初始濃度分布對一維含水層中溶質(zhì)運移的影響

曹孟雄,陳 剛,胡 成

初始濃度分布對一維含水層中溶質(zhì)運移的影響

曹孟雄,陳 剛*,胡 成

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)環(huán)境學(xué)院,湖北 武漢 430074)

為了研究含水層中任意初始濃度分布條件下一維含水層介質(zhì)中的溶質(zhì)運移規(guī)律,采用對流-彌散方程構(gòu)建考慮任意初始濃度分布條件下一維含水層介質(zhì)中溶質(zhì)運移動力學(xué)數(shù)學(xué)模型,模型采用持續(xù)注入示蹤劑、瞬時注入示蹤劑和脈沖注入示蹤劑3種不同的邊界條件,數(shù)學(xué)模型的求解采用格林函數(shù)法.并通過開展室內(nèi)一維砂柱實驗進一步驗證模型的科學(xué)性和適用性.結(jié)果表明:初始條件對溶質(zhì)運移結(jié)果的影響不容忽視,新模型能夠模擬不同初始條件下的一維溶質(zhì)運移過程;新模型通過將流速變化處理為線性變化可以用來研究非穩(wěn)定流條件下溶質(zhì)運移過程;新模型是前人模型的完善,模型包含3種不同類型的內(nèi)邊界條件和任意的初始條件,新模型也能為地?zé)衢_發(fā)利用提供理論依據(jù).

初始條件；溶質(zhì)運移；解析解；格林函數(shù)法

受污染的地下水會給人類健康帶來危害,如何高效修復(fù)受污染含水層的問題日益受到重視.受污染的含水層修復(fù)的核心內(nèi)容是溶質(zhì)在含水層運移過程的機理研究,查明含水層的物理化學(xué)參數(shù),這一直是國內(nèi)外研究的熱點問題.到目前為止,國內(nèi)外學(xué)者先后從不同的角度建立了一系列研究溶質(zhì)在含水層介質(zhì)中運移的理論與模型,這些模型主要是對流彌散模型(ADE)、兩區(qū)模型(MIM)、連續(xù)時間隨機游走模型(CTRW)、對流對數(shù)正態(tài)傳遞函數(shù)模型(CLT)、傳遞函數(shù)模型(TFM)、分數(shù)階ADE模型(FADE)和邊界層彌散模型(BLD)等[2-4].MIM模型已經(jīng)廣泛用于模擬室內(nèi)一維均質(zhì)砂柱[5-7]、非均質(zhì)砂柱[8]和團聚結(jié)構(gòu)土壤等[9-11]中的溶質(zhì)運移規(guī)律.基于水動力彌散理論,ADE模型已經(jīng)成為經(jīng)典的溶質(zhì)運移模型,被廣泛用于研究重金屬、有機污染物、化肥等在含水層介質(zhì)中的運移機理.

為了獲取含水層的與溶質(zhì)運移有關(guān)的物理化學(xué)參數(shù),往往會開展一系列的溶質(zhì)運移實驗展開研究.其中,一維砂柱已經(jīng)廣泛用于獲取含水層重要的物理化學(xué)參數(shù),例如孔隙度、彌散度、化學(xué)反應(yīng)速率和吸附解吸系數(shù)等參數(shù)[12-15].但是現(xiàn)有的模型中包含一個重要的假定條件:假定含水層中的初始污染物濃度是一個恒定的值,即現(xiàn)有的研究往往忽略了初始條件對溶質(zhì)運移的影響.事實上,在受污染的含水層中,污染物的分布往往不是均一的,特別是重金屬礦體污染的地區(qū),由于重金屬礦體的零星分布造成含水層中重金屬的污染物呈現(xiàn)出較強的非均勻分布.此外,針對河岸帶和濱海地區(qū)含水層,水位波動除了會造成含水層中污染物呈現(xiàn)出不同情況的分布以外,還會造成地下水流速的變化.

因此,本研究將采用ADE模型構(gòu)建任意初始條件下的一維溶質(zhì)運移動力學(xué)數(shù)學(xué)模型,模型采用持續(xù)注入示蹤劑、瞬時注入示蹤劑和脈沖注入示蹤劑3種不同的邊界條件,數(shù)學(xué)模型的求解采用格林函數(shù)法,為了研究非穩(wěn)定流對溶質(zhì)運移的影響,本研究將流速變化處理為線性變化來刻畫非穩(wěn)定流,最后,通過開展室內(nèi)一維砂柱實驗進一步驗證模型的科學(xué)性和適用性.

1 模型構(gòu)建

假定含水層介質(zhì)為均質(zhì)、各項同性,含水層中的滲流滿足達西定律,含水層介質(zhì)中的溶質(zhì)遷移轉(zhuǎn)化滿足對流彌散方程.本研究采用一維坐標(biāo)建立考慮含水層中任意初始污染物濃度條件的溶質(zhì)運移模型,因此,描述含水層介質(zhì)中的溶質(zhì)運移的動力學(xué)方程可以表示為:

式中:表示含水層的彌散度, L.

相比前人的研究,本研究考慮了任意初始條件對溶質(zhì)運移結(jié)果的影響,因此,含水層中污染物的初始條件表示為:

本研究建立的模型考慮了3種不同的內(nèi)邊界條件,3種邊界條件的區(qū)別在于示蹤劑的注入類型,第一種是持續(xù)注入,第二種是脈沖注入,第三種是瞬時注入,3種內(nèi)邊界表示如下:

基于模型的假定條件,本研究所采用的外邊界條件為:

2 新解析解的推導(dǎo)

方程(1)～(5)構(gòu)成了任意初始條件下考慮3種不同的內(nèi)邊界條件的一維溶質(zhì)運移模型,現(xiàn)有的研究將初始條件假定為均一的背景值,在求解該類模型時采用無量綱變換的方法將初始值化為零,從而采用拉普拉斯變換方法求解模型的解析解.為進一步研究任意初始條件對含水層中溶質(zhì)運移結(jié)果的影響,本研究采用格林函數(shù)方法求解該模型獲取時域空間下的解析解.類似于前人的研究,格林函數(shù)法可以表示為[16-18]:

求解方程(8)得:

將方程(9)帶入方程(7)可得任意初始條件下一維含水層中溶質(zhì)運移模型的解析解:

3 新解析解的校準

圖1 采用COMSOL軟件建立的數(shù)值模型網(wǎng)格剖面圖

Fig.1 The grid mesh of the aquifer system used in the Galerkin finite-element COMSOL Multiphysics program

圖2 解析解和數(shù)值解的對比

本研究構(gòu)建了考慮任意初始條件下一維溶質(zhì)運移模型,為了檢驗新構(gòu)建模型的精度,采用COMSOL數(shù)值模擬軟件構(gòu)建任意初始條件下的一維溶質(zhì)運移數(shù)值模型,構(gòu)建數(shù)值模型網(wǎng)格剖分系統(tǒng)如圖1所示.編寫相應(yīng)的MATLAB計算機程序用于計算本研究構(gòu)建的解析解模型.為了使得砂柱中的示蹤劑的初始分布不是一個常數(shù)值,首先采用公式(10)在初始濃度為零進行計算,模型計算參數(shù)為=20min,=0.1m/min,=20m,注入示蹤劑的濃度為0.8mg/L,計算的濃度分布如圖2中虛線所示,以這個濃度分布作為解析解和數(shù)值解的初始值在其他參數(shù)下進行重新計算,計算結(jié)果如圖2所示,解析解和數(shù)值解能夠很好的擬合,進而驗證解析解的精度,校準采用模型參數(shù)是=50min,=0.1m/min,=0.5m.

4 模型的影響因素分析

4.1 不同初始條件的影響

圖3 含水層中初始濃度分布

為了研究不同初始條件下溶質(zhì)運移的機理,設(shè)置情景1、情景2和情景3分別對應(yīng)圖3中的初始條件1、初始條件2和初始條件3.在3種初始條件下分別采用持續(xù)注入、脈沖注入和瞬時注入3種邊界條件在=50min,=0.1m/min,=0.5m,0=2mg/L進行模擬,模擬結(jié)果如圖4所示.對于情景1,現(xiàn)有的研究均通過無量綱變換將均一的初始值化為零,從而不考慮初始條件對結(jié)果的影響,然而,實際含水層通常已經(jīng)遭受了不同程度的污染,含水層中通常有著非均勻的污染物分布,此外,現(xiàn)有研究中報道的一維溶質(zhì)運移實驗數(shù)據(jù)除了存在嚴重的拖尾現(xiàn)象以外,還存在雙峰現(xiàn)象[19-20], Xie等[19]采用雙重孔隙介質(zhì)模型來解釋雙峰現(xiàn)象,事實上,初始條件也可能造成這種現(xiàn)象,本研究的模型提供了一種解釋該現(xiàn)象的思路.由圖4可知,不同的初始條件對模型計算結(jié)果存在較為明顯的影響,本研究建立的模型能很好的模擬任意初始條件下溶質(zhì)的運移情況.

a:第一種邊界條件; b:第二種邊界條件; c:第三種邊界條件

4.2 非穩(wěn)定流條件對結(jié)果的影響

對于實際含水層,特別是濱海海岸帶和河岸帶含水層,由于潮汐作用或者河水位波動會引起含水層中地下水流速的變化.為研究河水位或者河水位上升條件對溶質(zhì)運移的影響,本研究采用類似于Chen所采用的方法,將流速變化處理為線性變化來刻畫非穩(wěn)定流[21],結(jié)合前文采用的初始條件2,本研究采用圖5所示的流速變化來模擬非穩(wěn)定流條件下的溶質(zhì)遷移過程.模型中所采用的參數(shù)為:=50min,=0.1m/min,=0.5m,0=1mg/L.圖6是穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流條件下含水層介質(zhì)中溶質(zhì)遷移情況對比,結(jié)果表明,當(dāng)?shù)叵滤魉匐S時間逐漸增加時,含水層介質(zhì)中的溶質(zhì)遷移范圍比較大,采用本研究建立的模型能用于刻畫非穩(wěn)定流條件下溶質(zhì)運移過程.

圖5 流速變化曲線

圖6 穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流條件下溶質(zhì)運移結(jié)果

5 模型的應(yīng)用

為了檢驗?zāi)Ｐ偷倪m用性,本研究選取一個長為100.00cm、內(nèi)徑為6.50cm的一維均質(zhì)砂柱開展溶質(zhì)運移實驗,研究不同初始條件和非穩(wěn)定流條件下溶質(zhì)運移過程.選取粒徑為0.75～0.90mm的石英砂作為含水層介質(zhì),為了避免石英砂中存在反應(yīng)性物質(zhì),在裝填石英砂前,首先采用稀鹽酸進行5次清洗,然后用自來水清洗;填充的石英砂高度為30cm,含水層介質(zhì)兩端的水頭差為60cm,采用體積法測量得到的含水層介質(zhì)孔隙度為0.42,下游出水口流量為0.0019m3/d,結(jié)合上述實測數(shù)據(jù),計算得到的滲透系數(shù)為7.2m/d,實際流速為0.0238m/min,由砂柱底部每隔5cm安裝有一個閥門用于安裝鹽分傳感器進行濃度監(jiān)測,實驗中選取距離砂柱底部分別為5, 10和20cm位置處進行監(jiān)測(后文分別稱為觀測孔1、觀測孔2和觀測孔3).在開展實驗前,首先以恒定流量0.0019m3/d將清水注入砂柱中,使得含水層介質(zhì)中的溶液濃度均一.為了排除生物化學(xué)反應(yīng)以及吸附解吸作用等因素對溶質(zhì)運移結(jié)果的影響,采用NaCl作為溶質(zhì).為了研究初始條件對溶質(zhì)運移的影響,類似于前文情景2的模擬,需要先配置好100和200mg/L的NaCl溶液.首先將100mg/L的NaCl溶液以0.0019m3/d的流量注入砂柱中,注入時間為1min,然后立即采用清水以相同的流量注入5min,此時砂柱中的污染物分布作為初始條件,再將配置的200mg/L的NaCl溶液以相同的流速注入砂柱.

本研究采用新建立的模型解釋觀測孔1和觀測孔2的實測數(shù)據(jù)進一步研究模型的適用性,首先將模型的初始條件設(shè)置為0,然后擬合觀測孔1、觀測孔2和觀測孔3處的穿透曲線,模型參數(shù)設(shè)置如下:=0.0238m/min,=0.1cm,0=100mg/L.擬合的結(jié)果如圖7所示,觀測孔1和觀測孔2的實測數(shù)據(jù)能和解析解模型很好的擬合,此時,整個砂柱中的溶質(zhì)分布如圖8所示.

圖7 初始條件擬合

以圖8中的溶質(zhì)分布作為初始值,將200mg/L的NaCl溶液以0.0019m3/d的流量注入砂柱中,持續(xù)對觀測孔1和觀測孔2進行觀測,本研究建立的模型擬合觀測數(shù)據(jù)結(jié)果如圖9所示,模型參數(shù)設(shè)置和圖7一致.結(jié)果表明,本研究建立的一維溶質(zhì)運移模型能較好的刻畫任意初始條件下溶質(zhì)遷移過程,需要注意的是,為了確保流場是穩(wěn)定的,整個實驗過程不是間斷的.

圖8 砂柱中溶質(zhì)分布

Fig.8 Distribution of tracer in the column

圖9 解析解擬合實測數(shù)據(jù)結(jié)果

本研究新建立的模型考慮任意初始條件和3種不同類型的內(nèi)邊界條件:持續(xù)注入示蹤劑、瞬時注入示蹤劑和脈沖注入示蹤劑.新建立的溶質(zhì)運移模型是許多前人的模型的推廣,例如,當(dāng)初始條件設(shè)置為均一的值,本文的模型便還原為一維零初始值溶質(zhì)運移模型[15];本研究中采用將流速變化處理為線性變化來刻畫非穩(wěn)定流,值得注意的是,速度線性增加過程中所采用的時間增量越小越好,當(dāng)時間增量較大的時候,這種處理相當(dāng)于階梯流量注入示蹤劑.盡管本研究建立的模型涵蓋了任意初始條件和3種不同類型的內(nèi)邊界條件,然而,根據(jù)前文介紹的模型中的假定條件,新模型的適用范圍主要是:(1)正如控制方程(1)所示,模型主要考慮惰性示蹤劑的運移機理,本研究建立的模型不適用于反應(yīng)性溶質(zhì)的生物地球化學(xué)遷移轉(zhuǎn)化過程模擬;(2)本研究建立的模型沒有考慮尺度效應(yīng)[15]、混合效應(yīng)[15]、表皮效應(yīng)[22]和含水層介質(zhì)非均質(zhì)性等因素對溶質(zhì)運移過程的影響;(3)類似于Chen的研究,本研究將流速變化處理為線性變化來刻畫非穩(wěn)定流,能夠近似的模擬河水位或者海水位上升/下降對溶質(zhì)運移的影響,對于實際情況可能存在不可忽視的誤差[21].如果需要綜合考慮上述因素的影響,可能需要建立相應(yīng)的數(shù)值模型進行求解.

6 結(jié)論

6.1 本研究建立的模型能夠用于模擬任意初始條件下持續(xù)注入示蹤劑、瞬時注入示蹤劑和脈沖注入示蹤劑情況下一維溶質(zhì)運移過程.

6.2 通過將流速變化處理為線性增加或減小來刻畫非穩(wěn)定流條件下溶質(zhì)運移過程,可將本模型運用到河水或海水位上升/下降條件對溶質(zhì)運移的影響研究中.

6.3 通過室內(nèi)一維砂柱實驗的實測數(shù)據(jù)與解析解計算結(jié)果進行擬合對比,說明采用格林函數(shù)法建立的任意初始條件下一維溶質(zhì)運移模型能夠很好的解釋任意初始條件下一維溶質(zhì)運移過程.

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Impact of initial concentration distribution on solute transport in the one-dimensional aquifer.

CAO Meng-xiong, CHEN Gang*, HU Cheng

(School of Environmental Studies, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China)., 2021,41(5)：2226～2231

This paper developed a novel mathematical model to study the impact of arbitrary initial condition on solute transport in the one-dimensional aquifer. The new mathematical model was developed by including the arbitrary initial condition and three types of boundary conditions (continuous solute input condition、instantaneous solute input condition and pulse-type boundary condition), and analytical solution was derived using the Green’s function method. To test the assumptions used in the mathematical model, a laboratory experiment was conducted. Results showed that: The influence of initial conditions on the solute transport results could not be ignored. The experimental results showed that the new model could simulate the one-dimensional solute transport process under arbitrary initial conditions; The new model could be used to study the solute transport process in unsteady flow by linearizing the flow velocity change; The new model improved the previous model by including three different types of inner boundary conditions and arbitrary initial conditions, it could also provide theoretical basis for improving geothermal exploitation and utilization.

initial conditions；solute transport；analytical solution；Green’s function method

X523

A

1000-6923(2021)05-2226-06

曹孟雄(1996-),男,天津人,中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)碩士研究生,主要從事地下水流及溶質(zhì)運移數(shù)值模擬研究.

2020-10-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(41772259)

* 責(zé)任作者, 副教授, chengang@cug.edu.cn