基于一類非局部宏?微觀損傷模型的混凝土典型試件力學(xué)行為模擬1)

任宇東 陳建兵

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院,土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

引言

混凝土是土木工程中應(yīng)用最廣泛的人造材料之一,具有典型的準(zhǔn)脆性性質(zhì).由于其多相復(fù)合特征,混凝土力學(xué)行為表現(xiàn)出顯著的非線性與強(qiáng)烈的隨機(jī)性[1].近年來,人們對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)抗災(zāi)性能提出了更高的要求.例如我國(guó)新版地震動(dòng)參數(shù)區(qū)劃圖給出了萬年一遇極罕遇地震動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)[2],在此情況下混凝土結(jié)構(gòu)將不可避免地進(jìn)入強(qiáng)非線性階段,為了防止結(jié)構(gòu)嚴(yán)重破壞甚至倒塌,定量把握混凝土的受力全過程性能至關(guān)重要[1].混凝土受力過程中的裂紋萌生、發(fā)展與傳播直至試件、構(gòu)件乃至結(jié)構(gòu)解體全過程的分析與模擬則是準(zhǔn)確把握混凝土受力行為的理性基礎(chǔ).數(shù)十年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量試驗(yàn)[3-4]、理論與數(shù)值模擬研究[5-8].然而,直到20 世紀(jì)末,人們?nèi)匀浑y以獲得混凝土試件單軸受拉全過程應(yīng)力?應(yīng)變曲線,在混凝土試件精細(xì)化數(shù)值模擬方面也進(jìn)展甚微,因而對(duì)混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究依然停留在宏觀經(jīng)驗(yàn)為主的水平.

21 世紀(jì)初以來,混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究在兩個(gè)方面同時(shí)取得了新的重要進(jìn)展.一方面,由于試驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步,已經(jīng)能夠獲得混凝土單軸受壓應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€,甚至可獲得混凝土單軸受拉全曲線.[9-10].另一方面,混凝土損傷力學(xué)的發(fā)展有效地促進(jìn)了混凝土本構(gòu)關(guān)系從經(jīng)驗(yàn)為主向理性建模的轉(zhuǎn)變進(jìn)程[1].在這一進(jìn)程中,建立合理反映具有多相復(fù)合特征和準(zhǔn)脆性性質(zhì)的混凝土受力行為的微細(xì)觀物理機(jī)制、從而把握裂紋萌生與發(fā)展過程具有重要意義.

20 世紀(jì)20 年代以來,斷裂力學(xué)[11-15]和損傷力學(xué)[1,16-18]得到了極大的發(fā)展.兩者分別從不連續(xù)和連續(xù)的角度對(duì)裂紋進(jìn)行描述,形成了固體破壞問題研究的兩大分支.在計(jì)算方面,為了描述裂紋引起的不連續(xù)性,發(fā)展了內(nèi)聚裂縫單元[19]、擴(kuò)展有限元法[20]與無網(wǎng)格法[21]等一系列數(shù)值算法.21 世紀(jì)初,Bourdin 等[22-23]開創(chuàng)性地將斷裂力學(xué)與損傷力學(xué)結(jié)合起來,發(fā)展了力學(xué)中的相場(chǎng)理論,得到了大量關(guān)注與應(yīng)用[24-26].近年來,Wu 等[27-28]將相場(chǎng)理論與內(nèi)聚裂縫模型結(jié)合起來,發(fā)展了統(tǒng)一相場(chǎng)理論,成功地解決了一系列脆性與準(zhǔn)脆性材料的靜力與動(dòng)力破壞分析問題[29-32].同樣在21 世紀(jì)初,Silling[33-36]提出了近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法(也稱毗域動(dòng)力學(xué)[37]),在模擬材料損傷破壞、裂紋擴(kuò)展方面取得了重要進(jìn)展[38-39].最近,Lu 和Chen[40-41]結(jié)合統(tǒng)一相場(chǎng)理論和近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的基本思想,提出了一類非局部宏?微觀損傷模型,為準(zhǔn)脆性材料的破壞問題分析提供了新的視角.非局部宏?微觀損傷模型引入近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中物質(zhì)點(diǎn)和物質(zhì)點(diǎn)偶的概念來刻畫由于變形引起的微細(xì)觀損傷,進(jìn)而以作用域內(nèi)的微細(xì)觀損傷之加權(quán)平均來度量物質(zhì)不連續(xù)程度,即宏觀拓?fù)鋼p傷,從而對(duì)損傷何時(shí)發(fā)生、損傷如何演化的問題做出了回答.通過能量退化函數(shù),將拓?fù)鋼p傷嵌入到連續(xù)介質(zhì)?損傷力學(xué)的框架中.在此基礎(chǔ)上,Chen 等[42]基于能量等效的基本思想對(duì)能量退化函數(shù)進(jìn)行了物理建模,給出了宏?微觀損傷模型中能量退化函數(shù)的理性表達(dá).

在上述基礎(chǔ)上,本文采用非局部宏?微觀損傷模型、考慮細(xì)觀物理參數(shù)的空間變異性進(jìn)行單軸受拉混凝土板式試件全過程受力行為模擬.盡管混凝土單軸受拉本來應(yīng)是最簡(jiǎn)單的材料受力情形,然而由于混凝土的多相復(fù)合與準(zhǔn)脆性性質(zhì),研究者仍無法準(zhǔn)確把握混凝土單軸受拉的力學(xué)行為,從而嚴(yán)重影響了對(duì)混凝土復(fù)雜受力狀態(tài)下的本構(gòu)行為的理性認(rèn)識(shí).文中首先通過與試驗(yàn)的對(duì)比,采用單軸受拉混凝土板式試件的一維簡(jiǎn)化建模標(biāo)定非局部宏?微觀損傷模型中的細(xì)觀物理參數(shù),并探討了標(biāo)定出的模型細(xì)觀參數(shù)與混凝土材料細(xì)觀物理?幾何特性之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性.在此基礎(chǔ)上,采用二維模型進(jìn)行單軸受拉混凝土板式試件受力全過程的精細(xì)化分析.著重考察了參數(shù)空間變異性對(duì)混凝土單軸受拉試件和帶缺口三點(diǎn)彎曲試件力學(xué)行為的重要影響.本文研究工作將為非局部宏?微觀損傷模型參數(shù)的試驗(yàn)標(biāo)定與混凝土復(fù)雜受力非線性隨機(jī)力學(xué)行為的精細(xì)化模擬提供重要參考.

1 連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)基本框架

連續(xù)介質(zhì)?損傷力學(xué)[1]引入損傷內(nèi)變量來表征材料中的孔洞、微裂紋等缺陷,并用內(nèi)變量的演化來描述材料中缺陷的發(fā)展過程.將內(nèi)變量嵌入到本構(gòu)方程中,即可反映缺陷的發(fā)展對(duì)材料力學(xué)響應(yīng)的影響.

1.1 本構(gòu)方程

缺陷的發(fā)展必然伴隨著能量的耗散,因此有損材料的自由能ψ 與無損材料的自由能ψ0之間的關(guān)系可表為

其中g(shù)∈[0,1]稱為能量退化因子.對(duì)于格林彈性材料,無損材料的自由能為應(yīng)變能[1],即

其中?=?Su為彈性小應(yīng)變張量,?S為對(duì)稱梯度算子,u為位移場(chǎng);D為四階彈性剛度張量.由于混凝土受拉過程幾乎不發(fā)展塑性[1],故暫時(shí)不考慮塑性應(yīng)變的影響.

對(duì)于等溫純力學(xué)過程,Clausius-Duhem 不等式可表為[1]

式(5)即為本構(gòu)方程,式(6)即為損傷耗散不等式.

1.2 平衡方程與邊界條件

記連續(xù)固體B 上的體力為b,其邊界?B 上的面力為t,則整體平衡方程為[1]

幾何方程?=?Su,本構(gòu)方程(5),平衡方程(8)以及邊界條件(9)構(gòu)成了控制方程的強(qiáng)形式.然而尚需要給出損傷變量的演化法則才能進(jìn)行求解.經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)?損傷力學(xué)中損傷變量的演化通過損傷勢(shì)函數(shù)與流動(dòng)法則給出,其驅(qū)動(dòng)力通常取為損傷能釋放率.這一做法雖然有著堅(jiān)實(shí)的熱力學(xué)基礎(chǔ),但其中最關(guān)鍵的勢(shì)函數(shù)卻是經(jīng)驗(yàn)選取的,因此本質(zhì)上是一種經(jīng)驗(yàn)的、現(xiàn)象學(xué)的處理方法[1].為了理性地給出損傷變量的演化規(guī)律,需要從多尺度的角度入手,尋求其中蘊(yùn)含的物理機(jī)制.

2 非局部宏?微觀損傷模型

最近,Lu 和Chen[40-41]將近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中物質(zhì)點(diǎn)偶的思想與統(tǒng)一相場(chǎng)理論中能量退化函數(shù)的概念納入到連續(xù)介質(zhì)?損傷力學(xué)[1]的框架中,提出了一類非局部宏?微觀損傷模型.這一模型從幾何的角度出發(fā),對(duì)損傷何時(shí)出現(xiàn)、損傷如何演化的問題做出了回答.為清晰起見,下面簡(jiǎn)要介紹這一模型的基本思想.

2.1 微細(xì)觀損傷與拓?fù)鋼p傷

考察n維Euclid 空間中的連續(xù)固體B,其邊界為?B.B 中的物質(zhì)點(diǎn)記為x∈B.物質(zhì)點(diǎn)偶記為(x,x′) ∈ B × B.加載過程中物質(zhì)點(diǎn)的位移分別為u(x,t),u(x′,t),可定義點(diǎn)偶的正伸長(zhǎng)量為

其中ξ=x′?x,η=u(x′,t)?u(x,t),為Macauley 算子,即=(x+|x|)/2,∥·∥2表示歐氏空間長(zhǎng)度.假設(shè)存在臨界伸長(zhǎng)量λc,當(dāng)點(diǎn)偶的正伸長(zhǎng)量超過臨界值后,兩物質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)不可逆的分離.分離過程與加載歷史有關(guān),可定義加載歷史相關(guān)量為

不可逆的分離意味著出現(xiàn)了損傷.引入微細(xì)觀損傷函數(shù)ω(x,x′,t) ∈[0,1] 來刻畫點(diǎn)偶的損傷程度,ω=0 表示尚未出現(xiàn)損傷,ω=1 表示完全破壞.微細(xì)觀損傷是加載歷史相關(guān)量的函數(shù),本文取為

可認(rèn)為存在臨界長(zhǎng)度為?,距離大于? 的物質(zhì)點(diǎn)間影響可忽略.? 表征了B 中非局部效應(yīng)的特征長(zhǎng)度,稱為影響半徑.由此可定義一點(diǎn)的作用域?yàn)?/p>

微細(xì)觀損傷的累積導(dǎo)致材料出現(xiàn)宏觀上的損傷,宏觀上損傷的發(fā)展意味著材料拓?fù)涞母淖?引入拓?fù)鋼p傷函數(shù)?(x,t) 來刻畫宏觀損傷發(fā)展的程度.作用域的引入表明微細(xì)觀損傷累積形成宏觀損傷的過程本質(zhì)上是非局部的.因此,可定義拓?fù)鋼p傷為

其中φ(x,x′)為影響函數(shù),應(yīng)滿足非負(fù)性、定域性、歸一性的要求[32-33].對(duì)于均質(zhì)各向同性材料,本文采用鐘型函數(shù)作為影響函數(shù)

其中R=∥x?x′∥2/? ∈[0,1],這里n表示空間維數(shù).在基于有限單元法的數(shù)值計(jì)算中[40],物質(zhì)點(diǎn)可取為每個(gè)單元的幾何中心.因此,為了保證式(15)中數(shù)值積分的精度,有限元的網(wǎng)格尺寸應(yīng)小于?/10.在這一范圍內(nèi),有限元網(wǎng)格的變化對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果影響不大,見下文算例中的網(wǎng)格敏感性測(cè)試結(jié)果.

上述定義皆從幾何的角度出發(fā),沒有涉及到能量/力的概念.從上述定義也可以看出,非局部宏?微觀損傷模型是一個(gè)位移驅(qū)動(dòng)損傷演化的模型:隨著位移的發(fā)展,微細(xì)觀層次的點(diǎn)偶不斷發(fā)生破壞,宏觀的拓?fù)鋼p傷隨之演化發(fā)展.因此,非局部宏?微觀損傷模型是一個(gè)基于幾何的、由變形驅(qū)動(dòng)的兩尺度損傷模型.

2.2 能量退化函數(shù)及其物理建模

損傷的演化意味著內(nèi)部缺陷的發(fā)展,這一過程伴隨著不可逆的能量耗散.將能量退化因子與拓?fù)鋼p傷變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為能量退化函數(shù),記為g=G(?).顯然,能量退化函數(shù)單調(diào)不增,即dG(?)/d?0.結(jié)合損傷變量與能量退化因子的取值范圍,不難得到G(0)=1,G(1)=0.在經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)?損傷力學(xué)中,能量退化函數(shù)總是取為g=1 ?? 的形式[1],即能量耗散與不連續(xù)程度的幾何表現(xiàn)是同步的.從物理上看,這種同步性沒有內(nèi)在的必然性.受統(tǒng)一相場(chǎng)理論[27-28]的啟發(fā),非局部宏?微觀損傷模型中采用了含有兩個(gè)參數(shù)的有理分式作為能量退化函數(shù),同時(shí)指出能量退化函數(shù)應(yīng)為一凸函數(shù),并給出了定性的解釋[40],但是此時(shí)能量退化函數(shù)的選取仍具有一定的主觀性.基于前述工作,Chen 等[42]利用宏?微觀損傷模型中的微細(xì)觀損傷機(jī)制對(duì)能量退化函數(shù)進(jìn)行了物理建模,并給出了其解析表達(dá).

事實(shí)上,對(duì)于一點(diǎn)處給定的變形狀態(tài)?,根據(jù)Cauchy-Born 準(zhǔn)則可以計(jì)算出作用域中物質(zhì)點(diǎn)偶的變形.若將物質(zhì)點(diǎn)偶看作是一系列脆性微彈簧,隨著點(diǎn)偶的變形微彈簧中會(huì)儲(chǔ)存能量.某一點(diǎn)處無損材料的自由能等于其作用域中與其相連的點(diǎn)偶中蘊(yùn)含的能量之和.根據(jù)2.1 節(jié)中的微細(xì)觀損傷機(jī)制,點(diǎn)偶伸長(zhǎng)量超過臨界值時(shí)發(fā)生破壞,其中存儲(chǔ)的能量將被耗散,因而有損材料的自由能等于未發(fā)生破壞的點(diǎn)偶中蘊(yùn)含的能量之和.由此可計(jì)算出有損材料與無損材料的自由能,通過式(1)即可得到能量退化因子的值,記為g[?].另一方面,利用計(jì)算出的點(diǎn)偶變形信息通過式(15)可計(jì)算出拓?fù)鋼p傷的值,記為?[?].由此,上述物理建模過程建立起了能量退化因子g與拓?fù)鋼p傷? 之間的參數(shù)方程關(guān)系,即能量退化函數(shù).在這一關(guān)系中,連接能量退化因子與拓?fù)鋼p傷的是一點(diǎn)的變形狀態(tài).經(jīng)過計(jì)算,可進(jìn)一步得到能量退化函數(shù)的解析表達(dá).二維情形下能量退化函數(shù)的解析表達(dá)已在文獻(xiàn)[42] 中給出.由于本文中將首先通過一維建模進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定,進(jìn)一步給出一維情況參數(shù)方程形式的解析表達(dá)為

其中t=λc/(??) ∈[0,1].特別值得指出,上述解析表達(dá)表明能量退化函數(shù)與細(xì)觀參數(shù)λc和? 無關(guān).

在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算過程中,若直接利用上述解析表達(dá),需要先求解非線性方程得到參數(shù)t,再進(jìn)一步計(jì)算能量退化因子.非線性方程的求解耗時(shí)且難以收斂,因而可考慮對(duì)能量退化函數(shù)進(jìn)行擬合,給出其近似顯式表達(dá)以提高數(shù)值計(jì)算的效率.為此,本文提出采用星形線方程進(jìn)行擬合,即

由此可得能量退化函數(shù)的近似顯式表達(dá)為

采用非線性最小二乘法對(duì)一維和二維能量退化函數(shù)進(jìn)行擬合,可得到參數(shù)值分別為α1D=5.486 2,α2D=5.0.

上述模型中的基本參數(shù)包括宏觀參數(shù)E,ν 和細(xì)觀參數(shù)?,λc,γ.其中宏觀參數(shù)可直接測(cè)定,細(xì)觀參數(shù)可通過單軸受拉試驗(yàn)標(biāo)定,如下節(jié)所述.

3 單軸受拉板式試件力學(xué)行為模擬

本節(jié)將對(duì)文獻(xiàn)[9] 中的單軸受拉混凝土板式試件進(jìn)行一維建模以標(biāo)定模型參數(shù),為下一節(jié)中進(jìn)一步采用二維模型進(jìn)行精細(xì)化分析奠定基礎(chǔ).這一途徑可將模型參數(shù)標(biāo)定通過一維標(biāo)準(zhǔn)化試件受拉試驗(yàn)進(jìn)行,具有較高的效率.試驗(yàn)采用的單軸受拉混凝土板式試件尺寸如圖1 所示,實(shí)測(cè)彈性模量E=35 200 MPa,實(shí)測(cè)泊松比ν=0.2.

圖1 單軸受拉板式試件示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniaxial tension panel specimen

3.1 非局部宏?微觀損傷模型的細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定

將試件沿長(zhǎng)度方向均勻離散為1500 個(gè)桿單元,為了計(jì)算出試件的破壞,在其中部施加微小的初始缺陷,將橫截面積減小1.0×10?6m2(占橫截面積的0.013%).采用局部弧長(zhǎng)法[43]控制加載,當(dāng)模型參數(shù)取?=12 mm,λc=1.0×10?3mm 及γ=6.0×102mm?1時(shí),計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€與試驗(yàn)結(jié)果包絡(luò)范圍如圖2 所示,在試驗(yàn)結(jié)果范圍之內(nèi).

圖2 一維模型計(jì)算應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€Fig.2 Stress versus strain curve calculated from the 1D model

為了考察網(wǎng)格敏感性,將桿件分別均勻離散為900,1200,1500 個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算,模型參數(shù)與算法參數(shù)均不做調(diào)整.計(jì)算結(jié)果如圖3 所示,不同網(wǎng)格計(jì)算出的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€十分接近,沒有觀察到網(wǎng)格敏感性.

圖3 一維模型采用不同的網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果Fig.3 Stress versus strain curves from different meshes in 1D model

加載過程中各個(gè)場(chǎng)變量演化情況如圖4 所示,圖2 中標(biāo)示的各個(gè)典型時(shí)刻的場(chǎng)變量分布如圖5 所示.從圖中可見,損傷一開始沿桿長(zhǎng)分布,隨著加載的進(jìn)行逐漸集中于初始缺陷處.這表明考慮非局部效應(yīng)可以很好地避免應(yīng)變局部化現(xiàn)象.

圖4 場(chǎng)變量隨加載過程演化情況(1500 單元)Fig.4 Evolution of field variables during loading(1500 elements)

圖5 典型荷載步的場(chǎng)變量分布(1500 單元)Fig.5 Distribution of field variables at typical load steps(1500 elements)

注記:本文標(biāo)定出的模型參數(shù)為?=12 mm,λc=1.0 × 10?3mm,γ=6.0 × 102mm?1.試驗(yàn)中用到的混凝土粗骨料的最大粒徑為15 mm[9],影響半徑? 的取值與之較為接近.可以理性猜測(cè),影響半徑的取值應(yīng)與粗骨料的平均粒徑大致相當(dāng).另一方面,混凝土試件的破壞最早發(fā)生在粗骨料與砂漿之間的界面層,而宏?微觀損傷模型中損傷的發(fā)展是由于點(diǎn)偶的拉斷引起的.很自然地可以將界面層的破壞與點(diǎn)偶的破壞聯(lián)系起來.文獻(xiàn)[9] 中未給出具體的砂漿與界面層的力學(xué)特性參數(shù),此處參考文獻(xiàn)[44] 中對(duì)高強(qiáng)混凝土中砂漿和骨料界面力學(xué)性質(zhì)的研究.對(duì)于試驗(yàn)中采用的42.5 級(jí)普通硅酸鹽水泥和中砂配置的砂漿,其抗壓強(qiáng)度約為30 MPa,文獻(xiàn)[44] 中通過超聲波脈沖技術(shù)測(cè)得相應(yīng)強(qiáng)度砂漿的彈性模量約為24.82 MPa,一般認(rèn)為界面層的力學(xué)性能是砂漿基體的70%,則界面層的彈性模量約為17.37 MPa.文獻(xiàn)[44] 中測(cè)得該砂漿與碎石粗骨料的界面的抗拉強(qiáng)度約為0.82 MPa.砂漿與粗骨料界面層的厚度在20 ～ 50 μm 之間.據(jù)此可估算界面層的彈性極限伸長(zhǎng)量取值范圍為L(zhǎng)=[9.44×10?4,2.36×10?3](mm).本文標(biāo)定出的臨界伸長(zhǎng)量為λc=1.0×10?3mm ∈L.由此可見,臨界伸長(zhǎng)量應(yīng)與粗骨料?砂漿界面層的彈性極限伸長(zhǎng)量大致相當(dāng).

上述分析表明了非局部宏?微觀損傷模型分析混凝土材料時(shí)其參數(shù)的物理意義:模型中的非局部作用影響半徑表征了粗骨料平均粒徑,臨界伸長(zhǎng)量表征了粗骨料?砂漿界面層的彈性極限伸長(zhǎng)量.這意味著通過上述物理?力學(xué)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)給出模型參數(shù)的基本范圍、然后采用簡(jiǎn)單試驗(yàn)(如單軸拉伸)、通過模型計(jì)算識(shí)別進(jìn)行具體參數(shù)標(biāo)定,是具有可行性的.

3.2 單軸受拉板式試件精細(xì)化模擬

為了進(jìn)行更精細(xì)的分析,對(duì)單拉板式試件進(jìn)行二維建模.將試件用常應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行有限元離散,為了計(jì)算出裂紋,同樣在試件中部設(shè)置微小初始缺陷.利用3.1 節(jié)中通過一維模型標(biāo)定的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€如圖6 所示,一維模型計(jì)算結(jié)果與二維模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7 所示.可以看到,將一維模型標(biāo)定的參數(shù)用于二維模型中進(jìn)行分析可以得到與試驗(yàn)趨勢(shì)吻合良好的計(jì)算結(jié)果,這是因?yàn)檫@兩個(gè)模型雖然精粗有區(qū)別,但描述的是同一個(gè)物理現(xiàn)象.因此,通過上述一維建模進(jìn)行細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定是可行的.由此顯著降低了標(biāo)定模型參數(shù)的時(shí)間,因?yàn)檫M(jìn)行一次完整的一維計(jì)算只需要不到一分鐘,而進(jìn)行一次完整的二維計(jì)算則至少需要15 min.

圖6 二維模型計(jì)算應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€Fig.6 Stress versus strain curve calculated from 2D model

圖7 二維模型結(jié)果與一維模型結(jié)果對(duì)比Fig.7 Stress versus strain curves from 1D model,2D model and experiment

為考察二維模型的網(wǎng)格敏感性,劃分3 個(gè)不同的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€如圖8 所示,不同網(wǎng)格計(jì)算得到的破壞時(shí)的損傷分布如圖9 所示.可以發(fā)現(xiàn),各個(gè)網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果十分接近,沒有表現(xiàn)出網(wǎng)格敏感性.圖6 中標(biāo)示的典型時(shí)刻的場(chǎng)變量分布如圖10 所示.從圖中可見,當(dāng)承載力達(dá)到峰值時(shí),裂紋尚未顯著發(fā)展.而當(dāng)出現(xiàn)肉眼可見的裂紋時(shí),應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€已經(jīng)進(jìn)入下降段,裂紋擴(kuò)展進(jìn)入失穩(wěn)階段.這與工程實(shí)踐中觀察到的現(xiàn)象是一致的.

圖8 二維模型采用不同的網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果Fig.8 Stress versus stress curves from different meshes in 2D model

從圖6 和圖7 中還可以看到,與一維模型相比,二維模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)趨勢(shì)更接近.主要原因是二維模型只在試件中部加密了網(wǎng)格,并認(rèn)為只有這些區(qū)域會(huì)出現(xiàn)損傷;而一維模型則認(rèn)為整個(gè)試件上都會(huì)出現(xiàn)損傷,這導(dǎo)致了一維模型計(jì)算的承載力略低,這一點(diǎn)可以從圖4(a)與圖10(a1)～圖10(d1)看出.從圖11 的破壞形態(tài)來看,試件破壞時(shí)損傷集中在主裂紋附近,其余區(qū)域都處于彈性階段,從這個(gè)角度看,二維模型更接近真實(shí)情況.另一方面,二維模型中考慮了泊松比效應(yīng)等更全面的因素,更準(zhǔn)確地反映了進(jìn)入下降段后混凝土的橫向變形,使得一維模型與二維模型下降段的形態(tài)稍有差異.

圖10 二維模型典型荷載步場(chǎng)變量分布(網(wǎng)格C)Fig.10 Distribution of field variables in 2D model at typical load steps(Mesh C)

圖10 二維模型典型荷載步場(chǎng)變量分布(網(wǎng)格C)(續(xù))Fig.10 Distribution of field variables in 2D model at typical load steps(Mesh C)(continued)

3.3 初始缺陷對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

真實(shí)試件中的初始缺陷分布是隨機(jī)的,試驗(yàn)得到的主裂縫位置和形狀具有一定的隨機(jī)性[9],如圖11 所示.為了考察缺陷分布對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,在計(jì)算中人為將初始缺陷設(shè)置在試件長(zhǎng)度方向1/2,2/3 和3/4 處分別進(jìn)行分析.為簡(jiǎn)化計(jì),這里采用一維模型.計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€如圖12 所示,破壞時(shí)的損傷場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)分布如圖13 所示.可以看到,缺陷位置對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€的影響很小,但會(huì)影響最終破壞時(shí)的損傷分布,損傷尖峰出現(xiàn)在缺陷位置附近.這表明采用一維非局部宏?微觀損傷模型可以有效地捕捉到裂紋的位置.

圖11 典型試件裂紋位置與形狀[9]Fig.11 Crack location and appearance of typical specimen[9]

圖12 在不同位置設(shè)置初始缺陷計(jì)算結(jié)果(一維)Fig.12 The stress versus strain curves from 1D model with different defect locations

圖13 在不同位置設(shè)置初始缺陷時(shí)的場(chǎng)變量分布Fig.13 Final field variables distributions of 1D model with different defect locations

4 考慮參數(shù)空間變異性的混凝土力學(xué)行為模擬

4.1 考慮參數(shù)空間變異性的混凝土單軸受拉力學(xué)行為模擬

前述分析計(jì)算結(jié)果表明混凝土在受力時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性.另一方面,正如圖2 中試驗(yàn)包絡(luò)范圍與圖11 中裂紋形狀所示,混凝土內(nèi)稟的隨機(jī)性使其力學(xué)響應(yīng)難以精確預(yù)測(cè).本節(jié)考察模型參數(shù)隨機(jī)性對(duì)混凝土單軸受拉力學(xué)行為的影響.為便于將生成的參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)賦予單元,采用規(guī)則劃分的有限元網(wǎng)格.為減少計(jì)算工作量,將可能出現(xiàn)裂紋的區(qū)域局部加密,如圖14 所示.此時(shí)單元尺寸遠(yuǎn)小于隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度,可以保證生成隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)結(jié)構(gòu).將加密區(qū)的參數(shù)考慮為隨機(jī)場(chǎng),其余部分為確定性參數(shù).需要指出的是,此時(shí)并未人為預(yù)設(shè)初始缺陷.

圖14 規(guī)則劃分的有限元網(wǎng)格(26 910 單元,加密區(qū)24 000 單元)Fig.14 Mapped mesh(26 910 elements,24 000 elements in the encryption region)

將3.1 節(jié)中標(biāo)定出的模型參數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)的均值μ,變異系數(shù)取為δ=10%.取隨機(jī)場(chǎng)的功率譜密度函數(shù)為

其中,κ1,κ2為兩個(gè)方向上的波數(shù),σ=μδ 為標(biāo)準(zhǔn)差,a為尺度參數(shù).此時(shí)隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度為χ=[45],取其與作用域半徑相等,可以確定出尺度參數(shù)a=6.5 mm.隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響將在4.2 節(jié)中詳細(xì)討論.根據(jù)式(20),利用張量積擴(kuò)維的第二類隨機(jī)諧和函數(shù)[46]分別生成5 個(gè)定義在物質(zhì)點(diǎn)上的臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)樣本,如圖15 所示.物質(zhì)點(diǎn)偶的臨界伸長(zhǎng)量取其兩端物質(zhì)點(diǎn)的臨界伸長(zhǎng)量的平均值.

圖15 臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)樣本Fig.15 Samples of critical elongation quantity random field

將生成的5 個(gè)隨機(jī)場(chǎng)樣本代入前述非局部宏?微觀損傷模型進(jìn)行計(jì)算,得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€及其均值與標(biāo)準(zhǔn)差曲線如圖16 所示.各個(gè)樣本在圖16中標(biāo)示的典型荷載步時(shí)的裂紋形態(tài)如圖17 所示.

圖16 考慮臨界伸長(zhǎng)量為隨機(jī)場(chǎng)以后計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€樣本及其均值與標(biāo)準(zhǔn)差Fig.16 Whole strain-stress curve samples and the mean value curve with the standard deviation curve obtained after considering the critical elongation quantity as a random field

從圖16 可以看出,將模型參數(shù)考慮為隨機(jī)場(chǎng)以后得到的樣本曲線基本被試驗(yàn)結(jié)果范圍覆蓋,樣本的均值可以反映試驗(yàn)結(jié)果的走向,均值加減一倍標(biāo)準(zhǔn)差可以反映試驗(yàn)結(jié)果的變化范圍.這表明考慮參數(shù)空間變異性以后,采用宏?微觀損傷模型不僅可以計(jì)算出混凝土受力過程中的非線性,而且可以合理地反映混凝土內(nèi)稟的隨機(jī)性.另一方面,從圖17 可以看出,考慮材料參數(shù)隨機(jī)性以后,裂紋自發(fā)地在材料薄弱區(qū)域萌生,無需設(shè)置初始缺陷.同時(shí),與確定性情形(圖10)不同,裂紋最早出現(xiàn)的位置是隨機(jī)的,且最終破壞時(shí)裂紋的形態(tài)是曲折的,這與圖11 所示的試驗(yàn)現(xiàn)象是一致的.這表明在考慮細(xì)觀參數(shù)空間變異性的情況下,采用宏?微觀損傷模型可以更準(zhǔn)確地捕捉裂紋的萌生與發(fā)展全過程.

圖17 考慮臨界伸長(zhǎng)量為隨機(jī)場(chǎng)后各個(gè)樣本裂紋發(fā)展過程Fig.17 Crack propagation process of different samples after considering the critical elongation quantity as random field

圖17 考慮臨界伸長(zhǎng)量為隨機(jī)場(chǎng)后各個(gè)樣本裂紋發(fā)展過程(續(xù))Fig.17 Crack propagation process of different samples after considering the critical elongation quantity as random field(continued)

4.2 隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)長(zhǎng)度的影響

為考察隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,分別取隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度為χ=?/10,?/4,2?,4?,對(duì)每個(gè)相關(guān)長(zhǎng)度生成15 個(gè)臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)樣本,并利用非局部宏?微觀損傷模型進(jìn)行非線性分析,得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€的樣本、均值及標(biāo)準(zhǔn)差如圖18所示.

從圖18 可以看出,隨著隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)長(zhǎng)度的減小,計(jì)算得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€的變異性逐漸降低.從物理上看,拓?fù)鋼p傷的定義式(15)是一個(gè)加權(quán)求和,可以看作是某種均值;而當(dāng)隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度逐漸減小時(shí),各個(gè)點(diǎn)偶的臨界伸長(zhǎng)量趨于一系列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.根據(jù)大數(shù)定律,當(dāng)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量數(shù)目趨于無窮時(shí),其均值隨機(jī)變量的方差趨于零.也就是說,此時(shí)計(jì)算出的拓?fù)鋼p傷趨于用確定性的臨界伸長(zhǎng)量計(jì)算出的拓?fù)鋼p傷,因此得到的應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€的變異性降低.事實(shí)上,在細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型[1]與剪力墻的滯回耗能[46]中也觀察到了類似的現(xiàn)象.

有意思的是,綜合圖16 和圖18 來看,當(dāng)隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)長(zhǎng)度與作用域半徑相當(dāng)時(shí)(圖16),所獲得的應(yīng)力?應(yīng)變曲線的變異范圍與試驗(yàn)包絡(luò)范圍較為接近,這也初步映證了關(guān)于相關(guān)長(zhǎng)度與作用域半徑大小應(yīng)相當(dāng)這一從物理上較為合理的判斷.當(dāng)然,在未來的研究中應(yīng)有更多試驗(yàn)數(shù)據(jù)及其與分析的對(duì)比,方可給出更為堅(jiān)實(shí)的結(jié)論.

4.3 考慮參數(shù)空間變異性的混凝土三點(diǎn)受彎缺口梁力學(xué)行為模擬

將上述工作擴(kuò)展到應(yīng)力非均勻分布的情形,考察圖19 中的三點(diǎn)受彎缺口梁,材料的彈性模量為E=2.0×104MPa,泊松比為ν=0.2.文獻(xiàn)[42]中給出的模型參數(shù)為?=15 mm,λc=1.125×10?3mm,γ=3.0×104mm?1.考慮臨界伸長(zhǎng)量的空間變異性,其均值μ=1.125×10?3mm?1,變異系數(shù)為δ=10%.取其功率譜密度函數(shù)為式(20) 中的形式,令相關(guān)長(zhǎng)度分別取χ=?/10,? 和10?,采用與4.1 節(jié)中相同的方式生成15 個(gè)臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)的樣本,并將其代入非局部宏?微觀損傷模型中進(jìn)行分析,得到不同相關(guān)長(zhǎng)度下的荷載力?位移曲線樣本及其均值與標(biāo)準(zhǔn)差如圖20 所示.由于預(yù)設(shè)了初始缺陷,各個(gè)樣本的裂紋發(fā)展過程與文獻(xiàn)[42]中類似,故不附圖.

圖19 缺口梁幾何尺寸與有限元網(wǎng)格Fig.19 Geometric schematic and finite element meshes of the notched beam

圖20 三點(diǎn)缺口梁力?位移曲線的樣本、均值與標(biāo)準(zhǔn)差Fig.20 Load–deformation curve samples and the mean value curve with the standard deviation curves of the three point bending notched beam

注意到在三點(diǎn)梁中預(yù)設(shè)了初始缺口,裂紋擴(kuò)展路徑變異性小,而單軸受拉板則未設(shè)置初始缺陷,裂紋的萌生與擴(kuò)展的隨機(jī)性更強(qiáng).從圖16 與圖20(b)的對(duì)比中可以看出,盡管隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度都與作用域半徑相等,但三點(diǎn)缺口梁荷載?變形曲線的變異性遠(yuǎn)小于單軸受拉板式試件、特別在下降段.這表明裂紋擴(kuò)展的路徑或者說構(gòu)件受力特征與載荷?變形曲線的變異性之間有某種內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)裂紋擴(kuò)展路徑隨機(jī)性更大時(shí),計(jì)算得到的載荷?變形曲線的變異性也更大.有意思的是,從圖20 中還可以看出,當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度很小時(shí),載荷?變形曲線的變異性極小,而隨著相關(guān)長(zhǎng)度的增大,其峰值附近的變異性增大.同樣,當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度與作用域半徑相當(dāng)時(shí),所得到的變異范圍與試驗(yàn)包絡(luò)范圍較為接近.這與圖18 中揭示的性質(zhì)是一致的,盡管兩類試件的受力特征有很大的差別.

注記:從上述算例中可以看出,采用非局部宏?微觀損傷模型進(jìn)行非線性分析的同時(shí)可以自然地進(jìn)行裂紋模擬.與經(jīng)典的損傷力學(xué)[1]相比,裂紋的帶寬被非局部作用域半徑控制,損傷不會(huì)成片出現(xiàn);與細(xì)觀損傷力學(xué)中應(yīng)用的內(nèi)聚裂縫單元[9,47]相比,非局部宏?微觀損傷模型毋須在單元的邊界上預(yù)設(shè)內(nèi)聚裂縫單元,因此裂紋的擴(kuò)展的路徑不依賴于單元的劃分,同時(shí)也毋須在材料本構(gòu)之外再引入內(nèi)聚力的本構(gòu),易于操作實(shí)現(xiàn).

5 結(jié)論

本文采用非局部宏?微觀損傷模型進(jìn)行了混凝土單軸受拉板式試件的力學(xué)行為定量模擬,同時(shí)初步考察了細(xì)觀參數(shù)空間變異性的重要影響.主要結(jié)論如下:

(1)利用能量等效的思想對(duì)一維情況的能量退化函數(shù)進(jìn)行了物理建模并給出其參數(shù)方程形式的解析表達(dá).利用星形線對(duì)一維、二維能量退化函數(shù)進(jìn)行擬合,給出了顯式近似表達(dá),便于實(shí)際應(yīng)用.

(2)首先利用一維非局部宏?微觀損傷模型基于試驗(yàn)標(biāo)定參數(shù),進(jìn)而采用二維宏?微觀損傷模型進(jìn)行精細(xì)化分析,顯著降低了標(biāo)定參數(shù)的時(shí)間成本.同時(shí),分析了宏?微觀損傷模型中模型參數(shù)與混凝土材料的細(xì)觀物理?幾何特性之間的聯(lián)系,可為模型細(xì)觀參數(shù)的物理意義及定量標(biāo)定提供指導(dǎo).

(3)考察了細(xì)觀參數(shù)空間變異性對(duì)混凝土單軸受拉試件和帶缺口三點(diǎn)彎曲試件兩類受力性質(zhì)不同的試件力學(xué)行為的影響.分析結(jié)果表明非局部宏?微觀損傷模型不僅可以合理地反映非線性的發(fā)展,還可以結(jié)合參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)把握混凝土內(nèi)稟的隨機(jī)性.此時(shí)毋須預(yù)設(shè)微小缺陷,且裂紋自發(fā)萌生與發(fā)展,更符合實(shí)際情況.計(jì)算結(jié)果還表明,當(dāng)參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度逐漸減小時(shí),應(yīng)力?應(yīng)變?nèi)€的變異性隨之降低.單軸受拉與三點(diǎn)受彎缺口梁試件的對(duì)比分析則進(jìn)一步表明,當(dāng)裂紋擴(kuò)展路徑的隨機(jī)性更大時(shí),載荷?變形曲線的變異性隨之增大.

本文研究工作可為非局部宏?微觀損傷模型參數(shù)的試驗(yàn)標(biāo)定與具有空間變異性影響的準(zhǔn)脆性材料與試件在更復(fù)雜受力狀態(tài)下的裂紋模擬與破壞分析提供借鑒.同時(shí),尚存在一系列值得進(jìn)一步深入研究的問題,如對(duì)剪切變形的考慮、相關(guān)長(zhǎng)度與作用域半徑之間的關(guān)系及其影響等.