家等不同群體的關(guān)注，但最終研究的仍是建筑形式的操作與實現(xiàn)。近年來，建筑幾何學(xué)正逐漸成為數(shù)字化建筑領(lǐng)域的核心話題，它不僅是關(guān)聯(lián)數(shù)字化設(shè)計與建造的“信息媒介”，更是關(guān)鍵的設(shè)計方法，以致力于探索與呈現(xiàn)幾何規(guī)則、形式生成和建造邏輯之間的一致性[1]。

2 參數(shù)化與曲面內(nèi)蘊幾何

2.1 流形與參數(shù)化

流形的概念最早由黎曼提出，按黎曼的想法，排成一定次序的n個自變量看成一個動點，每一個自變量稱為該動點的坐標(biāo)，而動點的變換范圍就是所謂的n維流形。流形的最重要的特性是具有局部坐標(biāo)系，使許多幾何、物理問題可通過坐標(biāo)方法進行處理。流形是可以參數(shù)化的幾何對象，在三維幾何形體的創(chuàng)建、優(yōu)化、表達的過程中，參數(shù)化是一種有效的工具。

2.2 曲面內(nèi)蘊幾何

度量和聯(lián)絡(luò)是微分幾何中最基本的內(nèi)蘊幾何概念

(1)度量

曲面上由第一基本形式?jīng)Q定的幾何，就是曲面的內(nèi)蘊幾何。曲面的度量是用曲面第一基本形式表達的，度量是內(nèi)蘊幾何概念。曲面的度量是曲面嵌入R3空間時由R3空間度量在曲面上誘導(dǎo)出來的一種黎曼度量。度量也稱為距離函數(shù)，利用曲面的度量，就可以定義曲線的弧長、曲面的面積、兩曲線的夾角、高斯曲率等內(nèi)蘊幾何量。

曲面參數(shù)化映射是計算機圖形、圖像工程中的重要的工具。它的任務(wù)就是在不同的曲面之間(局部乃至整體)建立圖形圖像幾何信息無畸變、或部分無畸變的傳輸。具體可應(yīng)用在紋理貼圖、法向量貼圖等方面[2]。數(shù)字建筑設(shè)計中可用于建筑表面蒙皮、幕墻風(fēng)格排布等。

局部上當(dāng)兩曲面對應(yīng)點上第一基本形式相等時兩曲面存在等距(等度量)映射； 第一基本形式成比例時存在等角映射(共形映射)； 第一基本形式系數(shù)行列式(面元)相等時存在等面積映射。實現(xiàn)曲面參數(shù)化映射算法需要運用許多數(shù)學(xué)工具，但最原始的幾何思想來自曲面度量概念?？筛鶕?jù)對稱的思想通過變換群分析此類幾何問題，利用共形變換群(一般為有限群)研究曲面間的共形映射。利用等面積變換群(一般為無限群)研究等面積映射。曲面共形映射算法的理論基礎(chǔ)來自共形幾何，曲面表面積映射算法的理論基礎(chǔ)來自最優(yōu)輸運理論。

(2)聯(lián)絡(luò)

比較曲面上兩個不同點的幾何量，得將兩個點上的幾何量放在同一點上才能進行，利用Levi-Civita平行移動是一個重要的方法。意大利數(shù)學(xué)家列維齊維塔(Levi-Civita)對彎曲空間上的幾何做出了突出貢獻，他發(fā)現(xiàn)的Levi-Civita平行移動為聯(lián)絡(luò)概念提供了幾何上的解釋。要在曲面上做幾何，就要將平面上的直線、向量的平行移動的概念擴展到曲面上來。將曲面S上曲線C上的切向量場α(s)沿曲線的微分da(s)，按曲面的法線方向n投影到曲面S的切平面上，就得到了協(xié)變微分Da(s)。協(xié)變微分是一種線性微分算子有時也稱為Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，曲面上的Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)系數(shù)可由曲面的度量張量導(dǎo)出，所以Levi-Civita聯(lián)絡(luò)概念也是曲面的內(nèi)蘊幾何概念。利用它可以建立曲面上的向量場不同點之間的保向量、保內(nèi)積的一種同構(gòu)關(guān)系。如果曲面上沿一條曲線的向量場的協(xié)變微分為零，我們稱該向量場沿該曲線是Levi-Civita平行的。

實際上聯(lián)絡(luò)反映流形上的一種平行移動結(jié)構(gòu)，是一種獨立于度量的幾何概念。利用聯(lián)絡(luò)可將流形上局部的微分幾何與流形整體拓?fù)湫再|(zhì)聯(lián)系起來，對流形進行整體微分幾何討論。Levi-Civita平移的概念在彎扭斜交網(wǎng)格的控制網(wǎng)格線為測地線或分段測地線時，就可以看到其直觀的幾何意義。詳見后續(xù)文章“彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計中的幾何學(xué)理論與方法”。平面上的等距曲線就是平行曲線，曲面上一般沒有等距曲線和平行曲線的概念，只有測地等距曲線與Levi-Civita平行曲線的概念。

2.3 相伴曲面、法向映射曲面、法向等距曲面

相伴曲面Sx、法向映射曲面Sf、等距Sd曲面是計算機幾何建模中的常用映射曲面[3]，它們是通過對兩個曲面對比中來建立曲面及研究曲面之間幾何特性的映射方法。設(shè)有兩張曲面S和Sx，如果它們之間建立了點到點的映射關(guān)系，則稱它們?yōu)橐粚ο喟榍妗Ｈ绻鍿f沿著曲面S的法向與S一一對應(yīng)，稱Sf為S的法向映射曲面。

當(dāng)法向映射函數(shù)的距離等于常數(shù)c時，法向映射曲面Sf成為曲面S的等距曲面Sd(注：這是外在等距關(guān)系)，它們互為等距面。三種映射曲面按集合中的包含關(guān)系為：Sx?Sf?Sd。等距曲面與源曲面之間具有良好的幾何對應(yīng)關(guān)系，等距曲面或等距網(wǎng)格上，對應(yīng)點共用同一法線。

高斯曲率是曲面上最重要的內(nèi)蘊幾何量，僅用一個數(shù)量就能反映出曲面上一個點的彎曲程度。曲面上任一點的高斯曲率數(shù)值上等于該點上曲面兩個主曲率的乘積，幾何上高斯曲率反映了該點曲面偏離平面的程度。當(dāng)高斯曲率為零時曲面為平面(兩個主曲率為零)或可展直紋曲面(一個主曲率為0)。曲面上高斯曲率大于零的點稱為橢圓點，高斯曲率小于零的點稱為雙曲點。曲面做法向等距映射時，源曲面與等距曲面在對應(yīng)點上的高斯曲率正負(fù)性不變； 對高斯曲率大于0的曲面，向凸方向映射時等距曲面的高斯曲率變小，向凹方向映射時等距曲面的高斯曲率變大，大小變化的公式可以用活動標(biāo)架外微分法獲得。

3 項目介紹

圖1 運河亞運公園

圖2 玉碂

圖3 乒乓球館外景

圖4 乒乓球館側(cè)廳

圖5 乒乓球館比賽大廳

3.1 建筑設(shè)計及建筑表皮設(shè)計

本項目建筑輪廓的形成取自于良渚玉碂的形態(tài)，方圓求交。由內(nèi)向外，中間圓形場地作為比賽大廳、空腔、側(cè)廳。外圍四個直角經(jīng)過曲率優(yōu)化處理成為圓潤的卵狀形體，與周圍景觀渾然一體。整個形體沿著高度方向在中部有一個小小的剪切變形，巧妙地設(shè)計出后方觀景平臺同時又增大了前方入口處的使用空間，現(xiàn)代工匠們利用數(shù)字信息技術(shù)精雕細(xì)琢出這一現(xiàn)代玉碂建筑[4]。

建筑表皮參數(shù)化設(shè)計，建筑形體表面是由若干張自由曲面組合而成的連通曲面，表皮造型主要由兩部分組成。一部份是在曲面上按一定傾斜角排列的鱗片式仿銅平面鋁板幕墻，另一部分是按斜交網(wǎng)格排列鱗片式棱形平面玻璃幕墻。棱形平面玻璃按排布邏輯漸變起翹，兩種幕墻之間通過變換表皮曲率形成的腰帶鼓包進行過渡。整體上兩種幕墻通過虛實對比、動靜結(jié)合形成完美的視覺效果。白天，陽光照射下鋁板熠熠生輝，幕墻整體亮度分布隨陽光與鋁板平面夾角大小變化，自然地反映了建筑外輪廓上空間曲率變化。夜晚，當(dāng)月亮在空中升起，月光撒落大地，每一塊棱形玻璃上都會折射出一個月亮，令人想起春江花月夜中詩句“滟滟隨波千萬里，何處春江無月明”。整個建筑表皮設(shè)計給人以極致雍容華貴感覺，遠處望去，彎曲形體表面構(gòu)畫出了一幅行云流水、魚躍龍騰的圖案。

3.2 結(jié)構(gòu)設(shè)計

整體結(jié)構(gòu)由外圍護結(jié)構(gòu)、內(nèi)部混凝土框架結(jié)構(gòu)、屋頂自由曲面空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)組成。其中外圍護結(jié)構(gòu)由兩部分組成，一部分是陽極氧化鋁板幕墻區(qū)域，底部混凝土型鋼斜柱加上部自立式鋼桁架，另一部分是玻璃幕墻區(qū)域，彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。兩部分結(jié)合處布置了格構(gòu)式鋼柱用于轉(zhuǎn)換和傳遞兩部分結(jié)構(gòu)之間相互作用。內(nèi)部結(jié)構(gòu)為鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，在內(nèi)外兩圈空腔的墻體部位，用圓柱坐標(biāo)系各按每十度布置一個框架柱，內(nèi)外圈框架柱之間以及環(huán)向框架柱之間布置混凝土梁板結(jié)構(gòu)形成空間框架結(jié)構(gòu)。屋頂結(jié)構(gòu)為自由曲面空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，網(wǎng)架底部共有36個支座，分別安裝在36個混凝土柱頂部，其中外圈26個，內(nèi)圈10個，基礎(chǔ)采用混凝土鉆孔樁基礎(chǔ)。

圖6 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

4 建筑的基本幾何控制系統(tǒng)

4.1 基本幾何控制系統(tǒng)組成部分

數(shù)字建筑領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物邵韋平教授曾對建筑幾何控制系統(tǒng)做出如下定義“設(shè)計師會在設(shè)計控制過程中對所有與幾何定義相關(guān)的信息、數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)的描述和表達，而這些處理后的幾何信息具有直接與建造對接的能力，以達到全過程精確控制設(shè)計、深化、加工、安裝的目的。將這類描述幾何定義，限定幾何關(guān)系的信息、數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為幾何控制系統(tǒng)。其表現(xiàn)在計算機模型中為具有具體坐標(biāo)和特性的點、線、面所組成的數(shù)據(jù)系統(tǒng)?！苯ㄖ庑屋喞_定之后，對于復(fù)雜形體的建筑還要用幾何方法建立一套有效的基本形態(tài)控制系統(tǒng)[5]，稱為基本幾何控制系統(tǒng)。

本工程基本幾何控制系統(tǒng)由三部分組成：a)一個R3中的歐氏坐標(biāo)系(原點設(shè)在比賽場地中心，標(biāo)高為正負(fù)0.000處)作為建筑整體坐標(biāo)系； b)不同樓層的平面軸網(wǎng)關(guān)系； c)由若干張自由曲面組成的組合曲面。該組合曲面為建筑幾何形體外邊界的控制曲面，是該基本幾何控制系統(tǒng)中最重要的一個組成部分，我們稱為基本控制曲面。以它為源曲面利用R3中法向等距曲面族對彎曲空間區(qū)域進行有序、等厚、彎曲映射(剖分)。對邊界曲面內(nèi)側(cè)空間區(qū)域進行參數(shù)化，得到一個流面場。將空間區(qū)域用一張張等距曲面填滿，使得每一點上都有一張且僅有一張參數(shù)曲面通過。這些空間區(qū)域經(jīng)過法向等距參數(shù)化劃分后，便可利用流面場對各彎曲區(qū)域內(nèi)的彎曲、彎扭構(gòu)件進行參數(shù)化布置。

4.2 建筑主系統(tǒng)與建筑次系統(tǒng)

總的建筑系統(tǒng)是由建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、建筑幕墻系統(tǒng)、建筑裝飾系統(tǒng)、建筑機電系統(tǒng)、建筑設(shè)備系統(tǒng)、賽事系統(tǒng)等組成。這些系統(tǒng)需統(tǒng)一規(guī)劃、有組織、分層次、有序的布置在建筑內(nèi)部彼此相鄰的空間中。按照實際建造過程，我們將建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，其它系統(tǒng)作為次系統(tǒng)。因為從結(jié)構(gòu)受力而言幕墻系統(tǒng)的龍骨、裝修系統(tǒng)的龍骨、機電及設(shè)備系統(tǒng)的支架、吊架等次結(jié)構(gòu)(非結(jié)構(gòu)性構(gòu)件)都是依附于主體結(jié)構(gòu)上的。必須等主體結(jié)構(gòu)布置好以后才能考慮它們的連接布置。所以首先要確定主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)，然后按次結(jié)構(gòu)與主體結(jié)構(gòu)的連接關(guān)系及各次系統(tǒng)中幾何形體的生成邏輯衍生出各次系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)。

4.3 由建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)衍生建筑次系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)過程簡單介紹

(1)外圍非線性建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)

根據(jù)各設(shè)計專業(yè)的協(xié)調(diào)結(jié)果將基本控制曲面沿曲面法線向室內(nèi)作等距映射，其中陽極氧化鋁板幕墻處距離為500，玻璃幕墻處距離為350。映射后得到的曲面組合作為建筑主系統(tǒng)的控制曲面。其中陽極氧化鋁板幕墻處的鋼結(jié)構(gòu)為水平面內(nèi)彎曲的鋼梁、豎直面內(nèi)彎曲鋼柱組成的鋼桁架，按結(jié)構(gòu)平面布置用水平面和豎直面與主系統(tǒng)的控制曲面求交就得到它們的控制網(wǎng)格曲線。玻璃幕墻后面的鋼結(jié)構(gòu)是彎扭斜交網(wǎng)格，所以還要在控制曲面上建立起彎扭構(gòu)件定位的網(wǎng)格曲線。彎扭斜交網(wǎng)格的幾何形體較為復(fù)雜，光有控制曲面、控制網(wǎng)格還是無法建立高質(zhì)量的幾何模型。需要利用光滑曲面、曲線上的微分結(jié)構(gòu)以及利用曲面上任意點上法線及曲線上任一點上切線的唯一性，在網(wǎng)格線上建立起活動標(biāo)架場，才能完整建成該處建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)。(詳見第5章中相關(guān)內(nèi)容)

(2)建筑主系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)衍生建筑次系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)

對于幾何關(guān)系相對簡單的建筑次系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)可以由建筑主系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)衍生得到，衍生的過程有點類似施工過程中的二次放樣。一個是在虛擬的電腦模型中實現(xiàn)，另一個是在建筑實體上實現(xiàn)。以鋁板外幕墻背后室內(nèi)的建筑裝修系統(tǒng)(也稱為內(nèi)幕墻)為例作簡單介紹，該系統(tǒng)由水平面內(nèi)的彎曲主龍、豎直面內(nèi)彎曲的次龍、鋁板組成。內(nèi)幕墻完成面S*與主體結(jié)構(gòu)鋼柱室內(nèi)方向表面所在控制曲面S之間為法向等距曲面關(guān)系。將S向室內(nèi)的法向等距映射5公分就得到S*。用等高的水平面(間距約2.5m)與S*相交，得到水平面內(nèi)的曲線就是水平主龍的定位軸線。再用豎直面(該豎直面的水平面投影線垂直S與樓層平面的交線，間距約1.2m)與S*相交得到豎直面內(nèi)的曲線就是豎向次龍骨的定位軸線。這樣我們就完成了一個由建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)衍生出了一個建筑次系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)的過程。類似彎扭斜交網(wǎng)格上玻璃幕墻系統(tǒng)(龍骨及玻璃)的幾何控制系統(tǒng)也可用建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)直接衍生得到。(詳見第5章中相關(guān)內(nèi)容)

對于幾何關(guān)系復(fù)雜的建筑次系統(tǒng)幾何控制系統(tǒng)例如鋁板幕墻的幾何控制系統(tǒng)要用建筑基本幾何控制系統(tǒng)聯(lián)合建筑主系統(tǒng)的幾何控制系統(tǒng)共同衍生出來。(詳見第5章中相關(guān)內(nèi)容)。

圖7 建筑子系統(tǒng)集

5 建筑外圍護系統(tǒng)參數(shù)化設(shè)計

5.1 建筑外圍護系統(tǒng)

本工程建筑外圍護系統(tǒng)按鋁板幕墻和玻璃幕墻分為兩個部分，一部分為陽極氧化鋁板幕墻區(qū)域，該區(qū)域外圍護系統(tǒng)由內(nèi)到外含有三層分別為內(nèi)裝修系統(tǒng)(裝修表皮加龍骨)、鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(彎曲的鋼桁架)、鋁板幕墻系統(tǒng)(鋁板加二道龍骨)。它們布置在由四張等距曲面分隔的三個彎曲的空間區(qū)域中。而兩個相鄰區(qū)域的交界曲面，就是基本控制曲面S的某一個等距曲面。所有構(gòu)件由控制曲面上的控制曲線所定位。另一部分為玻璃幕墻區(qū)域，該區(qū)域外圍護系統(tǒng)由內(nèi)到外含有二層分別為鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(彎扭斜交網(wǎng)格[6])、玻璃幕墻系統(tǒng)(玻璃加龍骨)。它們布置在由三張等距曲面分隔的二個彎曲的空間區(qū)域中。所有構(gòu)件由控制曲面上的控制曲線所定位。利用了同一點上控制曲線、控制曲面的線性結(jié)構(gòu)，在選定的控制點集上分別建立局部的三維歐氏坐標(biāo)系對構(gòu)件的正截面進行歐氏幾何操作與布置。由于兩張等距曲面上對應(yīng)的網(wǎng)格也保留了等距的性質(zhì)，所以通過這套由控制曲面、曲線構(gòu)造的幾何控制系統(tǒng)，就可以對其中所有構(gòu)件按結(jié)構(gòu)層次、結(jié)構(gòu)布置、連接方式進行空間定位。

5.2 玻璃幕墻區(qū)域鋼結(jié)構(gòu)及幕墻的參數(shù)化建模

(1)曲線網(wǎng)格優(yōu)化

曲面上網(wǎng)格的最優(yōu)控制指標(biāo)是根據(jù)造型設(shè)計要求所確定，通常情況下，曲面上一個良好的造型網(wǎng)格應(yīng)該具備以下幾個基本控制條件，曲線的光順性、網(wǎng)格大小、夾角的均勻性、良好的漸進性和對復(fù)雜曲面的適應(yīng)性、可進行參數(shù)化調(diào)控(網(wǎng)格曲線為等參曲線、等值曲線)。用RhinoScript編寫腳本或RhinoGrasshopper參數(shù)化建模，“按最優(yōu)控制指標(biāo)設(shè)立獎罰函數(shù)進行迭代計算，條件判斷直到滿足精度，最后給出網(wǎng)格圖形”。因篇幅關(guān)系不在此展開，詳見后續(xù)文章“彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計中的幾何學(xué)理論與方法”。

圖8 控制網(wǎng)格與控制曲面

圖9 殼與鏤空殼

(2)彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

可以用控制曲面的法向等距曲面建立等厚殼模型，然后在三維殼體上按控制網(wǎng)格要求鏤空中間棱形部分得到彎扭斜交網(wǎng)格的模型。雖然這種模型的外表面更符合建筑設(shè)計的要求，但是在制作過程會遇到困難。這種模型的前后兩個表面與控制曲面一樣為自由曲面，無法展平，只能用在減料加工成型的制作工藝上?！敖ㄖ缀螌W(xué)提供的工具可以將標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為適合建筑應(yīng)用和制造的形式，這個轉(zhuǎn)化過程被稱為合理化過程”——赫爾穆特.波特曼。采用矩形(環(huán)形平面)掃掠成型的方法得到的模型，四個表面都是可展的直紋曲面，剛好符合用鋼板做彎扭板件然后組裝成彎扭桿件，最后拼裝成彎扭斜交網(wǎng)格的制造工藝。

(3)用控制曲面、曲線上線性結(jié)構(gòu)建立活動標(biāo)架場

本工程利用控制曲面、曲線上的線性結(jié)構(gòu)建立一批專用活動標(biāo)架。彎扭斜交網(wǎng)格的每根桿件可以由一個矩形邊框，將其中心約束在控制曲線上，矩形平面的兩個主軸約束在曲線法平面上的兩個標(biāo)架矢上，沿曲線掃掠成型。

設(shè)P為 曲線L上一個點，L為曲面S上的一條曲線：P∈L?S，利用P點曲線L的單位切向量作為P的活動標(biāo)架的第一基矢r1，曲面S的單位法向量作為P點的活動標(biāo)架的第二基矢r2，r1×r2=r3作為P的活動標(biāo)架的第三基矢。即得P點的活動標(biāo)架(P；r1，r2，r3)。利用該標(biāo)架中的平面直角坐標(biāo)系(P；r2，r3)就可以將彎扭構(gòu)件的正截面布置在R3空間中。其中矩形的兩個主軸分別與r2，r3重合。

具體步驟：建立控制曲面上的斜交曲線網(wǎng)格； 對每條網(wǎng)格線按弧長等分； 在每個分點上建立活動標(biāo)架； 在每個標(biāo)架上布置桿件的截面； 因篇幅關(guān)系不在此展開，詳見本文的后續(xù)文章：彎扭斜交網(wǎng)格參數(shù)化設(shè)計中的幾何學(xué)理論與方法。

6 玻璃幕墻的龍骨及玻璃的排布

6.1 玻璃龍骨建模

彎扭斜交網(wǎng)格區(qū)域的玻璃幕墻龍骨也可以利用彎扭構(gòu)件的活動標(biāo)架來建立三維模型。這是因為基本控制曲面及曲面上的控制網(wǎng)格經(jīng)法向等距映射后，仍然保留了對應(yīng)的幾何關(guān)系，詳見圖11。

圖11 帶龍骨的彎扭構(gòu)件

6.2 玻璃的裁剪與排布

前面已對曲面上曲線的測地等距線、曲線的Levi-Civita平行曲線進行了討論，在三維建模時，在滿足設(shè)計精度的前提下可以利用(offset)偏移曲線來代替“平行”或“等距”曲線。將等距曲面上的所有控制網(wǎng)格線向兩側(cè)棱形區(qū)域偏移75得到偏移曲線，然后這些偏移曲線兩兩求交，刪除棱形區(qū)域以外的部分曲線和曲面，得到一塊塊獨立的棱形曲面。每一個曲面棱形上有4個角點，用其中的1#、2#、3#點作一個平面(該平面并不其中是某一個點的切平面)，4#點一般情況下位于平面的下方，但也有極少數(shù)位于平面上方。用4#點上控制曲面的法線與平面相交得到4′#點，這樣我們就可以利用1#、2#、3#、4′#點建立一個棱形的平面，其各條邊均為直線。其中的4′#點翹曲脫離控制曲面，其它三個點都位于在曲面上。對于前面提到的極少數(shù)情況“4#點位于平面的上方”就要將此棱形平面玻璃沿平面的法線方向，向外平移保證4#點位于平面的下方，詳見圖12～13。

圖12 平板玻璃4#位起翹

圖13 玻璃幕墻

7 陽極氧化鋁板幕墻區(qū)域的建模

7.1 曲面形鋼桁架系統(tǒng)

陽極氧化鋁板幕墻通過連接件、主次龍骨與后方的曲面形鋼桁架系統(tǒng)連接。水平次龍骨與斜向主龍骨連接，斜向主龍骨再與后方的曲面形鋼桁架系統(tǒng)連接，鋼桁架柱在豎直面單方向彎曲，桁架梁在水平面單方向彎曲。它們的定位及建模較為簡單，這里不再進行討論。

7.2 鋁板幕墻排布、裁剪

幕墻的排布風(fēng)格可以通過控制曲面上的紋理貼圖來實現(xiàn)。紋理貼圖技術(shù)在數(shù)學(xué)上等價于從曲面到平面區(qū)域的一個光滑雙射，在計算機圖形、圖像工程中稱為曲面參數(shù)化問題。

本工程利用控制曲面上離散線性結(jié)構(gòu)直接進行排布?？刂魄娴拿恳粋€點上有一個切平面(由該點的全體切向量組成)，由曲面及其曲面上所有切平面構(gòu)成的幾何對象稱為切叢[7]，曲面為該切叢的底流形。選擇曲面上有限多個點及這些點上的切平面，得到一個離散的切叢Q。利用Q可以排布、裁剪出整個幕墻陽極氧化鋁板的布置風(fēng)格。

鋁板幕墻的龍骨以及鋁板在控制曲面上的排布、裁剪方法通過曲面的邊界曲線分析，整張控制曲面有上下左右四條邊界曲線，其中上邊界曲線的弧長比下邊界曲線的弧長短。將上下邊界曲線都作n等分，根據(jù)傾斜角的要求用曲面上的測地線連接上下邊界曲線上的對應(yīng)分點。這樣就得到了所有鋁板和龍骨的定位曲線(選取其中一條作為基準(zhǔn)線R)。曲面上兩條定位曲線之間水平方向曲線，由水平面與曲面S的求交產(chǎn)生，水平方向曲線弧長變化的規(guī)律是隨標(biāo)高增大而慢慢減小。所以每塊鋁板的寬度也是按變化取值。底部區(qū)域的鋁板寬度約為2.0m，頂部區(qū)域的鋁板寬度約為1.8m。利用基準(zhǔn)線R，將一個矩形平面的左上角的點約束在曲線R上的A點，在A點做S的法線和切平面，再用過A點的水平面與切平面求交，得到切矢r1，在切平面上將切矢r1繞A點旋轉(zhuǎn)90度復(fù)制得到切矢r2。這r1和r2就定位了鋁板的兩條邊線，在切平面上再利用平移復(fù)制方法得到鋁板另外的邊線(詳見圖14)。還可以在法線方向擠出鋁板的厚度。然后沿著基準(zhǔn)線R往上，確定第二個矩形平面的左上角在R上的定位點B，在B點建立S的切平面和法線，依次類推就可完成第一列矩形的鋁板排布。然后布置第二列上的鋁板，該列的水平面比前一列的水平面對應(yīng)的鋁板要抬高150，保證滿足上下兩塊鋁板間覆蓋距離要求。而鋁板的寬度最下面約為2m(比定位曲線間距寬出約200)，往上排與定位曲線的間距變化的規(guī)律一樣，隨標(biāo)高增加而慢慢減小)，保證滿足左右兩列鋁板之間的覆蓋距離要求。在確定矩形鋁板排布邏輯及原則后，利用RhinoScript編寫腳本或使用RhinoGrasshopper參數(shù)化建模，RhinoGrasshopper具有內(nèi)置的微分幾何方法，根據(jù)控制點法線和切平面，確定各個板件位置和傾斜角，還可通過軟件對不同規(guī)格的鋁板排列情況隨機編號。通過數(shù)據(jù)查驗和渲染觀察比較，平衡幾何誤差和美學(xué)訴求關(guān)系(詳見圖15)。

圖14 每塊鋁板定位于切平面坐標(biāo)系的第4象限

圖15 曲面離散切叢上鋁板的排布組

7.3 鋁板幕墻的龍骨系統(tǒng)

根據(jù)前面的鋁板排布可知，鋁板的控制線系統(tǒng)為基本控制曲面上斜向排列的測地線組成，次龍的控制線系統(tǒng)為水平面與基本控制曲面交線組成。因為鋁板是在基本控制曲面上排布的，將基本控制曲面和其上面鋁板的定位曲線族(測地線)沿曲面法向往室內(nèi)方向等距映射45公分，就可衍生出鋁板

幕墻主龍骨的控制曲面和控制曲線系統(tǒng)。這些主龍是連接在主體結(jié)構(gòu)上的，所以再次利用曲面的法向

映射，將定位曲線族向室內(nèi)方向映射5公分(45+5= 50)通過它們與主體結(jié)構(gòu)控制線的交點，就能確定幕墻主龍與土建結(jié)構(gòu)的連接位置。

通過主龍的控制曲面與主龍控制線我們可以對主龍(空間曲線)彎扭構(gòu)件建模。通過基本控制曲面與次龍控制線我們可以對次龍(平面曲線)彎曲構(gòu)件建模。細(xì)部設(shè)計上，通過RhinoGrasshopper模型的細(xì)節(jié)推敲、尺寸數(shù)據(jù)檢查以及構(gòu)造詳圖的繪制。綜合三方面工作，對原有模型參數(shù)進行調(diào)整修正。對鋼結(jié)構(gòu)、主龍、次龍、突包、幕墻轉(zhuǎn)角、幕墻周邊節(jié)點等方面，參數(shù)化設(shè)計均發(fā)揮了重要作用。

圖16 整體主龍與鋁板

8 建筑屋蓋系統(tǒng)的參數(shù)化設(shè)計

屋頂結(jié)構(gòu)采用自由曲面空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)[8]，構(gòu)件為圓桿、球節(jié)點。網(wǎng)架定位與建模(文章篇幅所限)不在此進行討論，網(wǎng)架頂上由頂撐、主檁(徑向布置)、次檁(環(huán)向布置)組成金屬屋面的龍骨系統(tǒng)。屋面為直立自鎖邊鋁鎂錳板金屬屋面。

8.1 直立自鎖邊氧化鋁鎂錳金屬屋面建模

直立自鎖邊氧化鋁鎂錳金屬屋面板建模，對直紋曲面順屋面坡度(泛水)方向進行模數(shù)化細(xì)分，正好利用了直紋曲面上的測地線(直線)局部短程性質(zhì)進行有效的排水。屋頂控制曲面為可展直紋曲面，由5個環(huán)形區(qū)域組成。利用等高線族對其進行分析，可以發(fā)現(xiàn)，屋面順泛水方向還帶有脊谷形變化。屋頂控制曲面上的金屬屋面系統(tǒng)建模邏輯， 金屬屋面直立自鎖邊鋁板建模策略與步驟：

1.將一塊直立自鎖邊鋁板兩條長邊在曲面上對應(yīng)的兩條定位曲線L和L′按弧長各等分為n段，得到n+1對等分(定位)點，A，A′；B，B′……。測量出各段直線AA′，BB′，……的長度，及各段長度相對于端部長度AA′的比值。在一個平面上將每一個直立自鎖邊鋁板的橫斷面(為組合曲線)按比例縮放復(fù)制好。

2.將這些截面移動到曲面上相應(yīng)的定位平面上，以下有兩種方法來確定定位平面：

方法2：在曲面上用測地線連接A點和A′點，然后求出測地線AA′中點A″，在點A″上求曲面的n″法向量，由直線AA′和n″建立平面。在該平面上布置該片直立自鎖邊鋁板的橫斷面(組合曲線)。

3.將各段的橫斷面一一對應(yīng)考入各自的定位平面中，兩側(cè)的直立自鎖邊不一定落在定位點的法線上，以定位點為旋轉(zhuǎn)中心將其旋轉(zhuǎn)到定位曲線的法平面內(nèi)并與曲面法線重合。然后將各曲線段固接，得到一個空間組合曲線(注意：原來是平面組合曲線)。

4.對這些空間曲線進行放樣生成LOFT曲面。詳見圖18。

圖17 屋面排水分析

圖18 直立自鎖邊建模

9 結(jié)語

本文從幾何學(xué)觀點討論了建筑設(shè)計中的參數(shù)化方法[9]。闡述了幾何學(xué)作為建筑參數(shù)化設(shè)計底層理論的重要性。參數(shù)化設(shè)計是利用計算機為建筑設(shè)計提供形體控制、分析、細(xì)化、數(shù)據(jù)化等系列化服務(wù)。參數(shù)化建模一般應(yīng)用在優(yōu)化技術(shù)上，通過將模型參數(shù)化、優(yōu)化過程中不斷對其進行迭代而求出最優(yōu)解。建模時采用參數(shù)(變量)，通過簡單的改變模型中的參數(shù)值就能建立和分析新的模型。本工程參數(shù)設(shè)計總結(jié)如下：始終按幾何學(xué)理論建立邏輯關(guān)系，從初期的幾何形體描述、中后期的深化建模和各部分細(xì)節(jié)點推敲優(yōu)化都是對建筑從整體到細(xì)節(jié)的基于對幾何學(xué)關(guān)系與美學(xué)特征把握下的操作。對控制參數(shù)進行合理的選擇，區(qū)分建模過程中的可調(diào)參數(shù)、固定參數(shù)、與常數(shù)是明確和簡化參數(shù)化模型的關(guān)鍵所在，曲面內(nèi)蘊外在的幾何是參數(shù)化設(shè)計時建立邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)。注重把握生成思維、曲面設(shè)計、邏輯優(yōu)化、算法研究、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、工程對接這6個環(huán)節(jié)[10]。最后借助于幾何造型軟件如RhinoScript或RhinoGrasshopper進行參數(shù)化建模。