衛(wèi)星變軌問題的情境模型建構(gòu)與參量研究

福建

衛(wèi)星變軌問題是以處于圓形或橢圓形軌道上環(huán)繞中心天體運行的衛(wèi)星在受外界因素(如力、光壓等)影響下而產(chǎn)生偏離軌道現(xiàn)象為情境載體，設(shè)計試題主體和問題，研究其動態(tài)規(guī)律、參量變化和定量分析等相關(guān)內(nèi)容。對比衛(wèi)星穩(wěn)定環(huán)繞問題情境模型，變軌問題具有相似又有差異的動力學(xué)特性，同時又涉及不同軌道動態(tài)變化規(guī)律，兩者即有聯(lián)系又有區(qū)別，同時又結(jié)合了圓周運動、牛頓運動定律、離心運動、功能關(guān)系、動態(tài)分析等數(shù)學(xué)、物理學(xué)知識，具有一定綜合性試題特征。變軌問題的模型建構(gòu)和試題編制理念體現(xiàn)物理學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，注重技術(shù)和社會、經(jīng)濟的聯(lián)系，注重知識應(yīng)用的學(xué)科思想，強化了知識、技能和素養(yǎng)的有效結(jié)合，因此萬有引力部分一直是高考熱點和難點。本文針對衛(wèi)星變軌情境模型進行可視化建構(gòu)和梳理，希望對系統(tǒng)理解變軌問題能有幫助。

一、衛(wèi)星變軌模型可視化建構(gòu)分析

1.外力驅(qū)動漸變式變軌模型

外力驅(qū)動漸變式變軌模型是指衛(wèi)星在外界某種因素如大氣阻力、其他天體的引力、光壓等作用下使其緩慢偏離原穩(wěn)定軌道而發(fā)生的變軌現(xiàn)象。在漸變式變軌問題中，衛(wèi)星是向高軌道變軌還是向低軌道變軌取決于除萬有引力以外的其他外界力對衛(wèi)星運動來說是阻力還是動力，阻力對原軌道上衛(wèi)星產(chǎn)生阻礙作用(圖1)，使萬有引力大于該軌道運動所需的向心力，衛(wèi)星逐漸向中心天體靠近；動力對衛(wèi)星產(chǎn)生促進作用(圖2)，軌道運動所需的向心力大于萬有引力，衛(wèi)星發(fā)生離心運動向高軌道偏離。

圖2

2.內(nèi)力驅(qū)動突變式變軌模型

內(nèi)力驅(qū)動漸變式變軌模型是指由于技術(shù)上的需要，人為在衛(wèi)星內(nèi)部短時間啟動衛(wèi)星發(fā)動機產(chǎn)生作用力使衛(wèi)星的速率發(fā)生突變，產(chǎn)生變軌現(xiàn)象最終到達預(yù)定軌道。

(1)初始軌道與預(yù)定軌道共面型

圖3

(2)初始軌道與預(yù)定軌道不共面型

預(yù)定軌道與初始軌道不共面時(圖4)，衛(wèi)星最終在穩(wěn)定預(yù)定軌道上繞中心天體運動的線速度v2與初始軌道的線速度v1之間存在不共線的矢量關(guān)系，初始軌道上啟動發(fā)動機使衛(wèi)星獲得的附加速度Δv，調(diào)整原軌道環(huán)繞速度v1為預(yù)定軌道環(huán)繞速度v2，實現(xiàn)衛(wèi)星在預(yù)定新軌道繞中心天體運動，此時v1、v2和Δv之間存在運動矢量關(guān)系，應(yīng)根據(jù)平行四邊形定則或三角形定則分析運算。

圖4

二、衛(wèi)星變軌模型的參量研究

1.內(nèi)力驅(qū)動突變式變軌實施的參量研究

衛(wèi)星由低軌道向高軌道實施變軌時，發(fā)動機向后噴氣，其產(chǎn)生的作用力對衛(wèi)星瞬間做正功促使線速度突然增大而做離心運動，此時衛(wèi)星的機械能增加，在變軌過程中，由于只有萬有引力對衛(wèi)星做負(fù)功，衛(wèi)星動能開始減小，引力勢能增大，衛(wèi)星機械能保持不變，因此預(yù)定軌道的機械能會大于初始軌道的機械能；衛(wèi)星由高軌道向低軌道實施變軌時，發(fā)動機向前噴氣，其產(chǎn)生的作用力對衛(wèi)星瞬間做負(fù)功促使其線速度突然減小而逐漸向中心天體靠近，此時衛(wèi)星的機械能減小，在變軌過程中，由于只有萬有引力對衛(wèi)星做正功，衛(wèi)星動能開始增大，引力勢能減小，但衛(wèi)星的機械能仍保持不變，因此預(yù)定軌道的機械能會小于初始軌道的機械能。

2.不同軌道同一位置的參量研究

(1)加速度參量比較分析

圖5

圖6

(2)線速度參量比較分析

3.同一軌道不同位置的線速度比較分析

衛(wèi)星在同一軌道繞中心天體運動的線速度變化規(guī)律與軌跡存在一定關(guān)聯(lián)性。若軌跡為標(biāo)準(zhǔn)圓形軌道(圖7)，萬有引力始終不做功，線速度大小始終不變；若軌跡為橢圓形軌道(圖8)，萬有引力與線速度方向夾角會根據(jù)衛(wèi)星運動位置變化而實時變化，萬有引力會產(chǎn)生促進或阻礙衛(wèi)星運動的效果，線速度會實時變化，由動能定理分析，遠離中心天體過程，萬有引力做負(fù)功，動能減小，線速度減小，靠近中心天體過程，萬有引力做正功，動能增加，線速度增大，故近地點線速度最大，遠地點線速度最小。

圖7

圖8

拓展點：近地點和遠地點的線速度比較分析

4.衛(wèi)星變軌過程的做功問題

衛(wèi)星在不同軌道間實施變軌運動時，由于變軌過程萬有引力是變力，可從動能定理分析萬有引力做功的問題，根據(jù)始末位置的衛(wèi)星動能變化判斷萬有引力做功的正負(fù)及計算做功的大小。

5.不同軌道環(huán)繞周期的比較分析

圖9

6.同一軌道不同運行區(qū)域的時間比較分析

圖10

三、典例剖析

【例1】理論研究表明，環(huán)繞地球運動的衛(wèi)星，機械能與衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道的半長軸大小有關(guān)，衛(wèi)星質(zhì)量越大，衛(wèi)星機械能越小，軌道半長軸越大，衛(wèi)星機械能越大。如圖11所示，c為地球，a、b為兩顆質(zhì)量相同的衛(wèi)星，圍繞地球轉(zhuǎn)動的軌道分別為圓和橢圓，兩軌道共面，兩條軌道相交于A位置，B為橢圓軌道的近地點，a衛(wèi)星的軌道半徑為R，b衛(wèi)星的軌道半長軸為2R。關(guān)于這兩顆衛(wèi)星，下列說法正確的是

( )

圖11

A.兩顆衛(wèi)星在A位置的加速度aa

B.兩顆衛(wèi)星在A位置的速率va

C.b衛(wèi)星在近地點的速率有可能等于a衛(wèi)星的環(huán)繞速率

D.兩顆衛(wèi)星的運行周期Ta

【點評】本題考查衛(wèi)星在不同軌道同一位置、不同軌道不同位置和同一軌道不同位置的加速度、線速度和周期參量的比較問題，解題關(guān)鍵在于了解不同衛(wèi)星環(huán)繞模型的原理與關(guān)聯(lián)，結(jié)合牛頓運動定律、圓周運動參量關(guān)系、功能關(guān)系和開普勒第三定律綜合分析。

【例2】2020年7月22日，中國火星探測工程正式對外發(fā)布“中國首次火星探測任務(wù)宇宙飛船“天問一號”著陸平臺和火星車”。7月23日，宇宙飛船“天問一號”探測器在中國文昌航天發(fā)射基地發(fā)射升空。宇宙飛船“天問一號”從地球上發(fā)射到與火星會合，運動軌跡如圖12中橢圓所示。飛向火星過程中，只考慮太陽對宇宙飛船“天問一號”的引力。下列說法正確的是

( )

圖12

A.宇宙飛船“天問一號”在地球發(fā)射變軌瞬間，需要發(fā)動機點火加速

B.在與火星會合前，宇宙飛船“天問一號”的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的向心加速度

C.宇宙飛船“天問一號”經(jīng)過與火星會合位置的速率等于火星經(jīng)過會合位置的速率

D.宇宙飛船“天問一號”飛向火星過程中的機械能小于與火星會合后的機械能

【例3】航天器回收的“跳躍式返回技術(shù)”指航天器在關(guān)閉發(fā)動機后進入大氣層，依靠大氣升力再次沖出大氣層，降低速度后再進入大氣層。這種復(fù)雜的回收技術(shù)我國已經(jīng)掌握。圖13為航天器跳躍式返回過程示意圖，大氣層的邊界為虛線大圓，已知地球半徑為R，d點到地面的高度為h，地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是

( )

圖13

A.航天器從a到c運動過程中一直處于完全失重狀態(tài)

C.航天器在c點的動能大于在e點的動能

D.航天器在a點機械能大于在c點的機械能

【點評】本題綜合衛(wèi)星變軌和曲線運動兩個知識點研究衛(wèi)星變軌過程的動力學(xué)和功能問題。通過軌跡的彎曲方向可以判斷合力和加速度方向，從而確定“嫦娥五號”處于超重狀態(tài)還是失重狀態(tài)；根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合GM=gR2求出d點的加速度；“嫦娥五號”從a點到c點，萬有引力不做功，阻力做負(fù)功，根據(jù)動能定理比較a、c兩點的速率及機械能的大?。粡腸點到e點，航天器不受空氣阻力，機械能守恒，速率大小相等。本題的解題關(guān)鍵在于知道衛(wèi)星在大氣層中受到空氣阻力作用，在大氣層以外不受空氣阻力作用，結(jié)合動能定理、機械能守恒定律分析不同區(qū)域的速度變化情況。

綜合來看，衛(wèi)星變軌問題模型分析的難點聚焦在以下兩點：(1)天體運動實體軌跡的模擬還原：天體運動與一般物體的運動存在一定的差異性，又無法進行直觀感知，對于學(xué)生來講，天體運動的現(xiàn)象和規(guī)律的研究仍側(cè)重于抽象化理解，如何利用靜態(tài)或動態(tài)的可視化數(shù)據(jù)或圖示組合表征天體運動，形成能夠直接作用于人感官的外在視覺表象，從而降低對天體現(xiàn)象或規(guī)律的認(rèn)知維度，是破解天體運動問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；(2)通過不同運動軌道的差異性對比分析：環(huán)繞天體由于初始運動條件的差異會形成圓形軌道和橢圓形軌道兩類不同的環(huán)繞軌跡類型，兩類軌道具有類似又有不同的動力學(xué)特性，需要學(xué)生從運動學(xué)、動力學(xué)、功能關(guān)系、軌跡的幾何關(guān)系等視角進行綜合對比研究，以提煉試題隱含的信息作為解題切入點。作為天體運動的重要實體模型，衛(wèi)星變軌問題的模型建構(gòu)與研究可以深刻理解知識在不同表征環(huán)境下的變異特征，引導(dǎo)學(xué)生更深入探尋事物的本源，完成知識的內(nèi)化和應(yīng)用，從而達到章節(jié)的教學(xué)育人目標(biāo)。