以導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用專題復(fù)習(xí)為例談數(shù)理思維的培養(yǎng)

新疆

應(yīng)用數(shù)學(xué)方法尋找物理規(guī)律是物理學(xué)習(xí)的“硬”邏輯，物理中多數(shù)問題的解決依賴于物理公式，物理公式實(shí)際上就是各物理量之間的函數(shù)關(guān)系。做好數(shù)學(xué)知識(shí)在物理課堂中的有效應(yīng)用，從而提升學(xué)生數(shù)理思維品質(zhì)，是提升核心素養(yǎng)的重要途徑。高中物理解決問題常用函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)等，在高三二輪復(fù)習(xí)中專門以某種函數(shù)的應(yīng)用為專題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)和物理知識(shí)的整合，進(jìn)而可取得良好的教學(xué)效果。

導(dǎo)函數(shù)的學(xué)習(xí)在高二上學(xué)期后期或高二下學(xué)期初期，學(xué)生的物理知識(shí)體系已基本完備，在新授課中的應(yīng)用不多，在高三復(fù)習(xí)中以專題形式出現(xiàn)更加合理。在教學(xué)過程中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)的不配套，導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題教師更多的是以極限思想進(jìn)行處理。建立以導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用為主題的專題課，讓學(xué)生從另一個(gè)角度理解物理概念、物理規(guī)律以及體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用，通過學(xué)科知識(shí)的相互滲透，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理思維，從而達(dá)到提升學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。導(dǎo)函數(shù)專題課可從重新釋義物理概念、重新解釋物理規(guī)律以及應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)解題三個(gè)方面進(jìn)行。

1 重新釋義物理概念

2 重新解釋物理規(guī)律

在解釋有些物理規(guī)律時(shí)，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)匱乏常常用其他方式，如“零點(diǎn)定律”(物理量從零到零變化一定是先增后減)，這些方式體現(xiàn)著物理教師的教學(xué)智慧。到了高三再次對(duì)一些規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)方法解釋可以更加嚴(yán)謹(jǐn)，更加科學(xué)。

1.1 位移、速度、加速度的關(guān)系問題

1.2 重力功率變化問題

小球與繩子成θ角從靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過程中，重力做功變化問題，在初期教學(xué)中多數(shù)教師采取“零點(diǎn)定律”解釋。最高點(diǎn)速度為零，重力功率為零，最低點(diǎn)重力與速度垂直，重力功率為零，所以重力功率先增后減。

圖1

圖2

1.3 等量同種電荷連線中垂線上場(chǎng)強(qiáng)變化問題

在初期教學(xué)中多數(shù)教師解釋等量同種電荷連線中垂線上場(chǎng)強(qiáng)變化問題也是采取“零點(diǎn)定律”解釋，等量同種電荷連線中點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，無窮遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)趨近于零，所以場(chǎng)強(qiáng)先增后減，最大值的位置不涉及或直接告知。

圖3

1.4 電源的輸出功率問題

1.5 正弦式交變電流的變化規(guī)律問題

圖4

若采用導(dǎo)數(shù)方法可以回歸產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件，從磁通量的變化角度出發(fā)，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律，使學(xué)生理解的更加深刻。正弦式交變電流從中性面開始計(jì)時(shí)，磁通量—時(shí)間關(guān)系Φ=BScosωt，求導(dǎo)得e=-BSω·sinωt，若線圈有N匝，則e=NBSω·sinωt。

3 討論物理量的單調(diào)性和求極值

導(dǎo)函數(shù)在高三復(fù)習(xí)中最重要的應(yīng)用是討論物理量的單調(diào)性和求復(fù)雜問題的極值，在以上討論的其他問題中導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用并不會(huì)特別凸顯出“優(yōu)勢(shì)”，只是為理解問題提供另外的思維方法。而在能寫出函數(shù)關(guān)系的問題中采取求導(dǎo)的方式求極值和單調(diào)性，滲透數(shù)理思維，培養(yǎng)學(xué)生多種思路解決問題的能力顯得尤為重要。

物理量的單調(diào)性問題常以兩種形式出現(xiàn)，圖像問題和具有定量關(guān)系的物理量變化問題。圖像問題重點(diǎn)考查的是圖像的“斜率”和“面積”的物理意義，而“斜率”正是“縱軸物理量”對(duì)“橫軸物理量”的求導(dǎo)。常見的該類利用斜率來討論物理量的單調(diào)性的圖像有x-t圖像、v-t圖像、φ-x圖像、Ep-x圖像、Φ-t圖像等。通過比較斜率的變化判斷對(duì)應(yīng)物理量的變化實(shí)際就是尋找物理量的單調(diào)性過程。大多具有定量關(guān)系的物理變化過程是較容易寫出定量關(guān)系式的，通過求導(dǎo)的方式更容易找到極值和物理量的單調(diào)性。

【例】(2020年·新疆高三三?！?5節(jié)選)如圖所示，空間存在方向垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在0d的區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子(不計(jì)重力)，由靜止經(jīng)一電壓可調(diào)的加速電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)沿y軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ。

圖5

(1)若粒子能從區(qū)域Ⅰ進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，求粒子從區(qū)域Ⅰ射出時(shí)打在x軸上位置坐標(biāo)的最小值xmin，并求出此情況下粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的半徑R1；

(2)在滿足(1)條件下，求出粒子在整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t總。

圖6