空間雙臂機(jī)器人抓捕翻滾目標(biāo)后的魯棒穩(wěn)定控制1)

夏鵬程 羅建軍 王明明

(西北工業(yè)大學(xué)深圳研究院,廣東深圳 518057)

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,西安 710072)

引言

在軌維修失效衛(wèi)星是當(dāng)前空間機(jī)器人在軌服務(wù)的重要應(yīng)用場景[1].空間機(jī)器人抓捕翻滾目標(biāo)技術(shù)是在軌服務(wù)所需的關(guān)鍵技術(shù)之一[2-3].一般將空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)的過程分為抓捕前,抓捕中和抓捕后3個(gè)階段.在抓捕后階段,如何保證機(jī)械臂末端與目標(biāo)接觸力/力矩在安全范圍內(nèi)穩(wěn)定和操控目標(biāo)是空間機(jī)器人在軌服務(wù)的難點(diǎn)之一.

考慮到抓捕后階段任務(wù)的安全性和復(fù)雜度,空間機(jī)器人的抓捕控制通常分為期望運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤控制兩個(gè)過程.對于慣性參數(shù)已知的目標(biāo),抓捕后的軌跡規(guī)劃問題通常被轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題求解[4].Dimitrov 等[5-8]從能量守恒約束的角度規(guī)劃了抓捕后階段的期望運(yùn)動(dòng)軌跡.王明明等[9-11]則利用樣條曲線對機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行參數(shù)化處理,規(guī)劃了時(shí)間最優(yōu)的空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡.余敏等[12-14]針對空間雙臂機(jī)器人提出了一種協(xié)調(diào)基座與機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的軌跡規(guī)劃方法.在實(shí)際應(yīng)用中,因?yàn)闊o法提前準(zhǔn)確地獲得翻滾目標(biāo)的慣性參數(shù),通常利用其估值實(shí)現(xiàn)軌跡規(guī)劃與跟蹤控制.由于被抓捕目標(biāo)的慣性參數(shù)存在不確定性,抓捕了翻滾目標(biāo)的空間機(jī)器人并不能有效地跟蹤規(guī)劃的期望運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解決這一問題,研究者們針對目標(biāo)與空間機(jī)器人構(gòu)成的組合體提出了自適應(yīng)控制策略[15-17].然而上述針對組合體提出的控制方法并未考慮控制過程中因目標(biāo)與機(jī)械臂末端交互而產(chǎn)生的接觸安全問題.

當(dāng)空間多臂機(jī)器人跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí),由于目標(biāo)慣性參數(shù)具有不確定性以及抓捕矩陣零空間內(nèi)多臂之間拉扯與擠壓內(nèi)力的影響,空間機(jī)器人末端的接觸力/力矩可能無法滿足規(guī)劃的安全接觸約束[18-19].為了保證機(jī)械臂末端的接觸安全,減小交互過程中的接觸力/力矩,空間機(jī)器人的研究學(xué)者引入了地面機(jī)器人的阻抗控制方法[20-22].Abiko 等[23-27]基于阻抗控制方法設(shè)計(jì)了跟蹤控制器,通過設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)的控制力矩,將機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)與接觸力之間的關(guān)系等效于一個(gè)質(zhì)量?彈簧?阻尼系統(tǒng),有效地調(diào)整了目標(biāo)與機(jī)械臂末端的接觸情況.為了提高阻抗控制效率,Stolfi 等[28-29]提出了僅對產(chǎn)生接觸的運(yùn)動(dòng)方向采用阻抗控制的混合控制策略.Xia 等[30]提出了一種根據(jù)末端接觸情況調(diào)整期望運(yùn)動(dòng)的方法,通過調(diào)整期望運(yùn)動(dòng)軌跡的方式保證末端接觸的安全.上述研究僅利用機(jī)器人力控制方法被動(dòng)地調(diào)整了交互過程中的接觸力與力矩,而并未在最初設(shè)計(jì)期望運(yùn)動(dòng)軌跡的過程中預(yù)先考慮目標(biāo)慣性參數(shù)不確定性的影響,從而無法有效地約束接觸力與力矩,進(jìn)而保證接觸安全.在近年的研究中,為了主動(dòng)地處理因模型不確定性而產(chǎn)生的接觸安全問題,Gangapersaud 等[31-32]針對模型不確定性有界的情況,設(shè)計(jì)了考慮模型不確定性的期望運(yùn)動(dòng)軌跡以及跟蹤控制器.

為了有效地約束空間雙臂機(jī)器人穩(wěn)定和操控翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過程中的接觸力與力矩,保證抓捕點(diǎn)處的接觸安全,本文提出了一種考慮目標(biāo)慣性不確定性與抓捕點(diǎn)處內(nèi)力的接觸安全魯棒控制方法.首先,利用目標(biāo)慣性參數(shù)的估值,設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制的標(biāo)稱運(yùn)動(dòng).在此基礎(chǔ)上,考慮目標(biāo)不確定性以及內(nèi)力的影響,構(gòu)造目標(biāo)運(yùn)動(dòng)包絡(luò)的魯棒不變集.在不變集內(nèi)設(shè)計(jì)控制目標(biāo)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的虛擬魯棒控制律.隨后,根據(jù)該控制律與運(yùn)動(dòng)約束生成組合體的期望運(yùn)動(dòng).最后,基于障礙李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)了跟蹤控制器,使得空間機(jī)器人能夠在設(shè)計(jì)的控制性能約束范圍內(nèi)有效地跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡、翻滾目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)受到等效于虛擬控制律的接觸力/力矩,從而保證控制過程中的接觸安全.

1 抓捕翻滾目標(biāo)后的組合體建模

鑒于七自由度機(jī)械臂具有冗余度、方便完成多目標(biāo)的空間操控任務(wù),本文中空間機(jī)器人由兩個(gè)對稱安裝的七自由度剛性機(jī)械臂與一個(gè)六自由度運(yùn)動(dòng)的可控基座組成.翻滾目標(biāo)與空間雙臂機(jī)器人在抓捕點(diǎn)處連接形成組合體,如圖1 所示.

圖1 空間機(jī)器人抓捕后示意圖Fig.1 Snapshot of space robot after capturing target

式中,Jte目標(biāo)質(zhì)心到抓捕點(diǎn)的雅可比矩陣.為了方便描述,對于向量x∈R3,x×表示為與其對應(yīng)的反對稱矩陣.根據(jù)向量x1,x2∈R3,定義如下運(yùn)算

目標(biāo)的六自由度運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以表述為如下的形式

式中,It為翻滾目標(biāo)的慣性矩陣.由于目標(biāo)與空間機(jī)器人固連,目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)受到接觸力/力矩的影響.將式(1)和式(4)聯(lián)立,可以得到組合體的閉鏈動(dòng)力學(xué)方程

2 接觸安全因素分析與處理

為了有效地約束空間雙臂機(jī)器人抓捕和穩(wěn)定翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過程中的接觸力/力矩,保證抓捕點(diǎn)處的接觸安全,需要對影響接觸安全的因素進(jìn)行相應(yīng)的分析.

2.1 目標(biāo)慣性參數(shù)不確定性影響分析

由于翻滾目標(biāo)的慣性參數(shù)無法提前準(zhǔn)確地測量,因此存在不確定性.一般利用其慣性參數(shù)的估值設(shè)計(jì)期望的運(yùn)動(dòng)軌跡.首先,利用多項(xiàng)式將目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)空間進(jìn)行參數(shù)化處理.隨后,根據(jù)式(4)中的目標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程,將標(biāo)稱運(yùn)動(dòng)的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題,可得

式中,ε為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與最終期望之間的誤差,T0為運(yùn)動(dòng)時(shí)間,λ1和λ2為權(quán)重因子,fmax為接觸力/力矩的安全約束,xtmin和xtmax為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上下界.通過求解上述優(yōu)化問題,可以得到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的期望軌跡.最終,利用目標(biāo)與機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束,求解得到組合體中機(jī)械臂關(guān)節(jié)與基座的期望運(yùn)動(dòng)軌跡.由目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程可知,對于慣性參數(shù)已知的目標(biāo),當(dāng)跟蹤控制器有效地跟蹤上規(guī)劃的期望軌跡時(shí),目標(biāo)將受到規(guī)劃的接觸力/力矩作用.

對于慣性參數(shù)無法準(zhǔn)確獲知的目標(biāo),由于不確定性的影響,動(dòng)力學(xué)模型中與目標(biāo)慣性參數(shù)相關(guān)的項(xiàng)存在如下的關(guān)系

因此,在抓捕后階段,根據(jù)雙臂機(jī)器人末端的速度無法準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度.此外,由于雅可比矩陣Jte的真值無法獲得,接觸力/力矩對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際作用效果存在偏差.

綜上分析,當(dāng)空間機(jī)器人有效地跟蹤上利用目標(biāo)估計(jì)參數(shù)規(guī)劃參考的期望軌跡時(shí),根據(jù)目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程式(4),有以下的關(guān)系

式中,wt為目標(biāo)慣性參數(shù)不確定對估計(jì)動(dòng)力學(xué)模型產(chǎn)生的影響.?fe為接觸力/力矩的實(shí)際值fe和規(guī)劃值fep之間的誤差.當(dāng)空間機(jī)器人有效地跟蹤利用估計(jì)參數(shù)規(guī)劃的期望運(yùn)動(dòng)時(shí),由于不確定的目標(biāo)慣性參數(shù)影響,空間機(jī)器人末端與目標(biāo)交互的過程無法滿足規(guī)劃的接觸力/力矩約束,控制過程存在接觸安全問題.因此,有必要在規(guī)劃的過程中考慮目標(biāo)不確定性的影響,使得空間機(jī)器人在跟蹤期望軌跡時(shí)能夠保證接觸的安全.

2.2 機(jī)械臂末端內(nèi)力影響分析

當(dāng)空間機(jī)器人的雙臂同時(shí)作用于非合作目標(biāo)時(shí),描述末端接觸力/力矩的fe和作用于目標(biāo)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的向量FE滿足如下的關(guān)系

式中,FE為控制目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的有效力與力矩.與空間單臂機(jī)器人不同,當(dāng)兩個(gè)機(jī)械臂同時(shí)作用于目標(biāo)時(shí),在雅可比矩陣Jte的零空間內(nèi)會產(chǎn)生不影響目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的無效力與力矩FI即內(nèi)力,其表達(dá)式如下

式中,?表示矩陣的廣義逆,I為單位矩陣.內(nèi)力FI反應(yīng)了多個(gè)機(jī)械臂與目標(biāo)之間的拉扯與擠壓.FI僅對機(jī)械臂末端的接觸力/力矩產(chǎn)生影響.因此,為了抓捕點(diǎn)處機(jī)械臂末端與目標(biāo)接觸的安全,還需要在規(guī)劃期望軌跡的過程中考慮內(nèi)力的影響.

3 魯棒運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

經(jīng)上分析可知,為了保證穩(wěn)定過程中抓捕點(diǎn)處的接觸安全,需要在規(guī)劃期望運(yùn)動(dòng)的過程中考慮目標(biāo)不確定性以及內(nèi)力的影響,以便空間機(jī)器人能在約束的接觸力/力矩內(nèi)安全有效地跟蹤期望運(yùn)動(dòng),保證控制過程中抓捕點(diǎn)處的接觸安全.為此,本文提出了一種考慮目標(biāo)有界不確定性以及內(nèi)力影響的魯棒軌跡規(guī)劃方法.

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程(4)可知,目標(biāo)的期望運(yùn)動(dòng)可以通過規(guī)劃期望的接觸力與力矩得到.因此可以將接觸力/力矩視為虛擬的控制量,針對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)虛擬的魯棒控制律,即可根據(jù)式(4)得到考慮目標(biāo)不確定性的目標(biāo)期望運(yùn)動(dòng)軌跡.在此基礎(chǔ)上,根據(jù)式(2)中的運(yùn)動(dòng)約束,可求解得到組合體中空間雙臂機(jī)器人關(guān)節(jié)與基座的期望運(yùn)動(dòng)軌跡.

本文采用魯棒預(yù)測控制方法設(shè)計(jì)虛擬控制律.如圖2 所示,首先,利用目標(biāo)慣性參數(shù)的估值,根據(jù)

圖2 基于虛擬控制律的控制過程示意圖Fig.2 Schematic diagram of the virtual control law

為了描述控制受到有界不確定性影響的系統(tǒng)逼近標(biāo)稱運(yùn)動(dòng)軌跡的過程,首先對目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行離散化處理

3.1 目標(biāo)慣性不確定性與機(jī)械臂末端內(nèi)力處理

為了考慮目標(biāo)與雙臂之間的拉扯、擠壓對于末端接觸力/力矩的影響,利用雅可比矩陣Jte以及其零空間可以構(gòu)造如下的正定矩陣

為了使得目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在受到其慣性參數(shù)有界不確定性影響時(shí)仍能夠處于狀態(tài)約束范圍內(nèi),本文構(gòu)造了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)包絡(luò)的魯棒正不變集.當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于該魯棒正不變集內(nèi)時(shí),即便受到慣性參數(shù)不確定性影響仍能處于該集合內(nèi).因此在滿足狀態(tài)約束的不變集內(nèi)控制翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng),目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)夠滿足規(guī)劃的狀態(tài)約束.為了方便構(gòu)造不變集,根據(jù)標(biāo)稱軌跡定義如下集合的序列,即

根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)以及接觸力/力矩的約束,考慮目標(biāo)不確定性的有界性,可以構(gòu)造不變集序列構(gòu)造過程詳見附錄與參考文獻(xiàn)[33].

3.2 魯棒軌跡生成

為了在求解式(19)中優(yōu)化問題的過程中考慮目標(biāo)不確定性以及機(jī)械臂末端內(nèi)力影響,快速地生成魯棒的期望運(yùn)動(dòng)軌跡,本文采用將此N步預(yù)測控制問題拆分為N次的單步預(yù)測控制問題求解.進(jìn)行單步預(yù)測控制時(shí),根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)設(shè)計(jì)如下的反饋控制律

通過對式(26) 中的控制問題迭代求解,即可得到魯棒的虛擬控制律.根據(jù)目標(biāo)的標(biāo)稱模型式(4)和虛擬控制律,得到考慮目標(biāo)慣性不確定性與機(jī)械臂末端內(nèi)力影響的魯棒目標(biāo)期望運(yùn)動(dòng)軌跡.鑒于空間機(jī)器人與目標(biāo)滿足式(2)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束.通過求解滿足約束的逆運(yùn)動(dòng)學(xué),即可得到與魯棒的目標(biāo)期望運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的空間機(jī)器人關(guān)節(jié)與基座期望運(yùn)動(dòng)軌跡.由于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)受到機(jī)械臂末端接觸力與力矩的影響,當(dāng)空間機(jī)器人有效地跟蹤上期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí),目標(biāo)運(yùn)動(dòng)受到等效于魯棒控制律的接觸力與力矩作用,從而約束了抓捕點(diǎn)處產(chǎn)生的接觸力與力矩,保證了接觸安全.

4 基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的跟蹤控制器設(shè)計(jì)

為了約束控制過程中抓捕點(diǎn)處的接觸力/力矩,空間雙臂機(jī)器人需要有效地跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡.本文基于障礙李雅普諾夫函數(shù)[34]設(shè)計(jì)了跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡的控制器.

利用退步法構(gòu)造控制空間雙臂機(jī)器人跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡的李雅普諾夫函數(shù)如下

利用此跟蹤控制器,可以在設(shè)定的約束性能范圍內(nèi)有效地跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡.

綜上,本文通過設(shè)計(jì)虛擬魯棒控制律規(guī)劃魯棒的期望運(yùn)動(dòng)軌跡,隨后,在約束性能范圍內(nèi)有效地跟蹤期望軌跡,使得目標(biāo)運(yùn)動(dòng)能夠受到等效于虛擬魯棒控制律的接觸力/力矩控制,從而約束抓捕點(diǎn)處的接觸力/力矩,保證接觸安全的同時(shí)實(shí)現(xiàn)抓捕后階段的魯棒穩(wěn)定控制,該魯棒控制方法的結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 魯棒穩(wěn)定控制方法結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Schematic diagram of the proposed control scheme

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提魯棒穩(wěn)定控制方法的有效性,本節(jié)利用該方法設(shè)計(jì)了穩(wěn)定翻滾目標(biāo)的仿真算例和兩組對照組.抓捕后階段組合體的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如表1 所示.估計(jì)的慣性參數(shù)為真實(shí)值的85%.雙臂末端的接觸力/力矩安全約束分別為[?20,20] N 與[?20,20] N·m.翻滾目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度為[0.05,0.18,?0.22] m/s,角速度為[0.05,?0.28,?0.18]rad/s,兩個(gè)抓捕點(diǎn)在目標(biāo)本體坐標(biāo)系上的位置分別為[0,0.5,0]Tm 和[0,?0.5,0]Tm.為了規(guī)劃目標(biāo)的期望穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),首先利用n階多項(xiàng)式對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的速度以及角速度進(jìn)行參數(shù)化處理.根據(jù)目標(biāo)慣性參數(shù)的估計(jì)值建立式(6)和式(7)中的優(yōu)化問題,通過求解優(yōu)化問題得到參考的期望運(yùn)動(dòng)軌跡.

在兩組對照組中,空間雙臂機(jī)器人跟蹤利用估計(jì)參數(shù)設(shè)計(jì)參考的期望軌跡.在對照組1 中,利用如下的PD 控制器跟蹤參考期望運(yùn)動(dòng)軌跡,可得

在對照組2 中,利用該控制器跟蹤參考期望運(yùn)動(dòng)軌跡.約束跟蹤控制器的控制參數(shù)選擇如下

本文所提約束跟蹤控制器的控制性能以及有效性,可以通過對比對照組1,2 的仿真結(jié)果予以驗(yàn)證.

所提魯棒控制方法采用同樣的約束跟蹤控制器.選擇目標(biāo)速度為零的狀態(tài)序列作為標(biāo)稱軌跡.同時(shí)令N=20,?t=0.01 s,Qr為單位陣.由抓捕點(diǎn)的位置可知,Rr是正定的.本文所提魯棒穩(wěn)定控制方法的有效性,可以通過對比對照組1 與所提方法的仿真結(jié)果予以驗(yàn)證.

圖4 ～圖6 分別展示了對照組1,2 以及所提方法翻滾目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)情況.仿真結(jié)果顯示,對照組方法和本文所提的魯棒控制方法均能夠有效地控制空間雙臂機(jī)器人穩(wěn)定翻滾目標(biāo)的運(yùn)動(dòng).對照組中利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡需要5.5 s 實(shí)現(xiàn)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定,利用所提的魯棒穩(wěn)定控制方法可以在3.2 s 內(nèi)實(shí)現(xiàn)翻滾目標(biāo)的穩(wěn)定.

表1 組合體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)Table 1 Kinematica and dynamic parameters of combination

圖4 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度Fig.4 Velocities of the target when space robot tracks the estimated trajectory with PD controller

圖5 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度Fig.5 Velocities of the target when space robot tracks the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖6 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度Fig.6 Velocities of the target under the control of the proposed robust scheme

圖7 ～圖9 展示了穩(wěn)定翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過程中空間雙臂機(jī)器人的關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差.由仿真結(jié)果可知,PD 和所提約束跟蹤控制器均有效地跟蹤了期望運(yùn)動(dòng).在穩(wěn)定過程中,PD 和約束跟蹤控制器分別用了6 s 和4 s 將關(guān)節(jié)角速度的跟蹤誤差收斂至10?3數(shù)量級以內(nèi).由圖8 和圖9 中的結(jié)果可知,約束跟蹤控制器能在約束的性能范圍內(nèi)控制跟蹤誤差收斂,跟蹤不同期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)能夠保證誤差收斂的速度.

圖7 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的關(guān)節(jié)角速度跟蹤誤差Fig.7 Tracking errors of the joint angular velocities tracking estimated trajectory with PD controller

圖8 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的關(guān)節(jié)角速度跟蹤誤差Fig.8 Tracking errors of the joint angular velocities tracking estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖10 ～圖12 展示了對照組1,2 和所提控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)末端的接觸力/力矩.由于抓捕初始時(shí)刻抓捕點(diǎn)處與機(jī)械臂末端存在不可估計(jì)的加速度差,在抓捕后階段的開始,目標(biāo)與機(jī)械臂末端會因?yàn)檫B接后的穩(wěn)定控制產(chǎn)生沖擊.對比圖10 和圖11的仿真結(jié)果可知,采用不同的跟蹤控制器,機(jī)械臂末端與目標(biāo)交互過程中產(chǎn)生的接觸力/力矩會因?yàn)榭刂菩Ч煌?結(jié)合圖7 ～圖9 中的結(jié)果可知,與利用PD 控制器跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡的情況相對比,利用約束跟蹤控制器跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)的跟蹤誤差范圍較小,約束控制器可以有效地處理初始沖擊對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)加速度產(chǎn)生的影響,能有效地控制空間雙臂機(jī)器人跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡,在抓捕點(diǎn)處產(chǎn)生較小的接觸力/力矩.此外,由圖10 和圖11 的仿真結(jié)果可知,由于對照組參考期望運(yùn)動(dòng)軌跡并未考慮目標(biāo)不確定性與內(nèi)力的影響,穩(wěn)定過程中機(jī)械臂末端的接觸力/力矩可能無法滿足規(guī)劃的約束.

圖9 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角速度跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors of the joint angular velocities under the control of the proposed robust scheme

圖9 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角速度跟蹤誤差(續(xù))Fig.9 Tracking errors of the joint angular velocities under the control of the proposed robust scheme(continued)

圖10 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況Fig.10 Contact wrenches of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller

圖11 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況Fig.11 Contact wrenches of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖12 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況Fig.12 Contact wrenches of the manipulators under the control of the proposed robust scheme

圖12 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況(續(xù))Fig.12 Contact wrenches of the manipulators under the control of the proposed robust scheme(continued)

圖12 展示了利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械臂末端受到的接觸力/力矩.由圖中結(jié)果可知,所提控制方法在穩(wěn)定翻滾目標(biāo)的過程中,在0.6 s 后空間機(jī)器人雙臂末端的接觸力/力矩滿足安全約束[?20,20] N 與[?20,20] N·m,保證了接觸安全.對比對照組的結(jié)果可知,經(jīng)過初始沖擊后所提方法可以有效地約束末端的接觸力/力矩在[?20,20]N 與[?20,20]N·m 的范圍以內(nèi).當(dāng)目標(biāo)的不確定性在估計(jì)的邊界以內(nèi)時(shí),所提方法可以有效地約束末端的接觸力/力矩,保證抓捕后階段翻滾目標(biāo)穩(wěn)定時(shí)的接觸安全.

圖13 ～圖15 展示了控制過程中的控制輸入.由圖13 的仿真結(jié)果可以看出,PD 控制器為了跟蹤上期望運(yùn)動(dòng)軌跡,在初始的1 s 內(nèi),控制輸入在輸入飽和的約束范圍[?300,300]N 與[?300,300]N·m 內(nèi)振蕩.由圖14 和圖15 的仿真結(jié)果可知,與利用PD 控制器跟蹤期望運(yùn)動(dòng)相比,約束跟蹤控制器控制輸入收斂平緩.此外,跟蹤魯棒軌跡使得機(jī)械臂的控制力矩范圍由[?160,150] N·m 下降至[?100,80] N·m.綜上仿真結(jié)果,所提控制方法可以在輸入飽和的約束范圍內(nèi)有效地穩(wěn)定翻滾目標(biāo).

圖13 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制輸入Fig.13 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller

圖13 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制輸入(續(xù))Fig.13 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller(continued)

圖14 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制輸入Fig.14 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖14 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩(wěn)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制輸入(續(xù))Fig.14 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller(continued)

圖15 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況Fig.15 Control inputs of the manipulators under the control of the proposed robust scheme

圖15 利用所提魯棒控制方法穩(wěn)定翻滾目標(biāo)時(shí)機(jī)械臂末端的接觸情況(續(xù))Fig.15 Control inputs of the manipulators under the control of the proposed robust scheme(continued)

6 結(jié)論

本文針對抓捕翻滾目標(biāo)后的空間雙臂機(jī)器人提出了一種考慮目標(biāo)慣性不確定性與抓捕點(diǎn)處內(nèi)力的魯棒安全穩(wěn)定控制方法,總結(jié)如下:

(1) 通過設(shè)計(jì)控制目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的虛擬魯棒控制律,考慮了目標(biāo)慣性參數(shù)不確定性以及機(jī)械臂末端內(nèi)力對抓捕后控制的影響,規(guī)劃了考慮接觸安全的空間雙臂機(jī)器人期望運(yùn)動(dòng)軌跡.

(2)在設(shè)計(jì)的控制性能約束內(nèi)有效地跟蹤規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)軌跡,使得目標(biāo)運(yùn)動(dòng)受到等效虛擬控制律的作用,在提高了控制可靠性的同時(shí)約束了末端的接觸力/力矩,保證了控制過程中抓捕點(diǎn)處的接觸安全.

(3)仿真結(jié)果表明,當(dāng)目標(biāo)慣性參數(shù)不確定性產(chǎn)生的影響在預(yù)估范圍內(nèi)時(shí),魯棒控制方法能夠有效地約束接觸力/力矩,保證抓捕后階段控制過程中目標(biāo)與空間機(jī)器人的接觸安全.

附錄 魯棒正不變集構(gòu)造