基于屬性拓?fù)涞穆輻U轉(zhuǎn)子型線分析

（陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,陜西漢中 723001）

1 引言

螺桿壓縮機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)部件少、大修期長(zhǎng)、工作時(shí)可以強(qiáng)制輸氣、動(dòng)平衡性好[1]，可應(yīng)用在粉塵、煤礦和工藝氣體等車間內(nèi)，也可裝備在尺寸和工作條件嚴(yán)苛的機(jī)車、船舶等設(shè)備上。

螺桿轉(zhuǎn)子作為螺桿壓縮機(jī)的主要零部件，要求齒面精度高、齒間流量大、泄漏量小等，由于第一代對(duì)稱型線很難滿足工作要求，這種設(shè)備在當(dāng)時(shí)并沒有得到普及。20世紀(jì)70年代，通過對(duì)原始不對(duì)稱型線的改進(jìn)，第二代不對(duì)稱的轉(zhuǎn)子型線降低了內(nèi)部泄漏，提高了熱力學(xué)效率，同時(shí)隨著精密螺紋銑床的發(fā)展[2]，不僅保證轉(zhuǎn)子復(fù)雜型面的精度，其生產(chǎn)成本也大大降低[3]。轉(zhuǎn)子型線發(fā)展至今，新一代型線在優(yōu)化的同時(shí)引入了橢圓、橢圓包絡(luò)線等新曲線類型，接觸線更短，內(nèi)部泄漏降低約90%[4]，工作性能得到了進(jìn)一步提升。

傳統(tǒng)的型線設(shè)計(jì)方法是從二維曲線出發(fā)，先設(shè)計(jì)陰陽轉(zhuǎn)子中的一個(gè)型線，再利用嚙合原理生成一對(duì)端面曲線和空間曲面[4-6]；后來，出現(xiàn)了通過多變量全局優(yōu)化改進(jìn)某種型線既而生成新型線的方法[7]；近些年，以滿足技術(shù)指標(biāo)的嚙合線為前提，通過調(diào)整影響工作性能的參數(shù)[8]或調(diào)整三次樣條曲線控制點(diǎn)[9]來逆向解析生成新型線的方法被廣泛采用。

但是，這類利用高次樣條曲線生成型線的方法，不僅和先進(jìn)齒形有很大差距，而且仍需要包絡(luò)線上的離散點(diǎn)組才可以加工[10]。與此同時(shí)，這類型線對(duì)生產(chǎn)轉(zhuǎn)子的刀具、工裝和機(jī)床等要求也會(huì)相應(yīng)提高，理論上最佳性能的轉(zhuǎn)子未必能夠大批量生產(chǎn)。因此，仍需回歸到經(jīng)典的轉(zhuǎn)子型線中，用定量的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，尋找出通用性強(qiáng)且性能優(yōu)異的嚙合對(duì)，為下一步設(shè)計(jì)工作奠定基礎(chǔ)。

屬性拓?fù)涫菆D論與形式概念分析的結(jié)合[11]，分別用對(duì)象和屬性代表形式概念中的外延和內(nèi)涵，并給屬性關(guān)系賦權(quán)值，直觀的展現(xiàn)形式背景中屬性間的各類拓?fù)潢P(guān)系[12]。目前，屬性拓?fù)湟褢?yīng)用在數(shù)據(jù)分析[13]和醫(yī)療診斷[14]等方面。本文首次將屬性拓?fù)淅碚撘朕D(zhuǎn)子型線分析過程，對(duì)歷經(jīng)時(shí)間檢驗(yàn)的轉(zhuǎn)子型線嚙合對(duì)進(jìn)行形式概念計(jì)算，利用該數(shù)學(xué)語言精確地分析不同的曲線類型與螺桿壓縮機(jī)性能的關(guān)系，為生成新型線提供思路。

2 螺桿轉(zhuǎn)子型線的屬性拓?fù)渖?/h2>

2.1 螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線

螺桿壓縮機(jī)的氣缸通常呈“∞”形，在缸內(nèi)平行配置按一定傳動(dòng)比反向旋轉(zhuǎn)的一對(duì)相互嚙合的螺旋形轉(zhuǎn)子[1]。凸齒的是陽轉(zhuǎn)子，凹齒的是陰轉(zhuǎn)子。從單個(gè)封閉腔體的工作特性來看，螺桿壓縮機(jī)可以視為多缸活塞式壓縮機(jī)；從垂直于軸線的橫截面來看，螺桿壓縮機(jī)的陰轉(zhuǎn)子由少齒數(shù)的斜齒輪發(fā)展而來、陽轉(zhuǎn)子由多頭數(shù)的蝸桿發(fā)展而來。鑒于形式概念計(jì)算的二值背景[15]，從端面型線的角度對(duì)螺桿轉(zhuǎn)子型線進(jìn)行分析。

由于第一代型線的轉(zhuǎn)子并未被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際，所以本文僅研究第二、三代轉(zhuǎn)子型線的曲線類型。圖1～4和圖5～8分別是4種第二代和4種第三代具有代表性的轉(zhuǎn)子型線，表1～8是對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子型線組成齒曲線。

圖1 原始不對(duì)稱型線

表1 原始不對(duì)稱型線組成齒曲線

2.2 轉(zhuǎn)子型線的屬性拓?fù)?/h3>

屬性拓?fù)鋪碓从谛问礁拍罘治?，形式概念分析是?yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，而形式背景是形式概念分析的基本表示方法，根據(jù)計(jì)算需要引入下列定義與公式[11-12]。

圖2 單邊不對(duì)稱-銷齒圓弧型線

表2 單邊不對(duì)稱-銷齒圓弧型線組成齒曲線

圖3 Atlas-X型線

表3 Atlas-X型線組成齒曲線

圖4 SRM-A型線

表4 SRM-A型線組成齒曲線

圖5 GHH型線

表5 GHH型線組成齒曲線

圖6 復(fù)盛型線

表6 復(fù)盛型線組成齒曲線

圖7 SRM-D型線

表7 SRM-D型線組成齒曲線

圖8 日立型線

表8 日立型線組成齒曲線

定義1 形式背景用三元組K=（G，M，I）表示，其中G表示所有對(duì)象的集合，M表示所有屬性的集合，I?G×M表示對(duì)象與屬性之間的關(guān)系，G×M表示集合G和集合M的笛卡爾積。若A?G，B?M，令

f（A）={m∈M|?g∈A，（g，m）∈I}

g（B）={g∈G?m∈B，（g，m）∈I}

如果A，B滿足f（A）=B，g（B）=A，則稱二元組（A，B）是一個(gè)形式概念，A是形式概念（A，B）的外延，B是形式概念（A，B）的內(nèi)涵。

定義2 對(duì)于一個(gè)形式背景K=（G，M，I），M={m1，m2，…，mn}，屬性拓?fù)涞泥徑泳仃嚤硎痉ǘx為T1=（V，E），V=M為屬性拓?fù)漤旤c(diǎn)集合，E為該屬性拓?fù)涞泥徑泳仃嚕仃囍忻總€(gè)元素代表從屬性mi到屬性mj邊上的權(quán)值。

定義3 屬性拓?fù)渲械年P(guān)聯(lián)矩陣表示法定義為T2=（V，E′），這種表示法只描述屬性之間的關(guān)系。其中E′為關(guān)聯(lián)矩陣

因?yàn)槁輻U壓縮機(jī)需要兩轉(zhuǎn)子嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)，所以不單純分析曲線類型，將各嚙合對(duì)作為一個(gè)屬性進(jìn)行分析。螺桿轉(zhuǎn)子型線嚙合對(duì)的形式背景如表9所示，表9中各符號(hào)含義見表10。

表9 螺桿轉(zhuǎn)子型線的形式背景

表10 符號(hào)表

形式背景中通常存在冗余信息，為進(jìn)行簡(jiǎn)潔地表達(dá)及運(yùn)算，需要對(duì)形式背景進(jìn)行預(yù)處理[11]。

最早采用包絡(luò)線的是SRM-A齒形，該齒形接觸線更短、密封效果更好，Atlas-X是從SRM齒形發(fā)展而來的，與作為國(guó)標(biāo)的單邊不對(duì)稱銷齒-圓弧齒形區(qū)別不大，且沒有保護(hù)角不利于儲(chǔ)存運(yùn)輸，直線段較長(zhǎng)泄漏三角形較大[5]，故第二代型線中約去Atlas-X型線。SRM-D通過計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到，是一種可應(yīng)用于各種場(chǎng)合的非特殊齒形[16]，日立型線是對(duì)SRM-D和GHH優(yōu)點(diǎn)的綜合，故第三代型線中約去日立型線。嚙合屬性a、b和c的對(duì)象集相同，計(jì)算時(shí)合并為一個(gè)。經(jīng)預(yù)處理后的形式背景見表11。

由式（1）和式（2）可得對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣E（vi，vj）和關(guān)聯(lián)矩陣E′（vi，vj）。然后按照關(guān)聯(lián)矩陣畫出各屬性間的關(guān)系。

轉(zhuǎn)子型線的屬性集合作為拓?fù)涞捻旤c(diǎn)集合，按照關(guān)聯(lián)矩陣畫出屬性拓?fù)鋱D（圖9），并給各邊賦予權(quán)值。

由文獻(xiàn)[12]中關(guān)于不同屬性的定義可知，頂層屬性集（superordinate attributes，SPAs）為{c，e}，伴生屬性集（subordinate attributes，SBAs）為{d，g，h，f}，其中，{h}為多重伴生屬性。為進(jìn)一步可視化計(jì)算，先將屬性拓?fù)溥M(jìn)行有序化處理[11]，SPAsT={c，e}，（SBAsT）^={g，d，f，h}。全局屬性和空對(duì)象定義為起點(diǎn)屬性和起點(diǎn)對(duì)象，空屬性和全局對(duì)象定義為終點(diǎn)屬性和終點(diǎn)對(duì)象。M（SPAs,SBAs）={Ψ，SPAsT，（SBAsT）^，E}={Ψ，c，e，g，d，f，h，E}，如圖10。

表11 經(jīng)預(yù)處理后的轉(zhuǎn)子型線形式背景

3 轉(zhuǎn)子型線屬性的異同分析

3.1 轉(zhuǎn)子型線的共性分析

通過屬性拓?fù)鋱D可以看出各屬性之間的不同關(guān)系及關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，但是在工程實(shí)際中，通常希望找出性能優(yōu)異且制造方便的型線類型，這類型線具有普遍適用性。屬性偏序圖可以將各類屬性在可視化的基礎(chǔ)上達(dá)到“物以類聚”的目的。通過文獻(xiàn)[11]的算法，先將螺桿轉(zhuǎn)子型線的屬性拓?fù)鋱D轉(zhuǎn)化為屬性偏序圖，具體過程見表12。

由最終的屬性偏序概念圖可以得出，“擺線-點(diǎn)”嚙合對(duì)的應(yīng)用最為廣泛，說明其具有性能較好、應(yīng)用范圍廣且加工難度低等特點(diǎn)；“圓弧和圓弧包絡(luò)線”嚙合對(duì)得益于其制造方便，應(yīng)用的工作場(chǎng)合僅次于“擺線-點(diǎn)”嚙合對(duì)；“橢圓-橢圓包絡(luò)線”和“橢圓包絡(luò)線-橢圓”是第三代型線中新發(fā)展的類型，在特殊場(chǎng)合、大批量生產(chǎn)的改進(jìn)型號(hào)中或不將成本作為首要考慮因素的設(shè)備上才有所應(yīng)用。

圖9 轉(zhuǎn)子型線的屬性拓?fù)?/p>

圖10 有序化處理后的轉(zhuǎn)子型線屬性拓?fù)?/p>

3.2 轉(zhuǎn)子型線的差異分析

在某些情況下，需要研究的不是通用性而是特性。將已生成的轉(zhuǎn)子型線屬性拓?fù)滢D(zhuǎn)化為差異屬性拓?fù)鋄19]分析各嚙合對(duì)之間的具體區(qū)別。

定義4 差異屬性拓?fù)涞泥徑泳仃嚤硎痉ǘx為T3=（V，EDM），V=M為屬性拓?fù)漤旤c(diǎn)集合，EDM為該屬性拓?fù)涞牟町愢徑泳仃嚕?EDM（mi，mj）定義為差異屬性拓?fù)渲袑傩詍i指向?qū)傩詍j的邊加權(quán)的元素?cái)?shù)，num（mi，mj）={#EDM（mi，mj）+#EDM（mj，mi）}。

求出轉(zhuǎn)子型線的形式背景對(duì)應(yīng)表13的差異鄰接矩陣，然后通過該矩陣畫出相應(yīng)的差異屬性拓?fù)?，見圖11。

差異屬性拓?fù)淠芊从硨傩蚤g的互斥關(guān)系[17]，而num（mi，mj）（表14）可以定量反映出屬性之間的差異程度。各屬性之間的差異程度計(jì)算之后列于上三角。

從表14可以得出，屬性c比屬性d、g的應(yīng)用廣，屬性e比屬性f、h的應(yīng)用廣，屬性f比屬性h的應(yīng)用廣；屬性c與屬性f的差異是任兩屬性對(duì)之間差異最大的，說明第二代型線中常用的“擺線-點(diǎn)”嚙合對(duì)在第三代型線中的使用程度越來越低，原因可能是包括：機(jī)床精度的提升導(dǎo)致成本下降，用戶不再將成本作為交易需考慮的首要因素，以及圓弧類型線對(duì)的綜合表現(xiàn)明顯占優(yōu)；屬性g到屬性c、屬性h到屬性e、f和屬性f到e的差異程度為0，導(dǎo)致num的值較低，說明第三代型線采用的生成方法和第二代型線差別不大，只是根據(jù)設(shè)計(jì)壓力比、工作條件的不同而導(dǎo)致最終型線樣式的不同。

表12 轉(zhuǎn)子型線屬性拓?fù)鋱D轉(zhuǎn)化為屬性偏序圖步驟

4 轉(zhuǎn)子型線屬性的因果分析，見表15

由于本文并非只分析某一代中的某一類典型型線，所以還需要分析不同性能、不同應(yīng)用場(chǎng)合的轉(zhuǎn)子型線之間是否存在因果聯(lián)系。在已生成的轉(zhuǎn)子型線屬性拓?fù)涞幕A(chǔ)上，通過文獻(xiàn)[18]的方法進(jìn)行因果關(guān)系推斷。

圖11 轉(zhuǎn)子型線的差異屬性拓?fù)?/p>

表13 轉(zhuǎn)子型線的差異鄰接矩陣

定義5 在形式背景K=（G，M，I）中，若屬性mj是屬性mi的必要條件，即：g（mi）?g（mj），則稱屬性mj是屬性mi的部分因，屬性mi是屬性mj的果，記 作：mj→mi。若 存 在m1→mi，m2→mi，其 中i≠1，2，則稱屬性m1，m2共同為屬性mi的部分因，屬性mi為m1，m2的果，記作：（m1，m2）→mi。

為計(jì)算簡(jiǎn)便，將屬性拓?fù)渲羞叺臋?quán)值刪去，各屬性與其對(duì)象集作為一個(gè)頂點(diǎn)，簡(jiǎn)化后的屬性拓?fù)湟妶D12，選擇屬性g作為初始屬性進(jìn)行因果推斷，生成因果關(guān)系之后刪除的對(duì)象用空格代替以便觀察。

由最終結(jié)果可以得出，屬性e雖然是頂層屬性，但卻是屬性c、d的果，說明“圓弧-圓弧包絡(luò)線”嚙合對(duì)一開始并未出現(xiàn)，隨著計(jì)算機(jī)優(yōu)化技術(shù)和加工技術(shù)的發(fā)展而興起；屬性c同時(shí)是屬性g、e和d的部分因，再次論證了“擺線-點(diǎn)”嚙合對(duì)的通用性很強(qiáng)；屬性g和屬性h不是任何屬性的部分因，說明“橢圓-橢圓包絡(luò)線”和“橢圓包絡(luò)線-橢圓”嚙合對(duì)是通過上一代嚙合對(duì)優(yōu)化得到，截至目前應(yīng)用范圍并不廣泛。屬性f、e、d既是因又是果，說明設(shè)計(jì)新一代型線除了優(yōu)化原嚙合對(duì)之外，還將嚙合對(duì)作為一個(gè)元素，在兩轉(zhuǎn)子嚙合路徑上設(shè)計(jì)不同的排列組合方案，最后賦予不同的長(zhǎng)度，而且每一個(gè)元素并非只使用一次。

表14 num（mi，mj）的值

表15 轉(zhuǎn)子型線屬性的因果推斷

5 結(jié)論

轉(zhuǎn)子型線的好壞對(duì)螺桿壓縮機(jī)性能的影響非常大，在用戶要求不斷提高和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈的前提下，以經(jīng)典轉(zhuǎn)子型線為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)新型線的辦法具有很大優(yōu)勢(shì)，這就需要先從經(jīng)典型線中找出優(yōu)異的嚙合對(duì)。首先，提取8種型線中的嚙合對(duì)，將其轉(zhuǎn)化為形式概念中的二值背景，然后生成屬性拓?fù)?，再將其轉(zhuǎn)化為屬性偏序和差異屬性拓?fù)?。分析出嚙合?duì)的相同點(diǎn)：“擺線-點(diǎn)”嚙合對(duì)的通用性最強(qiáng)；“圓弧”類型的嚙合對(duì)隨著加工技術(shù)的提高和優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展而慢慢興起，至今在第三代中仍大量使用，說明該類嚙合對(duì)具有很高的工程價(jià)值。但隨著各企業(yè)的加工技術(shù)穩(wěn)步提高，以“擺線-點(diǎn)”為代表的易加工但性能欠缺的嚙合對(duì)逐漸不受青睞，所以第三代型線已很少使用該嚙合對(duì)。

由差異度num值和因果關(guān)系可以分析出“橢圓-橢圓包絡(luò)線”和“橢圓包絡(luò)線-橢圓”嚙合對(duì)主要由“擺線-點(diǎn)”、“圓弧-圓弧包絡(luò)線”和“圓弧包絡(luò)線-圓弧”嚙合對(duì)發(fā)展而來，由于圓弧和橢圓對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方程次冪相差不大，進(jìn)一步得出如下結(jié)論：第三代型線以上一代型線為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化，然后將優(yōu)異的嚙合對(duì)作為一個(gè)元素，放入嚙入到嚙出的路徑上，設(shè)置不同的排列組合，需要注意的是每一種嚙合對(duì)并非只使用一次，最后賦予每段曲線不同的長(zhǎng)度，從而達(dá)到提高性能、滿足客戶要求的目的。