基于降階電化學(xué)模型估算鋰離子電池狀態(tài)

程麒豫，張 希，高一釗，郭邦軍

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

鋰離子電池電化學(xué)狀態(tài)量的精確估算，對(duì)電動(dòng)汽車(chē)的電池管理系統(tǒng)(BMS)十分重要?；趯?duì)與電池老化相關(guān)的負(fù)極表面Li+濃度等電化學(xué)狀態(tài)的精確估算，可確定電池最優(yōu)的充電電流，縮短充電時(shí)間，并延長(zhǎng)電池壽命[1]。復(fù)雜的非線性偏微分方程組，使電化學(xué)模型無(wú)法在實(shí)時(shí)工況下得到應(yīng)用，因此，需要簡(jiǎn)化處理電化學(xué)模型，以提高計(jì)算效率。D.D.Domenico等[2]提出的平均模型，將平均固相Li+濃度和電流密度相結(jié)合，引入擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法估算電池的荷電狀態(tài)(SOC)。在SOC初始誤差為10%、采用恒流充放電的工況下，SOC能夠快速地收斂，且誤差控制在1%以內(nèi)；S.J.Moura等[3]提出考慮電解質(zhì)的動(dòng)力學(xué)(SPMe)模型，引入龍貝格觀測(cè)器，估算SOC及正、負(fù)極固相表面Li+濃度。在美國(guó)城市道路循環(huán)(UDDS)工況下，正、負(fù)極固相表面Li+濃度均方根誤差分別為0.3%、0.6%，電壓誤差為6.7 mV。

如何精確地估計(jì)電池中更多的電化學(xué)狀態(tài)量，仍是亟待解決的難題。本文作者通過(guò)拉普拉斯變換、帕德近似等數(shù)學(xué)方法，對(duì)單粒子電化學(xué)模型進(jìn)行降階，以滿足實(shí)時(shí)計(jì)算的需求?；谠摻惦A電化學(xué)模型，在各狀態(tài)量平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，引入EKF算法構(gòu)建觀測(cè)器，觀測(cè)電池內(nèi)不可測(cè)量的重要電化學(xué)狀態(tài)量，為電化學(xué)模型在實(shí)車(chē)中的應(yīng)用提供參考。

1 模型搭建

1.1 單粒子模型

鋰離子電池的微觀結(jié)構(gòu)由3部分組成：負(fù)極、隔膜和正極。在單粒子模型中，每個(gè)電極僅由單粒子組成，考慮徑向r方向上Li+濃度的變化；電解質(zhì)僅考慮水平x方向Li+濃度的變化。該模型可用以下5個(gè)相互耦合的偏微分方程式表示[4]。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

輸出電壓U可由式(6)計(jì)算得到。

U=φs(x=L)-φe(x=0)-RfI

(6)

式(6)中：Rf為電池內(nèi)阻；I為電流；x表示極板水平方向坐標(biāo)，x=0為負(fù)極集流體，x=L為正極集流體；L為電池總極片長(zhǎng)度。

1.2 降階模型

以電流作為系統(tǒng)的輸入。結(jié)合給定的初始與邊界條件，將式(1)-(5)進(jìn)行拉普拉斯變換，再利用帕德近似，獲取相對(duì)于輸入電流的固相及液相Li+濃度多項(xiàng)式傳遞函數(shù)[5]。固相Li+濃度，僅取負(fù)極表面Li+濃度csen作為狀態(tài)量，以提高系統(tǒng)的可觀性；液相Li+濃度，分別取邊界x=0和L處作為狀態(tài)量，即ce0和ceL，構(gòu)建狀態(tài)空間方程。

(7)

(8)

(9)

式(7)-(9)為拉普拉斯變換后復(fù)數(shù)s域上的解，其中：Acell為極板面積；Rsn為負(fù)極固相粒子半徑；asn為負(fù)極比表面積；Ln為負(fù)極電極長(zhǎng)度；Lp為正極電極長(zhǎng)度；εen為負(fù)極液相體積分?jǐn)?shù)；εep為正極液相體積分?jǐn)?shù)；M1、M2、M3、M4、M5、M6和M7均可由極片長(zhǎng)度、極片面積、傳遞系數(shù)和法拉第常數(shù)表示，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

將式(7)-(9)進(jìn)行離散化處理后進(jìn)行矩陣組裝，涵蓋輸出電壓的降階離散電化學(xué)模型表達(dá)式為：

x(k+1)=Gx(k)+HI(k)

(10)

(11)

U(k)=g[x(k),y(k)]

(12)

式(10)-(12)中：cs，initial和ce，initial分別為固相、液相初始Li+濃度；G、H、C和D矩陣均為離散化處理后的系統(tǒng)矩陣；x為狀態(tài)量，對(duì)應(yīng)csen、ce0和ceL；y為推導(dǎo)輸出電壓U產(chǎn)生的中間輸出量，無(wú)實(shí)際物理含義；g(x，y)為y到U的非線性映射；k表示第k時(shí)刻；離散步長(zhǎng)取值為1 s。

2 卡爾曼濾波算法估計(jì)

2.1 可觀性分析

傳感器只能監(jiān)測(cè)電池電流和電壓，其余狀態(tài)量需要通過(guò)觀測(cè)器來(lái)估算?；谔岢龅慕惦A電化學(xué)模型，引入卡爾曼濾波算法對(duì)電池內(nèi)部狀態(tài)量進(jìn)行估算。首先需要對(duì)模型進(jìn)行可觀性分析。由文獻(xiàn)[7]中對(duì)于非線性系統(tǒng)可觀性的分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)可觀性矩陣O的秩在局部范圍內(nèi)等于系統(tǒng)階數(shù)n時(shí)，非線性系統(tǒng)在局部范圍內(nèi)可觀。此外，可用Q來(lái)描述系統(tǒng)可觀性的強(qiáng)弱。

(13)

式(13)中：σmin為系統(tǒng)矩陣的最小奇異值；σmax為系統(tǒng)矩陣的最大奇異值。

可觀性強(qiáng)的系統(tǒng)，Q接近于1；而可觀性差的系統(tǒng)，Q接近于0。以最大電流為1C倍率的UDDS工況(見(jiàn)圖1)為例分析，本文作者提出的降階電化學(xué)模型可觀性程度數(shù)量級(jí)為10-8，可觀性程度較低，需要適當(dāng)選取EKF的參數(shù)，以便系統(tǒng)快速收斂。

圖1 降階電化學(xué)模型在UDDS工況下的可觀性程度

2.2 狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

非線性系統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼觀測(cè)器，解決了在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用問(wèn)題[8]。將EKF算法應(yīng)用于所搭建的降階電化學(xué)模型，狀態(tài)預(yù)測(cè)度量更新方程、輸出預(yù)測(cè)方程、狀態(tài)預(yù)測(cè)時(shí)間更新方程和卡爾曼增益方程依次為：

(14)

(15)

(16)

(17)

3 仿真與驗(yàn)證

3.1 仿真與實(shí)驗(yàn)條件

實(shí)驗(yàn)電池為MH1 18650型鋰離子電池(南京產(chǎn))，額定容量為3.2 Ah，正極活性物質(zhì)為三元材料LiNi0.8Mn0.1Co0.1O2，負(fù)極活性物質(zhì)為石墨。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，對(duì)電池進(jìn)行最大電流的UDDS工況驗(yàn)證，電流見(jiàn)圖2。

圖2 實(shí)驗(yàn)電池UDDS工況下的電流曲線

單粒子模型采用COMSOL Multiphysics軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證；基于降階電化學(xué)模型的EKF算法用Matlab/Simulink與可編程充放電機(jī)進(jìn)行驗(yàn)證。為了驗(yàn)證該算法的收斂性，實(shí)驗(yàn)時(shí)，任意給定帶有誤差的狀態(tài)量初始值。給定初始csen=48 677 mol/m3，ce0=ceL=15 000 mol/m3。傳感器噪聲和過(guò)程噪聲協(xié)方差為0.2，先驗(yàn)誤差協(xié)方差為107。

3.2 結(jié)果分析

負(fù)極固相表面Li+濃度csen、液相邊界處Li+濃度ceL與電池老化密切相關(guān)；此外，電池當(dāng)前SOC和電壓對(duì)電池的使用性能有很大影響。實(shí)驗(yàn)主要分析csen、ceL、SOC和電壓的估算結(jié)果。csen和ceL無(wú)法通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)備測(cè)量得到，取簡(jiǎn)化前單粒子模型的仿真結(jié)果作為真值；電壓與SOC能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)備獲得，真值由實(shí)驗(yàn)值給定。

基于降階電化學(xué)模型，EKF算法對(duì)于實(shí)驗(yàn)電池在圖2工況下的負(fù)極固相表面Li+濃度的估算結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 實(shí)驗(yàn)電池負(fù)極固相表面Li+濃度

從圖3可知，csen的初始誤差(E)為19.8%，11 s后估算結(jié)果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內(nèi)，64 s后估算誤差即可收斂至1%以下。

實(shí)驗(yàn)電池在圖2工況下的液相邊界(x=L)處的Li+濃度估算結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 實(shí)驗(yàn)電池液相邊界(x=L)處的Li+濃度

從圖4可知，ceL的初始誤差(E)為5.8%，8 s后估算結(jié)果可收斂至真值附近，估算誤差降低至1%以下。

實(shí)驗(yàn)電池在圖2工況下的SOC估算結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 實(shí)驗(yàn)電池的SOC估計(jì)結(jié)果

從圖5可知，SOC的初始誤差(E)為23.9%，14 s后估算結(jié)果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內(nèi)，88 s后估算誤差即可收斂至1%以下。

實(shí)驗(yàn)電池在圖2工況下的輸出電壓估算結(jié)果見(jiàn)圖6。

圖6 實(shí)驗(yàn)電池輸出電壓

從圖6可知，電池輸出電壓的初始誤差(E)為19.6%，10 s后估算結(jié)果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內(nèi)，33 s后估算誤差即可收斂至1%以下，但電壓波動(dòng)較大，存在峰值。由此可知，收斂后電壓的估算誤差控制在約2%。

4 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文作者提出的基于降階電化學(xué)模型EKF算法，對(duì)負(fù)極固相表面Li+濃度、液相邊界處Li+濃度、SOC和輸出電壓具有很好的跟蹤特性，可實(shí)現(xiàn)精確估算，有望應(yīng)用于實(shí)車(chē)BMS當(dāng)中。

在鋰離子電池單粒子模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建基于拉普拉斯變換、帕德近似及離散化處理的降階電化學(xué)模型，并基于該模型，引入EKF算法，提高電池內(nèi)部電化學(xué)狀態(tài)的估算精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，引入EKF算法后的電池狀態(tài)量估算即使在存在初始誤差的情況下，也能快速收斂，且收斂后的誤差，負(fù)極固相表面Li+濃度、液相邊界(x=L處)Li+濃度和SOC均保持在1%以下，輸出電壓誤差控制在約2%。