飽和多孔黏彈地基熱?水?力耦合動力響應(yīng)分析1)

郭 穎 李文杰 馬建軍 梁 斌,3) 熊春寶

?(河南科技大學土木工程學院,河南洛陽 471023)

?(天津大學建筑工程學院,天津 300072)

引言

1956 年,Biot[1]首次提出了耦合的熱彈性理論,該理論依舊認為熱在介質(zhì)中的傳輸速度是無限大的,這與事實不符.為了消除這一悖論學者們紛紛提出了可解釋熱的波動效應(yīng)的熱傳導理論以及相應(yīng)的數(shù)學模型.目前,學者們廣泛應(yīng)用的理論主要有:Lord-Shulman(L-S)[2]廣義熱彈性理論、Green-Lindsay(GL)[3]廣義熱彈性理論以及Green-Naghdi(G-N)[4-6]廣義熱彈性理論.上述幾種廣義熱彈性理論均能很好地可描述熱的“次聲效應(yīng)”.除上述常用的廣義熱彈性理論外,還有多種不同的熱彈性理論,適用于不同的環(huán)境、初始條件、邊界條件等[7-9].Hetnarski 和Ignaczak[10]基于多種廣義熱彈性理論研究和探討了熱彈性問題解的唯一性.

王穎澤等[11]借助于Laplace 積分變換及柱函數(shù)的漸近性質(zhì),推導了循環(huán)熱沖擊作用時溫度場、位移場和應(yīng)力場的漸近表達式.許新和李世榮[12]基于Euler-Bernoulli 梁理論和單向耦合的熱傳導理論,定量分析了材料梯度指數(shù)、頻率階數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件對熱彈性阻尼的影響,隨后,李世榮團隊[13]又對Mindlin 矩形微板的熱彈性阻尼問題進行了研究.李妍等[14]基于L-S 型廣義熱彈擴散理論,建立了考慮材料記憶依賴效應(yīng)和空間非局部效應(yīng)非局部廣義熱彈擴散耦合理論.胡克強等[15]利用Hankel 積分變換法得到了表面受到軸對稱熱載荷作用的半無限大介質(zhì)力?電?磁?熱耦合問題.王現(xiàn)輝等[16]采用一種改進的勒讓德正交多項式和分數(shù)階積分相結(jié)合的方法,詳細分析了熱彈性波在板中傳播的問題.上述研究沒有考慮孔隙水的作用,國內(nèi)學者白冰[17]基于飽和多孔介質(zhì)理論推導了熱?水?力全耦合方程,對不同耦合項的物理意義進行了解釋.隨后,學者們研究了外載荷作用下空腔球殼、地基和隧道等不同介質(zhì)的熱?水?力耦合問題[18-20].熊春寶等[21]研究地基上表面受溫度載荷和機械載荷時,孔隙率各向異性參數(shù)變化對熱?水?力耦合下飽和多孔彈性地基的影響.

上述研究考慮了介質(zhì)的熱?力耦合和熱?水?力耦合問題,但均是在彈性介質(zhì)中進行研究的,不能反映土體的流變特性.黏彈性是材料的一種本構(gòu)屬性,一般情況下,往往認為其不僅具有彈性固體的性質(zhì),還具有某些黏性流體的性質(zhì)[22].黏彈性介質(zhì)的固有屬性使其不僅會像固體一樣對突發(fā)外載荷有明顯的瞬態(tài)響應(yīng),還也會像黏性流體那樣受到動載荷作用后出現(xiàn)滯后現(xiàn)象,這種現(xiàn)象所引起的滯后時間是介于彈性固體和黏性流體之間的.基于上述幾種廣義熱彈性理論,結(jié)合常用的黏彈性模型,學者們研究了一些關(guān)于黏彈性材料的熱彈動力響應(yīng)問題.采用Laplace-Fourier 雙重變換的方法,Ezzat 等[23]推導了材料的二維熱黏彈基本方程,在已有方程的基礎(chǔ)上Ezzat 和El-Bary[24]又結(jié)合Kirchhoff 理論研究了熱導率變換對無限長黏彈性中空圓柱的影響.隨后,Ezzat 和El-Karamany[25]采用Laplace 正、反變換的方法推導出了考慮兩個熱松弛時間的廣義熱黏彈理論,并證明了方程的唯一性.何天虎和井緒明[26-27]基于L-S 理論和G-L 理論研究了兩端固定有限長桿和半無限長桿的熱黏彈問題.李吉偉和何天虎[28]結(jié)合熱松弛和應(yīng)變松弛現(xiàn)象,分析了黏彈性介質(zhì)的壓電熱彈問題.Kar和Kanoria[29]在廣義熱黏彈理論下,研究了邊界受到溫度載荷作用的均質(zhì)各向同性黏彈性球殼動力響應(yīng)問題,對比和分析了兩種不同理論中考慮黏彈性與不考慮黏彈性時各物理量之間的差異.Andreea[30]選擇了適當?shù)臅r間加權(quán)值解決了與空間線彈性材料理論相關(guān)的時空問題,最終建立了圣維南類型的空間估計方程.基于雙溫度理論,Othman 和Abouelregal[31]采用Laplace 正、反變換法描述了邊界受到非高斯激光脈沖作用的均質(zhì)各向同性黏彈半無限大體的動力響應(yīng)問題.Sherief 和Allam[32]研究了外表面受到軸對稱溫度載荷作用時黏彈性實心球體的熱黏彈問題.Zenkour 和Abouelregal[33]采用正則模態(tài)法研究了考慮四種不同黏彈松弛系數(shù),受溫度載荷作用時的三維黏彈性板的熱黏彈問題.康建宏和譚文長[34]的通過線性穩(wěn)定性理論,分析計算了多孔介質(zhì)幾何形狀、熱邊界條件等因素對黏彈性流體熱對流失穩(wěn)的臨界Rayleigh 數(shù)的影響.Iesan[35]基于Kelvin-Voigt 黏彈性模型結(jié)合廣義Darcy 定律推導了可描述二元混合黏彈性介質(zhì)的理論方程,并證明了其唯一性.Fern′andez和Masid[36]從數(shù)值分析角度出發(fā),研究了一個多孔混合黏彈性材料的熱黏彈問題,最終得到了該問題的一維和二維通解.Elhagary[37]采用邊界積分法和Laplace 積分變換法研究了瞬態(tài)廣義熱黏彈問題,并證明了其互易性.上述研究雖然分析了黏彈性介質(zhì)的一系列性質(zhì),但是同樣沒有考慮孔隙水的作用,徐長節(jié)和馬曉華[38]利用Laplace 正、反變換的方法研究了考慮土骨架的黏性及流體與固體之間的耦合作用的黏彈性準飽和土中空腔球殼的動力響應(yīng)問題.祝彥知等[39]借助Fourier 展開、Laplace 和Hankel 積分變換方法推導出了考慮土骨架黏彈性的橫觀各向同性飽和土體的動力解析解,結(jié)果表明在進行橫觀各向同性飽和土體動力分析時,考慮土骨架的黏彈性十分有必要.

通過上述已有研究發(fā)現(xiàn),目前考慮孔隙水的研究主要在彈性介質(zhì)中進行,而考慮黏彈性介質(zhì)的動態(tài)響應(yīng)時一般都是忽略孔隙水的影響,這樣的研究僅適合在彈性介質(zhì)中,而對于具有流變性的天然地基來說并不適用,為了能夠更好研究外載荷作用下孔隙水對飽和多孔黏彈性半無限大地基的影響,本文在Lord-Shulman 廣義熱彈性理論的基礎(chǔ)上引入考慮了黏彈性松弛時間因子的Kelvin-Voigt 黏彈性地基模型,從而建立了可以描述黏彈性地基滲流場、溫度場和應(yīng)力場多物理場耦合的數(shù)學模型,采用更適合描述波的傳播特性的正則模態(tài)法分析了熱源和力源作用于半無限大地基上表面時無量綱超孔隙水壓力、豎向位移、豎向應(yīng)力以及溫度的變化規(guī)律,著重分析了滲透系數(shù)和孔隙率變化對飽和多孔黏彈性地基中各物理的影響,地基模型詳見圖1.

圖1 飽和多孔黏彈性地基熱?水?力耦合問題模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the coupled thermo-hydro-mechanical problem of saturated porous viscoelastic foundation

1 基本方程

本文引入Kelvin-Voigt 黏彈性模型同時考慮了溫度和滲流作用從而建立了飽和多孔黏彈性地基熱?水?力耦合動力模型,分析了飽和多孔黏彈性地基的熱?水?力耦合問題.該模型中所有物理量均可以表達為坐標x和z以及時間t的函數(shù)形式.x軸方向為波的傳播方向,z軸為地基深度方向,假設(shè)外載荷在z→∞完全消失(詳見圖1).其基本控制方程如下:

2 正則模態(tài)分析

正則模態(tài)法不僅可直接對多場耦合方程進行快速解耦,使得公式推導過程更簡便;還可以消除積分變換時數(shù)值反變換中離散誤差和截斷誤差的存在而不能全面反映熱的“次聲效應(yīng)”的局限[44].為了確定Ri(i=1,2,3)和F的表達式,必須引入邊界條件,根據(jù)上述對問題的描述,可以得到以下的邊界條件.

式中,q為力源的大小,ψ(x,t)為x軸上力源的分布函數(shù).結(jié)合方程(24),ψ(x,t)可以改寫成:

式中,Q為熱源的大小.

根據(jù)上述邊界條件,可以得到Ri(i=1,2,3)和F的表達式,Ri(i=1,2,3)的表達式比較繁雜,需要借助Maple 軟件計算得到,在此處不在列出,F的表達式如下

3 算例及結(jié)果討論

本文以飽和多孔半無限大黏彈性地基為例,分別在地基的上表面施加了力源和熱源等外載荷作用.結(jié)合邊界條件最終得到了滲透系數(shù)和孔隙率變化等對該地基中無量綱豎向應(yīng)力、超孔隙水壓力、豎向位移以及溫度的影響.本算例中所需參數(shù)同參考文獻[45-47].

表1 考慮三場耦合效應(yīng)的飽和多孔黏彈性地基計算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of saturated porous viscoelastic foundation considering the coupled three-fields effect

由于載荷頻率滿足ω=ω0+i?,式中i 為虛數(shù)單位,則eωt=eω0t(cos ?t+i sin ?t),當作用時間t很小時,即可取ω=ω0.其他參數(shù)a=1.2,ψ?=1.

3.1 力源作用時地基響應(yīng)特性分析

地基上表面考慮力源作用時,取載荷頻率非常小(ω=0.002),波數(shù)a=1 時,THMVD 模型和THMD模型(飽和多孔彈性地基的熱?水?力耦合動力模型)均可以認為是準靜態(tài)地基模型.設(shè)地基上表面受到了與力源波長幅值大小相同的靜力載荷作用,將靜力載荷沿x軸方向等分成若干小份,每份視為均布載荷,根據(jù)Boussinesq 解推出的均布載荷作用時土中的應(yīng)力計算公式求出每一份均布載荷作用下土的應(yīng)力,并將所有應(yīng)力結(jié)果疊加,用以驗證本文中解析方法的適用性.三條曲線都吻合的很好,從而驗證了正則模態(tài)法計算結(jié)果的可靠性.

從圖3 ～圖6 可以看出,當載荷頻率相同時,文中飽和多孔黏彈性地基中超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力、豎向位移和溫度曲線與文獻[48]的相應(yīng)結(jié)果分布趨勢一致,從而證明了方法的合理性和結(jié)果的可靠性.

圖7 ～圖10 描述了飽和多孔黏彈地基上表面受到不同頻率的力源作用時,孔隙率和滲透系數(shù)變化對地基中各量綱量的影響.

圖2 不同方法計算水平方向上豎向應(yīng)力分布情況的對比驗證Fig.2 Comparison and verification of vertical stress distribution in horizontal direction calculated by different methods

圖3 力源作用下THMVD 模型中超孔隙水壓力與文獻[48]對比Fig.3 Comparison of the excess pore water pressure in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

圖4 力源作用下THMVD 模型中豎向應(yīng)力與文獻[48]對比Fig.4 Comparison of the vertical stress in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

圖5 力源作用下THMVD 模型中豎向位移力與文獻[48]對比Fig.5 Comparison of the vertical displacement in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

圖6 力源作用下THMVD 模型中溫度力與文獻[48]對比Fig.6 Comparison of the temperature in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

圖7 中無量綱超孔隙水壓力從零開始隨地基深度增大而逐漸增大,達到峰值后再逐漸減小,這是因為假設(shè)上邊界處可透水.在ω=5 時,靠近地基上表面的一定區(qū)域內(nèi),三條曲線基本重合,主要是由于孔隙水可以快速排出而造成的.載荷頻率增大使超孔隙水壓力快速變大,且峰值向著地基更深處移動.此外,隨著載荷頻率增大,兩不同滲透系數(shù)和不同孔隙率引起的超孔隙水壓力曲線間差異明顯增大.

圖7 力源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對超孔隙水壓力的影響Fig.7 Variations of the excess pore water pressure with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

孔隙率和滲透系數(shù)變化對無量綱豎向應(yīng)力和豎向位移(圖8 和圖9) 并沒有明顯的影響,而載荷頻率對這兩個物理量有較為明顯的影響,載荷頻率大的曲線衰減的速度更快.在本研究中,正負值與大小無關(guān),正值表示處于受拉狀態(tài),負值表示處于受壓狀態(tài).圖8 中無量綱豎向應(yīng)力處于壓縮狀態(tài),滲透系數(shù)和孔隙率變化對豎向應(yīng)力的影響主要體現(xiàn)在深度達到z=0.5 后到應(yīng)力擾動完全消失之前的區(qū)域,在這個區(qū)域中,滲透系數(shù)和孔隙率較小的曲線衰減的速度更快,隨著載荷頻率增大,這個差異更明顯一些.

圖8 力源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對豎向應(yīng)力的影響Fig.8 Variations of the vertical stress with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

圖9 力源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對豎向位移的影響Fig.9 Variations of the vertical displacement with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

圖10 中無量綱溫度曲線趨勢與超孔隙水壓力類似,曲線隨載荷頻率增大而逐漸變大,但隨孔隙率和滲透系數(shù)增大逐漸減小.無論是載荷頻率變化還是孔隙率亦或是滲透系數(shù)變化,溫度曲線的峰值都基本在地基同一深度出現(xiàn).載荷頻率大的曲線衰減的速度更快.隨著載荷頻率增大,兩不同孔隙率的溫度曲線間的差異逐漸增大,但隨著載荷頻率的增大,兩不同滲透系數(shù)的溫度曲線之間的差異基本一致.此外,當載荷頻率一定,在接近地基上表面處,三條曲線基本重合,這主要是因為研究時假設(shè)地基上表面可透水,在地基深度較淺時,地基中的孔隙水更容易排出,所以差異不太明顯,隨著深度增大,孔隙水不再容易排出,曲線間差異就愈發(fā)明顯.雖然僅有單位力源作用所引起的無量綱溫度的數(shù)值不大,但是仍然能看出孔隙水的存在對溫度的影響很明顯.

圖10 力源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對溫度的影響Fig.10 Variations of the temperature with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

3.2 熱源作用時地基響應(yīng)特性分析

圖11 ～圖14 分析了上表面受到熱源作用時,不同載荷頻率(ω=1.6 和ω=5) 和不同孔隙率(n0=0.3 和n0=0.4)以及不同滲透系數(shù)(kd=10?7和kd=10?8)對無量綱超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力、豎向位移和溫度的影響.

圖11 熱源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對超孔隙水壓力的影響Fig.11 Variations of the excess pore water pressure with different porosity and permeability coefficient under thermal load

圖11 和圖12 中,無量綱超孔隙水壓力、豎向應(yīng)力曲線均是從零開始,先逐漸增大,達到峰值后再逐漸減小.無論是隨載荷頻率增大還是隨孔隙率亦或者滲透系數(shù)增大,無量綱超孔隙水壓力和豎向應(yīng)力均隨之增大.隨著載荷頻率增大,不同滲透系數(shù)和孔隙率所引起的無量綱超孔隙水壓力曲線間的差異也越發(fā)明顯.在載荷頻率一定時,隨著滲透系數(shù)和孔隙率的增大,曲線峰值均向著地基上表面方向移動.

圖12 熱源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對豎向應(yīng)力的影響Fig.12 Variations of the vertical stress with different porosity and permeability coefficient under thermal load

圖13 中,無量綱位移一開始處于壓縮狀態(tài),隨著地基深度逐漸增大,慢慢進入膨脹狀態(tài).滲透系數(shù)和孔隙率變化對無量綱豎向位移的影響不太明顯,主要在曲線進入膨脹區(qū)域的附近以及曲線峰值處影響較為明顯.在載荷頻率一定時,滲透系數(shù)小的曲線在地基上表面處和曲線峰值處均略大一些,隨著孔隙率增大,無量綱位移逐漸增大.

圖13 熱源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對豎向位移的影響Fig.13 Variations of the vertical displacement with different porosity and permeability coefficient under thermal load

圖14 中無論是孔隙率變化還是滲透系數(shù)變化均對無量綱溫度沒有明顯影響,隨著載荷頻率增大,溫度曲線在地基上表面處明顯增大,隨地基深度增大,其衰減速度明顯增大.

圖14 熱源作用下滲透系數(shù)和孔隙率變化對溫度的影響Fig.14 Variations of the temperature with different porosity and permeability coefficient under thermal load

4 結(jié)論

本文旨在基于研究飽和多孔黏彈性地基中滲透系數(shù)和孔隙率變化對地基中各無量綱量的影響.建立了黏彈性地基的熱?水?力耦合動力模型.詳細的分析和探討了飽和多孔黏彈性地基上表面受到外載荷作用時無量綱超孔隙水壓力、豎向位移、豎向應(yīng)力以及溫度等物理量的分布情況和變化規(guī)律.主要結(jié)論如下:

(1)正則模態(tài)法作為一種加權(quán)殘差法,能夠快速對多場耦合方程進行解耦,最終得到了所考慮的各物理量的變化規(guī)律,該方法的引入為多孔黏彈性地基的熱?水?力耦合問題的求解提供了有效的計算方法.

(2)地基上表面受到力源作用時,孔隙率變化僅對無量綱超孔隙水壓力和溫度有明顯的影響;地基上表面受到熱源作用時,孔隙率變化對無量綱超孔隙水壓力和豎向應(yīng)力的影響更為明顯一些.總體而言,無論何種載荷作用,孔隙率變化對無量綱超孔隙水壓力影響比較明顯,而對無量綱豎向位移卻沒有明顯的影響.

(3)地基上表面受到力源作用時,滲透系數(shù)變化同樣僅對無量綱超孔隙水壓力和溫度有明顯影響,尤其是在峰值處.當?shù)鼗媳砻媸艿綗嵩醋饔脮r,滲透系數(shù)變化對除無量綱溫度外的各物理量均有一定的影響,但對無量綱豎向應(yīng)力和超孔隙水壓力的影響更為明顯.