傳送帶模型問題之面面觀
——關(guān)于傳送帶問題的各種情況分析

湖北

物體以一定初速度v0在另一個勻速(變速)運動的皮帶上運動的力學(xué)系統(tǒng)稱為傳送帶模型，共存在著多種類型。它是高中物理復(fù)習(xí)的一個重點專題內(nèi)容，通常會考查到物體在傳送帶上的運動性質(zhì)、運動時間、相對位移、劃痕、運動圖像、摩擦生熱等。下面對常見的一些類型做出歸納與解析，供學(xué)生們復(fù)習(xí)參考。

一、水平傳送帶(L足夠長)

(1)v0與v同向(如圖1)

①v0>v，物體先勻減速再勻速到達右端

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖1.1所示。

圖1.1

②v0

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖1.2所示。

圖1.2

③v0=v，物體一直勻速到達右端

相對位移(劃痕)Δx=0

物體與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量Q=0

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖1.3所示。

圖1.3

【例1】(2015天津)某快遞公司分揀郵件的水平傳輸裝置示意如圖，皮帶在電動機的帶動下保持v=1 m/s的恒定速度向右運動，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=2 kg的郵件輕放在皮帶上，郵件和皮帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。設(shè)皮帶足夠長，取g=10 m/s2，在郵件與皮帶發(fā)生相對滑動過程中，求：

例1

(1)郵件滑動的時間t；

(2)郵件對地的位移大小x；

(3)郵件與皮帶間的摩擦力對皮帶做的功W。

【答案】(1)設(shè)郵件放到皮帶上與皮帶發(fā)生相對滑動過程中受到的滑動摩擦力為Ff，則

Ff=μmg①

取向右為正方向，對郵件應(yīng)用動量定理得

Fft=mv-0 ②

聯(lián)立①②式并代入數(shù)據(jù)得

t=0.2 s ③

(2)郵件與皮帶發(fā)生相對滑動的過程中，對郵件應(yīng)用動能定理，有

聯(lián)立①④式并代入數(shù)據(jù)得

x=0.1 m ⑤

(3)郵件與皮帶發(fā)生相對滑動的過程中，設(shè)皮帶相對地面的位移為s，則

s=vt⑥

摩擦力對皮帶做的功W=-Ffs⑦

由①③⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)得

W=-2 J

【點評】本題運用了動量和能量的方法解決問題，也可以采用動力學(xué)方法進行求解，關(guān)鍵需理清郵件在整個過程中的運動規(guī)律，特別注意本題的問題是求郵件相對地面的位移以及摩擦力對皮帶做的功。

(2)v0與v反向(如圖2)

圖2

①v0>v，物體先向左勻減速再向右勻加速最后勻速

到達右端，速度為v

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖2.1所示。

圖2.1

②v0

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgΔx=2mv0v

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖2.2所示。

圖2.2

二、傾斜傳送帶(L足夠長)

(1)v0=0，即物體初速度為零

①物體初位置在下端如圖3所示

圖3

則物體先加速后勻速到達上端

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖3.1所示。

圖3.1

②物體初位置在上端(如圖4)

圖4

當μ≥tanθ時，物體先加速后與皮帶保持相對靜止一起勻速至下端

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖3.1所示。

當μ

且a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ)

相對位移大小Δx=|Δx1-Δx2|

劃痕當Δx1≥Δx2時為Δx1；當Δx1<Δx2時為Δx2

相對總路程Δs=Δx1+Δx2

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μmgcosθ(Δx1+Δx2)

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖4.1所示。表明物體相對皮帶先沿皮帶向上運動再沿皮帶向下運動

圖4.1

【例2】(2017四川成都?？?如圖所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A到B長度L=16 m，傳送帶以v0=10 m/s的速率逆時針轉(zhuǎn)動.在傳送帶上端A無初速地放一個質(zhì)量為m=0.5 kg的黑色煤塊，它與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5。煤塊在傳送帶上經(jīng)過會留下黑色劃痕。已知sin37°=0.6，g=10 m/s2。

(1)求煤塊從A到B的時間；

(2)煤塊從A到B的過程中傳送帶上形成劃痕的長度，以及煤塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量。

例2

【解析】(1)開始階段由牛頓第二定律得

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

所以a1=gsinθ+μgcosθ=10 m/s2

煤塊加速至與傳送帶速度相等時需要的時間

所以煤塊加速到10 m/s時仍未到達B點，此時摩擦力方向發(fā)生改變

第二階段由牛頓第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma2

所以a2=gsinθ-μgcosθ=2 m/s2

設(shè)第二階段煤塊滑動到B的時間為t2，則

解得t2=1 s

在B點的速度為vB=v0+a2t2=12 m/s

從A到B的時間t=t1+t2=2 s

(2)第一階段煤塊的速度小于傳送帶速度，煤塊相對皮帶向上移動，煤塊的位移為

第二階段煤塊的速度大于皮帶速度，煤塊相對皮帶向下移動，煤塊的位移為

Δx1與Δx2有部分重合，故傳送帶表面留下黑色炭跡的長度為5 m

煤塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2)=12 J

【點評】煤塊的運動分為前后兩個階段，第一階段加速到與傳送帶速度相等時滑動摩擦力方向發(fā)生改變，第二階段繼續(xù)加速，而煤塊相對于傳送帶先向上滑動后向下滑動，劃過的痕跡必然會有部分重合，在傳送帶留下的痕跡取較長的那部分。

【例3】(2020山西八校聯(lián)考)在大型物流貨場，廣泛的應(yīng)用傳送帶搬運貨物。如圖甲所示，傾斜的傳送帶以恒定速率運動，皮帶始終是繃緊的，將m=1 kg的貨物放在傳送帶上的A點，經(jīng)過1.2 s到達傳送帶的B點。用速度傳感器測得貨物與傳送帶的速度v隨時間t變化的圖像如圖乙所示，已知重力加速度g=10 m/s2，由v-t圖像可知

( )

甲

乙

A.A、B兩點的距離為2.4 m

B.貨物與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.5

C.貨物從A運動到B的過程中，傳送帶對貨物做功大小為12.8 J

D.貨物從A運動到B的過程中，產(chǎn)生的熱量為4.8 J

【點評】貨物運動的過程分為兩個階段，貨物總體斜向下運動，而相對傳送帶先斜向上運動后斜向下運動，貨物受到的摩擦力方向前后相反，故皮帶對貨物的摩擦力做功性質(zhì)相反，注意在求摩擦力產(chǎn)生的熱量時是用摩擦力乘貨物相對傳送帶的總路程。

(2)v0≠0，即物體初速度不為零

①v0與v同向，如圖5所示。

圖5

v0

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖5.1。

圖5.1

當μ

加速至下端，且

a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ)

相對位移大小Δx=|Δx1-Δx2|

劃痕當Δx1≥Δx2時為Δx1；當Δx1<Δx2時為Δx2

相對總路程Δs=Δx1+Δx2

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2)

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖5.2所示。表明物體相對皮帶先沿皮帶向上運動再沿皮帶向下運動。

圖5.2

v0>v，當μ≥tanθ時，物體先以加速度大小a=g(μcosθ-sinθ)勻減速再與皮帶相對靜止一起勻速至下端。

a=g(μcosθ-sinθ)

摩擦產(chǎn)生熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖5.3所示。

圖5.3

當μ

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖5.4所示。

圖5.4

v0=v，當μ≥tanθ時，物體一直勻速；當μ

②v0與v反向，如圖6所示。

圖6

當μ

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖6.1所示。

圖6.1

當μ=tanθ時，物體一直勻速

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖6.2所示。

圖6.2

當μ>tanθ，v0≤v時，物體先沿皮帶向下勻減速再反向勻加速至上端，速度大小為v0

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖6.3所示。

圖6.3

當v0>v，物體先沿皮帶向下勻減速再反向勻加速最后勻速至上端，速度大小為v

相對位移(劃痕)

物體與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgcosθ·Δx

物體對應(yīng)的v-t圖像如圖6.4所示。

圖6.4

【例4】(2020珠海一模)如圖所示，傳送帶AB的傾角為θ，且傳送帶足夠長?，F(xiàn)有質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的物體以v0的初速度從B端開始向上運動，物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ>tanθ，傳送帶的速度為v(v0

( )

例4

A.摩擦力對物體做功的最大瞬時功率一定是μmgvcosθ

B.摩擦力對物體做功的最大瞬時功率一定是μmgv0cosθ

C.摩擦力對物體可能先做負功后做正功

D.摩擦力對物體做的總功可能為零

【解析】物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。傳送帶的速度為v(v0

【點評】由于傳送帶的速度方向未知，需分兩種情況討論，因μ>tanθ，若v0與v同向時，則物體速度與傳送帶速度相同時(保持相對靜止時)速度最大，若v0與v反向時，物體往返運動的過程是可逆的，滑動摩擦力方向始終沿傳送帶向下，加速度不變。